Jak obliczyć wariancję p jako wyprowadzoną z rozkładu dwumianowego? Powiedzmy, że przerzucę n monet i dostanę k orłów. Mogę oszacować p jako k / n, ale jak mogę obliczyć wariancję w tym oszacowaniu?
Jestem tym zainteresowany, aby móc kontrola wariancji w moich szacunkach współczynnika, gdy porównuję punkty z różnymi liczbami prób. Jestem bardziej pewien oszacowania p, gdy n jest większe, więc chciałbym móc modelować, jak wiarygodne jest oszacowanie.
Z góry dziękujemy!
przykład:
- 40/100. MLE z p będzie równe 0,4, ale jaka jest wariancja w p?
- 4/10. MLE nadal będzie wynosić 0,4, ale oszacowanie jest mniej wiarygodne, więc powinno być więcej wariancji w p.
Odpowiedź
Jeśli $ X $ to $ \ text {Binomial} (n, p) $ to MLE z $ p $ to $ \ hat {p} = X / n $.
Zmienna dwumianowa może być traktowana jako suma zmiennych losowych $ n $ Bernoulliego. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ gdzie $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
abyśmy mogli obliczyć wariancję MLE $ \ hat {p} $ as
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Więc możesz zobaczyć, że wariancja MLE zmniejsza się dla dużych $ n $, a także jest mniejsza dla $ p $ blisko 0 lub 1. Jeśli chodzi o $ p $ maksymalizuje się, gdy $ p = 0,5 $.
Dla niektórych przedziałów ufności możesz sprawdzić Dwumianowe przedziały ufności
Komentarze
- Myślę, że link jest podobny do tego, czego ' szukam, ale chcę mieć wartość, która jest równoważna wariancji p. Jak mogę to uzyskać na podstawie przedziału ufności?
- Zredagowałem moją pierwotną odpowiedź, aby dokładniej odpowiedzieć na Twoje pytanie.
- Jak sobie z tym radzisz, że wzór wariancji wymaga p, ale ty mieć tylko oszacowanie p?
- Możesz rozważyć użycie transformacji stabilizującej wariancję, takiej jak $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $, a wtedy otrzymasz, że wariancja przekształconej zmiennej jest $ \ tfrac {1} {4n} $