Var (XY), jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi [duplicate]

To pytanie ma już tutaj odpowiedź :

Komentarze

Czy ty masz jakieś przemyślenia na ten temat? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ byłoby błędne – rozważ prawie na pewno stałą niezerową $ X $
Nie proszę pana. Wiem, że Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 i E (XY) = E (X) E (Y) jako X, Y są niezależne, ale nie mam pojęcia o X ^ 2 i Y ^ 2 są niezależne lub nie.
Jeśli $ X $ i $ Y $ są niezależne, to $ X ^ 2 $ i $ Y ^ 2 $ są również niezależne i $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
Tutaj ogólny przypadek produktu: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (w pytaniu podano iloczyn 2)
Bardzo dziękuję Glen_b

Odpowiedź

Aby uzyskać odpowiedź, możesz postępować zgodnie z komentarzami Henryego. Jednak innym sposobem uzyskania odpowiedzi jest wykorzystanie faktu, że jeśli $ X $ i $ Y $ są niezależne, a następnie $ Y | X = Y $ i $ X | Y = X $ .

Według iterowanych oczekiwań i wyrażeń wariancji

\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}

Komentarze

$ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ może być poprawne, ale jest dziwnie niesymetryczne jak $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ byłoby. Pomyślałbym, że $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) ) $ byłoby bardziej naturalne, podczas gdy $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ również byłoby prawdziwe
@Henry Cóż, używając $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, otrzymamy $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. To ' jest symetryczne.

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi