Aby ukształtować kwadratowy człon w modelu antyferromagnesu Heisenberga, możemy wprowadzić transformację Bogoliubowa: $ a_k = u_k \ alpha_k + v_k \ beta_k ^ \ dagger $, $ b_k ^ \ dagger = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ dagger $. Ta transformacja może ukształtować kwadratowy wyraz w hamiltonianie:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ dagger_ka_k + b ^ \ dagger_kb_k + \ gamma_ka ^ \ dagger_kb ^ \ dagger_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} \ end {align}
with $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . Ale transformacja U: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { k} \ end {pmatrix} $ nie jest jednostkowe, ponieważ $ u_k, v_k $ są prawdziwe, $ U ^ \ dagger \ neq U ^ {- 1} $.
Czy liczba bozonów nie jest zachowana więc przemiana może nie być jednostkowa? Czy są jakieś ograniczenia dotyczące transformacji bozonu?
Komentarze
- Liczy się to, że po transformacji standardowe relacje komutacji są nadal aktualne.
- related: physics.stackexchange.com/q/53158
Odpowiedź
Masz rację, transformacje Bogoliubowa nie są generalnie jednolite. Z definicji
Transformacje Bogoliubowa to transformacje liniowe operatorów tworzenia / anihilacji, które zachowują relacje algebraiczne wśród nich.
Relacje algebraiczne to głównie relacje komutacji / antykomutacji , które definiują operatory bozonowe / fermionowe. Nigdzie w definicji nie sprecyzowaliśmy, że transformacja powinna być jednolita. W rzeczywistości transformacja Bogoliubowa (w najbardziej ogólnej postaci) jest symplektyczna dla bozonów i ortogonalne dla fermionów . W żadnym przypadku transformacja Bogoliubowa nie jest jednolita. Transformacja Bogoliubowa bozonów odpowiada liniowej transformacji kanonicznej oscylatorów w mechanice klasycznej (ponieważ bozony są kwantami oscylatorów) i wiemy, że liniowe transformacje kanoniczne są symplektyczne ze względu na symplektyczną strukturę klasycznej przestrzeni fazowej.
A więc konkretnie, jakie są ograniczenia dla transformacji Bogoliubowa? Rozważmy przypadek $ n $ trybów pojedynczych cząstek bozonów $ b_i $ lub fermionów $ f_i $ (gdzie $ i = 1,2, \ cdots, n $ oznacza poszczególne stany cząstek, takie jak stany własne pędu). Zarówno $ b_i $, jak i $ f_i $ nie są operatorami hermitowskimi, które nie są całkiem wygodne w leczeniu ogólnym (ponieważ nie możemy po prostu traktować $ b_i $ i $ b_i ^ \ dagger $ jako niezależnej podstawy, ponieważ są one nadal powiązane Dlatego zdecydowaliśmy się przepisać operatory jako następujące kombinacje liniowe (motywowane ideą rozłożenia liczby zespolonej na dwie liczby rzeczywiste, takie jak $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ begin {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ gdzie $ a_i = a_i ^ \ dagger $ i $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (dla $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) to operatory hermitowskie (analogiczne do liczb rzeczywistych).Muszą odziedziczyć relacje komutacji lub przeciwkomutacji z „złożonych” bozonów $ b_i $ i fermionów $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ gdzie $ g_ {ij} ^ a $ i $ g_ {ij} ^ c $ są czasami nazywane metryką kwantową odpowiednio dla bozonów i fermionów. W formularzach macierzowych są podane przez $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ razy n} \ end {matrix} \ right], $$ gdzie $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ to $ n \ razy n $ macierz tożsamości. Zatem zachowanie algebraicznych relacji między operatorami kreacji / anihilacji oznacza zachowanie metryki kwantowej . Ogólne liniowe transformacje operatorów $ a_i $ i $ c_i $ przyjmują postać $$ a_i \ do \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ gdzie elementy macierzy transformacji $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ muszą być rzeczywiste, aby zapewnić, że operatory $ a_i $ i $ c_i $ pozostaną Hermitian po transformacji. Zatem zachowanie metryki kwantowej oznacza wymaganie $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Więc każdy prawdziwa transformacja liniowa spełniająca powyższe warunki jest transformacją Bogoliubowa w najbardziej ogólnym sensie. Następnie, w zależności od właściwości metryki kwantowej, transformacja Bogoliubowa jest symplektyczna lub ortogonalna. Dla bozonowej metryki kwantowej, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ jest antysymetryczna , więc transformacja $ W ^ a $ jest symplektyczna . W przypadku fermionowej metryki kwantowej $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ jest symetryczne , więc transformacja $ W ^ c $ jest ortogonalna .
Komentarze
- Czy ktoś może polecić zasób, aby dowiedzieć się więcej o tym formalizmie, tj. dekompozycji operatorów tworzenia / anihilacji jako ” liczby zespolone ” i zachowanie metryki kwantowej?
Odpowiedź
Jedność transformacji mechaniki kwantowej nie jest określona przez sposób, w jaki miesza ona operatory kreacji i anihilacji. (Nie ma znaczenia, jaki rodzaj macierzy — ortogonalna, symplektyczna czy unitarna — jest zaangażowana w miksowanie!) powinien zbadać, czy transformacja jest skojarzona z operatorem unitarnym działającym w przestrzeni Hilberta.
Cytowana transformacja Bogoliubowa OP może być przedstawiona w następujący sposób ($ \ textbf {k} $ – zależność jest pomijana): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ gdzie $ \ lambda $ jest liczbą rzeczywistą. Ta transformacja jest jednostkowa wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje operator unitarny $ U $ takie, że $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ Rzeczywiście, te relacje są spełnione przy następującym wyborze: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ więc transformacja jest jednolita.
Odpowiedź
Pozwól mi popracować nad tą częścią równania macierzowego $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ Ważną częścią jest to, że transformację pól można zobaczyć tak samo jak trans tworzenie macierzy $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ gdzie $ M ^ \ sztylet ~ = ~ M $. Wyznacznikiem tego jest $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Wyznacznik $ M $ daje wtedy $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Mogą one być następnie reprezentowane przez $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ i $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.
Teraz oszacuj komutator $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Dla komunikatorów $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ i wtedy widzimy $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. To samo wyraźnie dotyczy $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Oznacza to, że każdy system z jednostkami akcji $ N \ hbar $ jest stały. Nie ma zmiany w objętości przestrzeni fazowej systemu. oznacza to, że transformacje Bogoliubowa są faktycznie jednolite.
Komentarze
- A więc ogólne transformacje jednostkowe ' s definicje są dłuższe $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ czego uczymy się z podręcznika? Nie ' nie rozumiem ' To oznacza, że każdy system z Nℏ jednostkami działania jest stały. Nie ma zmiany w objętości przestrzeni fazowej systemu ', czy chciałbyś to wyjaśnić?
- Przy okazji, czy są jakieś ograniczenia dotyczące transformacji systemu bozonów (hamiltonian)?
- @ZJX Nie ' nie rozumiem, dlaczego Lawrence powiedział, że bozonowe transformacje Bogoliubowa są ” faktycznie unitarny „. Myślę, że ogólnie powinny być symplektyczne. Ograniczenie wynika z zachowania definicji operatorów bozonowych (takich, że operatory bozonowe pozostają bozonowe podczas transformacji). Nie ma ograniczeń wynikających z układu bozonowego (hamiltonian). Dopóki hamiltonian jest hermitem, jest prawowitym hamiltonianem. Każda transformacja symplektyczna zastosowana do hamiltonianu jest uzasadnioną transformacją Bogoliubowa.
Odpowiedź
Nie, to jest jednolite transformację, ale tylko wtedy, gdy weźmie się pod uwagę razem & dziurę elektronu Hamiltona.
Komentarze
- Ale tutaj model dotyczy spinu, to ' nie jest fermionem, prawda?