W jaki sposób rachunek różniczkowy jest pomocny na kierunkach biologicznych?

Jestem stary- biolog szkolny (fizjoterapia zwierząt) ology), który pracuje głównie z biologami komórkowymi. Wysłałem e-mail do grupy studentów i doktorantów, z którymi pracuję. Oto dane do tej pory:

1. Starszy licencjat, kierunek farmakologia: absolutnie nie stosuje się rachunku różniczkowego na kursach biologii. Roześmiała się, kiedy ją zapytałem.
2. Absolwent: Undergrad biofizyka wykorzystany kurs modelowanie za pomocą równań różniczkowych . Absolwent klasy w systemach biologii komórkowej korzystał z modelowania za pomocą równań różniczkowych.
3. Absolwent: użyto chemii fizycznej na studiach licencjackich rachunek różniczkowy, brak biologii
4. Student studiów magisterskich: żaden, poza obserwacją niektórych pochodnych i całek na poziomie inżynierskim. Sugeruje, że być może kurs bioinformatyki może korzystać z rachunku różniczkowego.
5. Student maturalny: brak. Sugeruje, że biologia systemów może ich mieć.
6. Student maturalny: brak. Trochę algebry dla krzywych wzrostu bakterii.
7. Postdoc: nie stosowano faktycznego rachunku, ale rachunek różniczkowy pomocny w zrozumieniu dyfuzji cząsteczek w przestrzeni

Dodam do listy (otwórz -źródło danych!), gdy przychodzą e-maile, ale wydaje się bezpieczne, że studenci biologii poza zajęciami z rachunku różniczkowego rzadko używają rachunku różniczkowego.

Komentarze

• Dziękuję za kontakt. Jak wspomniał Matt F., są pewne rzeczy z rachunku różniczkowego, które mogą być pomocne podczas pracy z danymi, funkcjami wielowymiarowymi, transformacjami logarytmicznymi, kształtem rozkładów normalnych. Mogą one nie być widoczne jako rzeczy z rachunku różniczkowego, ale mogą być częścią programu nauczania matematyki.
• To, co robią i co powinni robić , to zupełnie odrębne sprawy.
• Aby dodać do tego, co pisze Carl Witthoft, myślę, że ' jest różnica między uzasadnionym niestosowaniem matematyki, ponieważ wiedza matematyczna nie jest ' odpowiednia / konieczna do zrozumienia / rozwiązania problemu, a nie używam go z powodu ignorancji, podczas gdy w rzeczywistości może to być korzystne.
• I ' Nie jestem zaskoczony, że jedyną pozytywną odpowiedzią było modelowanie równań różniczkowych. Nauczając dużo tego kursu, przykłady modelowania pasują do układów nieliniowych tak samo doskonale, jak przykłady fizyki pasują do systemów liniowych (i prawie wszystko inne w podstawowym rachunku różniczkowym). Wydawały się prawdziwe, a nie wymyślone.
• Świetna odpowiedź. Czasami mam wrażenie, że MESEers szukają usprawiedliwienia w sposób, w jaki nauczyciele łaciny twierdzą, że nauka języka jest pożyteczna. Ale. Jeszcze ważniejsza niż nauka rachunku różniczkowego czy biologii jest nauka krytycznego myślenia. Znalezienie jakiegoś szczególnego uzasadnienia badawczego na wysokim poziomie to nie to samo, co znalezienie uzasadnienia dla wykorzystania czasu (który JEST zmienną ograniczoną).

Tak się złożyło, że około rok temu poprawiłem program nauczania matematyki na kierunkach biologicznych pierwszego roku (jeśli o to chodzi na francuskim uniwersytecie). Bardzo skorzystałem z doświadczenia mojej żony jako biologa przyjaznego matematyce.

Głównym celem kursu jest umożliwienie studentom radzenia sobie z modelami ilościowymi. Na przykład , moja żona badała ruch komórek w różnych okolicznościach.

Typowy model zakłada, że średnia odległość $ d $ między dwoma pozycjami komórki czasami $ t_0 $ i $ t_0 + T $ są podane przez $$ d = \ alpha T ^ \ beta $$, gdzie $ \ alpha > 0 $ to parametr prędkości, a $ \ beta \ in [\ frac12,1] $ to parametr, który mierzy dopasowanie ruchu pomiędzy ruchem Browna ($ \ beta = \ frac12 $) a ruchem czysto balistycznym ($ \ beta = 1 $).

Ten prosty model jest świetnym przykładem pokazującym, jak rachunek różniczkowy może mieć znaczenie dla biologii.

Moja pierwsza uwaga może dotyczyć niedawnych francuskich studentów: po pierwsze -letni studenci często nie są nawet wystarczająco biegli w podstawowych operacjach algebraicznych, aby móc zrobić cokolwiek istotnego z takim mo del. Na przykład nawet pytanie o obliczenie, jak zmienia się $ d $ po pomnożeniu $ T $ przez stałą, wymaga teraz, jak radzić sobie z wykładnikami . W rzeczywistości mieliśmy nawet poważne problemy z samym używaniem procentów.

Jednym z głównych punktów naszego nowego kursu rachunku różniczkowego jest możliwość oszacowania niepewności : w szczególności, biorąc pod uwagę, że $ T = T_0 \ pm \ delta T $, $ \ alpha = \ alpha_0 \ pm \ delta \ alpha $ i $ \ beta = \ beta_0 \ pm \ delta \ beta $, prosimy ich o oszacowanie $ d $ aż do zamówienia jednego (tj. używając serii Taylora pierwszego rzędu ). Dotyczy to już pochodnych funkcji wielu zmiennych i jest ważnym obliczeniem, gdy chcesz wyciągać wnioski z eksperymentów.

Kolejnym ważnym punktem kursu jest użycie logarytmów i wykładniczych , w szczególności do interpretacji logu lub log-log wykresy. Na przykład w powyższym modelu potrzeba (bardzo) niewielkiego nawyku, aby zobaczyć, że robienie dzienników jest dobrą rzeczą: $ \ log d = \ beta \ log T + \ log \ alpha $, więc wykreślanie danych w dzienniku -log wykres powinien dać ci linię (jeśli modele dokładnie odzwierciedlają twoje eksperymenty).

To następnie współdziała ze statystykami : na wykresach log-log można znaleźć regresję liniową , aby znaleźć szacunki dla $ \ alpha $ i $ \ beta $. Ale wtedy naprawdę można oszacować $ \ beta $ i … $ \ log \ alpha $, więc należy mieć pojęcie, jak bardzo ta niepewność przenosi się do $ \ alpha $ ( jedna zmienna serii Taylora pierwszego rzędu : łatwe peasy).

Drugim głównym celem kursu jest umożliwienie im radzenia sobie z niektórymi (Równania różniczkowe zwyczajne. Motywujący przykład, który wybrałem, przedstawił mi chemik z naszego spotkania programowego.

Typowym modelem kinetyki reakcji chemicznej $$ A + B \ do C $$ jest model drugiego rzędu : zakłada się, że szybkość reakcji jest proporcjonalna do iloczynu stężeń gatunków A i B. Prowadzi to do nie tak łatwego równania różniczkowego postaci $$ y „(t) = (ay (t )) (by (t)). $$ To jest ODE pierwszego rzędu z rozdzielanymi zmiennymi . Można to rozwiązać wyraźnie (luksus!) przez podzielenie przez drugiego członka, integruje w $ t $, wykonaj zmiana zmiennej $ u = y (t) $ po lewej stronie, podziel na częściowe ułamki wymierny ułamek, który wychodzi, i pamiętaj, że dziennik jest pierwotnym z funkcja odwrotna (i jak dostosować różne stałe, które pojawiły się w procesie). Następnie potrzebujesz manipulacji algebraicznych , aby przekształcić otrzymane równanie w postać $ y (t) = \ dots $. Niestety i oczywiście jesteśmy dalecy od tego, aby właściwie omówić cały ten materiał, ale staramy się, aby uczeń był w stanie podążać tą drogą później, razem z nauczycielami chemii.

W rzeczywistości chciałbym uwielbiam robić bardziej ilościową analizę równań różniczkowych, ale jest to trudne do nauczenia, ponieważ szybko wykracza poza kilka przepisów. Na przykład chciałbym, aby w mgnieniu oka dostrzegli warianty rozwiązań $$ y „(t ) = a \ cdot y (t) -b \ sqrt {y (t)} $$ (model wzrostu populacji dla kolonii małych żywych istot zorganizowanych w kółko, gdzie śmierć występuje głównie na krawędzi – zwróć uwagę, jak podstawowe geometria pojawia się tutaj, aby wyjaśnić model) pod względem wartości początkowej. Albo aby móc zrealizować te rozwiązania dla $$ y „(t) = \ sqrt {y (t)} $$ musi być podwykładnicze (a co to nawet oznacza …). Aby osiągnąć tego rodzaju cele, należy najpierw dążyć do podstawowej biegłości w rachunku różniczkowym.

Podsumowując, radzenie sobie z dowolnym modelem ilościowym wymaga sporo rachunku różniczkowego , aby mieć poczucie tego, co mówi model, aby użyć go z rzeczywistymi danymi, przeanalizować dane eksperymentalne, zinterpretować je itp.

Kończąc kontrowersyjną kwestią, wydaje mi się, że przynajmniej w moim środowisku biolodzy mają tendencję do niedoceniania użyteczności rachunku różniczkowego (i statystyki, a bardziej ogólnie matematyki) oraz że poprawa podstawowego zrozumienia matematyki wśród przyszłych biologów może być tylko korzystne.

Komentarze

• Czy w modelu ruchu komórki $ d $ jest średnią wielkości przemieszczenia? Średnia kwadratowa odległość? Chciałbym zobaczyć, jak to działa bardziej szczegółowo. ' nie jest dla mnie oczywiste, jak zastosować rachunek różniczkowy do tego przykładu, ponieważ pochodna $ dd / dT $ nie może ' być interpretowana jako prędkość, może z wyjątkiem przypadku $ \ beta = 1 $.
• Wygląda na świetny kurs, choć ambitny dla studentów pierwszego roku. (W Stanach Zjednoczonych jest wielu uczniów, którzy również nie radzą sobie z wykładnikami). Student, który rozumie nawet połowę twojego programu nauczania przed równaniami różniczkowymi, może być bardziej wyrafinowany matematycznie niż większość biologów akademickich.
• @BenCrowell: in the modelu ruchu komórki, $ d $ jest rzeczywiście średnią kwadratową odległością. Każdy model obejmujący stosunkowo prostą relację między zmiennymi będzie tutaj działał: rachunek różniczkowy jest używany głównie do radzenia sobie z niepewnościami oraz do omawiania zmian zmiennych i wykresów log-log.
• @MattF .: ten kurs, zwłaszcza wyidealizowana wersja, którą tu przedstawiłem, jest rzeczywiście ambitna. Jednak obecny poziom rachunku biologów akademickich nie powinien być traktowany jako cel dla studentów, ale jako coś, co należy poprawić w przyszłości.

Większość kierunków biologicznych nie potrzebuje rachunku różniczkowego na swoich zajęciach biologicznych. Będą brać udział w zajęciach z chemii, na których przydatne jest zrozumienie tempa zmian, więc:

• pomogą im częściowe pochodne.

Co ważniejsze, wiele specjalizacji biologicznych będzie pracować w obszarach ilościowych w naukach przyrodniczych, gdzie nauka o danych jest kluczowa . Pomyśl o opracowywaniu leków na bazie związków chemicznych, badaniach klinicznych leków lub genomice. Zajęcia z rachunku różniczkowego z pewnością będą obejmować:

• Krzywa normalna – od wyrażenia $$ \ frac {1} {\ sigma \ sqrt {2 \ pi}} \ Large e ^ {\ Large- (x- \ mu) ^ 2/2 \ sigma ^ 2} $$ i jego całki, które są wszechobecne w myśleniu statystycznym, nie staną się dla nich naturalne w żaden inny sposób.

• Przekształcanie danych za pomocą logu i exp, np. czytanie wykresów dziennika.

• Różne sposoby wizualizacji funkcji, np. wykresy konturowe.

Komentarze

• Oczywiście. Każda dziedzina nauki (a nawet ta pseudo-ekonomiczna) powinna wymagać nie tylko Calc. ale także statystyki.
• -1, uważam tę odpowiedź za bardzo niepokojącą. Fakt, że studenci biologii będą pracować z danymi, nie oznacza, że muszą używać równania dla krzywej normalnej lub próbować je integrować!Czy jesteś biologiem / masz jakieś doświadczenie w tej dziedzinie? Wydaje mi się, że ' jest możliwe, że biolodzy używają tych równań przez cały czas, ale uważam to za niezwykłe twierdzenie!
• @ChrisCunningham, ty ' ponowne atakowanie człowieka ze słomy. 1) Ani pytanie, ani moja odpowiedź nie dotyczą biologów. Moje istotne doświadczenie obejmuje rozmowy z przyjaciółmi i współpracownikami na stanowiskach zawodowych, które często pełnią specjaliści z biologii. 2) Nie wysuwam niezwykłego twierdzenia, które sugerujesz. Mówię, że zajęcia z rachunku różniczkowego mogą pomóc specjaliście biologii, pomagając im zrozumieć kumulatywne wartości normalne i zależne od nich wartości p lub testy z. Czy to aż tyle, aby prosić o włączenie $ \ exp (-x ^ 2) / \ sqrt {2 \ pi} $ jako przykładu sposobu użycia wykładników?
• Spostrzeżenie: ostatnie trzy punkty to wszystkie przedmioty, które czułyby się w domu w takiej czy innej formie rachunku różniczkowego, ale (byli) uczniowie korzystający z nich później prawdopodobnie nie myśleliby o sobie jako ” używając rachunku różniczkowego. ”
• Ja ' c chcę podświetlić ” wartości p ” tutaj. Możesz nauczyć uczniów „, co naprawdę oznaczają wartości p „, korzystając z koncepcji integracji. Będzie to bardzo przydatne dla biolgistów! Dużo z nimi pracuję, a ci, którzy naprawdę rozumieją, czym jest wartość p, zwykle nie nadużywają statystyk tak bardzo, jak ci, którzy nie ' t.

Nie jestem biologiem, a to pytanie wymaga wkładu biologa, niemniej jednak mogę wnieść swój wkład w tę praktykę na naszej uczelni w Budapeszcie.

Mamy specjalny dwusemestralny kurs matematyki dla biologów opracowany we współpracy z wydziałami biologii. Program nauczania jest następujący:

• Pierwszy semestr:

  • liczby zespolone, macierze, wartości własne, model Leslie
  • elementy jedności i rachunku wielowymiarowego (bardzo szybko, głównie poprzez przykłady)
  • dyskretne układy dynamiczne

• Drugi semestr:

  • równania różniczkowe (głównie teoria geometryczna z diagramami fazowymi na komputerze), model Lotki-Volterry
  • elementy teorii prawdopodobieństwa

Dla matematyka wygląda to niezwykle szybko, ale musimy jakoś rozwiązać problem polegający na tym, że niektóre działy biologii wymagają głębokich wyników matematycznych, ale nie ma czasu na rozwinięcie teorii.

Później, na studiach magisterskich / doktoranckich oni może wybierać specjalistyczne kursy prowadzone przez biologów z teorii gier w ekologii i modelach populacyjnych (w oparciu o modele typu Lotka-Volterra), modelach przejścia choroby lub wzrostu guza wykorzystujących teorię ciężkiej ODE.

Dodano: Oto kilka linków do węgierskich materiałów szkoleniowych (przynajmniej literatura jest w języku angielskim) .

biologia populacji

ewolucyjna teoria gier

Komentarze

• Czy mógłbyś opublikować link do działu, sylabusy kursów lub inne szczegóły? ' Jestem pewien, że OP by je docenił.
• Jest to dla mnie trochę niezręczne, ale na stronie głównej nie znajduję plików angielskich, tylko węgierskie …
• Czy mimo wszystko możesz dodać do niego link? Link do strony w języku węgierskim jest bardziej przydatny niż brak linku w ogóle.

Wszystko- Zajęcia z neurobiologii, które są zwykle odpowiednie dla studentów wyższych klas, przedstawi fizjologię błon pobudliwych.

Modelowanie na tym poziomie może być tak proste, jak równanie Nernsta dla potencjału równowagi określonego gatunku jonowego:

^{http://en.wikipedia.org/wiki/Nernst_equation}

Biorąc pod uwagę przepuszczalność jonów, można użyć równania Goldmana – Hodgkina – Katza do zilustrowania potencjału odwrócenia dla danej membrany:

^{http://en.wikipedia.org/wiki/Goldman_equation}

Żaden z tych modeli nie używa rachunku różniczkowego wyraźnie , ale bardziej zaawansowani studenci (szczególnie ci, którzy interesują się modelowaniem komputerowym) mogą zapoznać się z modelem Hodgkina-Huxleya:

^{http://en.wikipedia.org/wiki/Hodgkin%E2%80%93Huxley_model}

Jak wspomniano w niektórych innych odpowiedziach, dogłębna znajomość statystyk jest niezwykle przydatna do nauki na studiach licencjackich lub planujących kontynuować naukę, ale wspomniany przykład jest okazją dla studentów do bezpośredniego zastosowania modeli opartych na równaniach różniczkowych w programie studiów licencjackich z biologii.

Jednym działem biologii, który może być dość matematyczny, jest ekologia i biologia ewolucyjna. Zdecydowanie istnieją kursy, które wymagają rachunku różniczkowego i równań różniczkowych całkiem podobnych do tych, których nauczyłbyś na przykład inżyniera. Z tego, co rozumiem, może to być sporym zaskoczeniem dla studentów biologii, którzy studiują ekologię, ponieważ lubią przyrodę i rośliny / zwierzęta. Ale jeśli chcesz zrozumieć coś w rodzaju tego, jak to jest możliwe, że różne zwierzęta mogą zajmować coś, co wydaje się być tą samą niszą ewolucyjną, to modele matematyczne są naprawdę najlepszym sposobem na zrobienie tego.

Z University of Arizona katalog kursów (ten link będzie wymagał kliknięcia, przepraszam):

ECOL 447 – Wprowadzenie do ekologii teoretycznej Wzrost populacji i zależność od gęstości zaludnienia; drapieżnictwo; konkurencja i konkurencja pozorna; mechanizmy współistnienia: nisze, zmienność przestrzenna i czasowa; koncepcje i właściwości sieci pokarmowej; Aplikacje. Nacisk na zrozumienie poprzez modele i przykłady. Warunek wstępny: Rachunek I

Kilka lat temu prowadziłem semestralny kurs matematyki dla studentów farmacji. (Dostali też semestr statystyki na innym kursie). Przejrzałem niektóre z książek przepisanych drugiego i trzeciego roku na studia farmaceutyczne i miały w nich sporo rachunku różniczkowego. Farmacja fizyczna: wskaźniki rozprzestrzeniania się różnych rzeczy. Interpretacja eliminacji leku podanego doustnie z organizmu na podstawie pomiarów we krwi w różnych momentach: lek trafia najpierw do żołądka, a następnie do krwiobiegu, więc kończy się to z dwoma połączonymi DE (lub nawet trzema, jeśli niektóre narząd lub tkanka działa jako rezerwuar). Chemia: w farmacji na ogół masz do czynienia ze słabymi kwasami i słabymi zasadami, więc sytuacja jest znacznie bardziej skomplikowana niż w zwykłej początkowej chemii.

Z pewnością rzeczy takie jak wykresy półlogiczne zdarzały się dość często – nie do końca rachunek różniczkowy, ale często się nim uczył. I nauczyliśmy reguły trapezu!

Nie było żadnych innych matematyki / statystyk jako takich, z wyjątkiem dwóch semestralnych kursów w programie Farmacja. Zrobili dużo chemii i biologii oraz specjalistyczne kursy na tematy farmaceutyczne. Ten kurs odbył się w Australii.

Byłem trochę zaskoczony wspomnianym wyżej kierunkiem z farmakologii.

I powiedziałbym, że każdy, kto jest dobry zarówno z matematyki, jak i biologii ma fantastyczne możliwości.

Równania różniczkowe służą do modelowania np. interakcje drapieżnik / ofiara w ekologii, rozprzestrzenianie się chorób w epidemiologii.

Znaczna część biologii (molekularnej) to kinetyka reakcji chemicznych, znowu rachunek różniczkowy / równania różniczkowe.

[Powyższe jak ktoś z ogólnym zainteresowaniem biologią, bez formalnego związku z tematem.]

Komentarze

• Czysto anegdotyczne, ale wiedziałem, że studenci biologii studiujący epidemiologię są używając modeli, którym nigdy się nie przyglądałem, ale zakładam, że były to równania różniczkowe, dyskretne układy dynamiczne lub jedno i drugie. Jednak głównie używali oprogramowania do badania modeli, więc przypuszczam, że można spierać się o to, ile rachunku różniczkowego faktycznie musieli wiedzieć. Jest ' całkowicie możliwe, że ja (student matematyki) nie byłbym w stanie ich rozwiązać inaczej niż metodami numerycznymi. Jednak to było w Wielkiej Brytanii, programy nauczania biologii w USA mogą być zupełnie inne dla wszystkiego, co wiem.

1. Kursy matematyki zachęcają do analitycznego myślenia w sposób, który może być pomocny na kierunkach biologicznych.

2. Istnieje pewien argument, że rachunek różniczkowy powinien być szerzej znany w społeczności biologicznej. Na przykład zapoznaj się z następującym niesławnym artykułem, który według Google Scholar uzyskał ponad 200 cytowań:

   M.M. Tai, model matematyczny do określania całkowitej powierzchni pod tolerancją glukozy i innych krzywych metabolicznych. Diabetes Care , Vol 17, Issue 2, 152 – 154.

   „Model matematyczny” omówiony w zasada trapezu , która jest często stosowana na zajęciach z rachunku różniczkowego drugiego semestru.

Komentarze

• Uważam to za obraźliwe dla kierunków biologicznych.
• Warto wspomnieć, że artykuł Tai ' był dość szeroko omawiane w Internecie, na przykład tutaj jest pokrewne pytanie w sieci SE: academia.stackexchange.com/questions/9602/…
• @Fantini Zmodyfikowałem tę odpowiedź, aby poprawić uprzejmość, jednocześnie zachowując zawartość tak bardzo, jak to możliwe.
• @JimBelk Usunąłem swój głos przeciw i zamieniłem go w głos za.

Wiem, że trochę spóźniłem się na imprezę w tej sprawie, ale kiedy to czytam pytanie, czułem, że mogę dodać kilka wartościowych informacji. Po pierwsze, nie jestem biologiem, ale ukończyłem kurs z biologii matematycznej i ekologii, który obejmował szeroki zakres tematów. Ponadto istnieją dwa dobre zasoby, które pokazują i omawiają matematykę związaną z biologią. Jeden jest zbiorem dwóch tomów. Książki to Mathematical Biology I: An Introduction i Spatial Models and Biomedical Applications autorstwa JD Murray oraz Mathematical Models in Biology autorstwa Leah Edelstein-Keshet. Inną posiadaną przeze mnie książką, która nie jest w całości oparta na biologii, ale zawiera biologię, jest Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering Autor: Steven Strogatz.

Niektóre z tematów mogą zostać wspomniane w innym poście, ale nadal będę je wymieniać dla kompletności.

Tematy, które wymagają matematycznej dojrzałości opartej na matematyce to:

1. Ciągłe modele populacji dla pojedynczego gatunku $$ \ frac {dN} {dt} = \ text {birth} – \ text {deaths} + \ text {migracja} $$
2. Dyskretne Modele populacji dla pojedynczego gatunku $$ N_ {t + 1} = N_tF (N_t) = f (N_t) $$
3. Modele dla oddziałujących populacji \ begin {align} \ frac {dN} {dt} & = N (a-bP) \\ \ frac {dP} {dt} & = P (cN-d) \ end {align}
4. Kinetyka reakcji $$ S + E \ mathrel {\ mathop {\ rightleftharpoons} ^ {k_1} _ {k _ {- 1}}} SE \ to P + E $$
5. Biologiczne oscylatory i przełączniki $$ \ frac {d \ mathbf {u}} {dt} = \ mathbf {f} (\ mathbf {u}) $$
6. Perturbed oraz sprzężone oscylatory i czarne dziury (poza przestrzenią) $$ \ frac {d \ mathbf {u}} {dt} = \ mathbf {f} (\ mathbf {u}, \ lambda) $$
7. Dynamika chorób zakaźnych: modele SIR \ begin {align} \ frac {dS} {dt} & = -rSI \\ \ frac {dI} {dt} & = rSI-aI \\ \ frac {dR} {dt} & = aI \ end {align}
8. Rozpraszanie reakcji , Chemotaksja i mechanizmy nielokalne $$ \ frac {\ części} {\ częściowe t} \ int_Vc (\ mathbf {x}, t) dv = – \ int_S \ mathbf {J \ cdot ds} + \ int_Vfdv $$
9. Zjawiska fal generowane przez oscylatory i generatory wzorców centralnych

Kolejne tematy są nieco trudniejsze i wymagają znajomości PDE, ale zaawansowany student mógłby sobie z tym poradzić

1. Fale biologiczne: modele pojedynczych gatunków $$ \ frac {\ part u} {\ part t} = D \ frac {\ part ^ 2u} {\ part x ^ 2} $$
2. Użycie fraktali
3. Fale wielu gatunków $$ \ frac {\ części \ mathbf {u}} {\ częściowe t} = \ mathbf {f (u)} + D \ nabla ^ 2 \ mathbf {u} $$
4. Formaty wzorców przestrzennych on z systemami rozpraszania reakcji
5. Wzorce bakteryjne i chemotaksja $$ \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _c = \ nabla \ cdot [\ chi (n, c) \ nabla c] $$
6. Mechaniczna teoria tworzenia sieci naczyniowych $$ \ frac {\ Partion n} {\ Part t} = – \ nabla \ cdot \ frac {\ Partial \ mathbf {u}} {\ Part t} + \ nabla \ cdot \ nabla \ cdot (\ mathbf {D (\ epsilon)} n) $$
7. Leczenie ran naskórka \ begin {align} f (n) & = \ lambda c_0 \ frac {n} {n_0} \ frac {n_0 ^ 2 + \ alpha ^ 2} {n ^ 2 + \ alpha ^ 2} \\ f (n) & = \ frac {\ lambda c_0} {n_0} n \ end {align}
8. Modele neuronowe formacji wzorców $$ \ frac {\ part n} {\ part t} = f (n) + \ int_Dw (xx „) [n (x”, t) -1] dx „$$
9. Geograficzne rozprzestrzenianie się i kontrola epidemii \ begin {align} \ frac {\ Partial S} {\ Part t} & = -rIS + D \ nabla ^ 2S \\ \ frac {\ Part I} {\ Partial t} & = rIS-aI + D \ nabla ^ 2I \ end {align}

Gdy chcesz porozmawiać tempo, w jakim coś się dzieje, ty odkryje, że równania różniczkowe rachunku różniczkowego są pomocne.

Kilka przykładów w biologii:

1. wzrost populacji: dx / dt = Rx, opisuje nieograniczony / wykładniczy wzrost populacja, która może być królikami, komórkami itp.

2. kinetyka reakcji chemicznej: odwracalna [A] [B] < -> [AB]. d [AB] / dt = k1 * [A] [B] -k2 [AB] szybkość formowania d [AB] / dt spada wraz ze zużyciem [A] i [B]

Jednym z ważnych zastosowań rachunku różniczkowego w biologii jest drapieżnik – model zdobyczy , który określa równowagę liczby drapieżników i drapieżników w ekosystemie.

W rzeczywistości jest to zastosowanie „równań różniczkowych”, ale aby się tam dostać, będziesz potrzebować rachunku różniczkowego.

Komentarze

• To ' fajny model, ale zastanawiam się, jak często ekolog naprawdę używa Co więcej, wymaga, a nawet prowadzi dalej niż rachunek różniczkowy (a zatem wymaga więcej czasu).

Analiza matematyczna rzadko jest pomocna na kierunkach biologicznych, jeśli „pomocna” oznacza użyteczną w sensie użytkowym i zawodowym.Zdecydowana większość kierunków biologicznych zajmuje się pokrewnymi dziedzinami zdrowia: zamierzają być lekarzami, farmaceutami, fizjoterapeutami, weterynarzami, optometrystami i dentystami. Zawody te nie przypominają inżynierii, w której na co dzień używa się rachunku różniczkowego. Tutaj, w Kalifornii, system UC zdecydował, że ok. 1997, aby specjaliści z biologii zaczęli wymagać studiowania fizyki opartej na rachunku różniczkowym. Motywacja była dość przejrzysta: mieli zbyt wiele kierunków biologicznych (główny był „dotknięty”) i chcieli się pozbyć niektórych. Jest to podobne do tego, że w XIX-wiecznej Wielkiej Brytanii chcąc zostać oficerem wojskowym, trzeba było zdać egzamin z greki i łaciny.

Czy to oznacza, że przyszli oficerowie wojskowi nie mają nic do zyskania z nauki starożytnej greki lub że przyszli dentyści nie będą mieli nic do zyskania na stosowaniu rachunku różniczkowego? Absolutnie nie. Oznacza to po prostu, że dla przyszłego dentysty nauka rachunku różniczkowego jest jednym z możliwych składników tej osobliwej koncepcji kształcenia ogólnego. To „sposób na zdobywanie szerokiej wiedzy o świecie i zdobywanie doświadczenia w różnorodnych zajęciach intelektualnych i sposobach myślenia.

Dla porównania pomocne może być zadanie podobnego pytania, czy zajęcia z biologii są pomocne dla biologii Wiele z nich oczywiście nie jest, jeśli jest to przydatne w sensie codziennej użyteczności zawodowej. Na przykład kierunki biologii uczą się o rozmnażaniu paproci i mchów kaczkowatych, co może mieć bardzo mało praktyczne użyteczność dla optometrysty.

Komentarze

• Dotyczy to tylko zawodowych biologów, a nie akademickich. Większość biologów akademickich faktycznie używa pewnych pojęć z rachunku różniczkowego , nawet jeśli nie ' nie wykonują rachunku różniczkowego jawnie.
• @MHH: I ' na pewno ' jest prawdą, ale jaki procent studentów uzyskujących stopień naukowy z biologii zostaje biologami akademickimi? 1%?