Mam ciągłą belkę w poprzek środkowej kolumny (nie wiem, czy narysowałem ją poprawnie, czy nie)
Wykres przemieszczenia i siły jest taki, jak pokazano:
Pierwszy wykres przedstawia moment zginający, drugi siłę osiową, trzeci to przemieszczenie.
A teraz jaki jest warunek brzegowy w $ R_A $, $ R_B $ i $ R_C $?
Z tego, co mogę wywnioskować, wygląda na to, że
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (odpowiada ugięciu na trzech podporach)
$ M (0) = M (2L) = 0 $ lub $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (odpowiada chwili).
Ale podejrzewam, że wciąż brakuje mi pewnych warunków brzegowych, aby uzyskać pełny wykres przemieszczenia / siły dla ciągłej ous bel. Czy są jakieś warunki brzegowe, które przeoczyłem?
Odpowiedź
Cóż, brakuje Ci zgodności nachyleń na środkowym wsporniku :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
W przypadku symetryczna geometria & obciążenia, nachylenie belki na środkowej podporze będzie równe zero.
Ponieważ moment zginający nie ma pochodnej przy x = L, będziesz trzeba oddzielnie wyznaczyć ugięcia dwóch połówek i „połączyć” je ze zgodnością.
Aktualizacja: wyprowadzenie wzoru na ugięcie belki:
Wychodząc z równania belki Eulera-Bernoulliego (zakładając stałą EI) i biorąc x od zewnętrznej podpory w kierunku środka: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Całkowanie cztery razy:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Zauważając, że problem jest symetryczny, warunki brzegowe to: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Dlatego możemy od razu zobaczyć, że: $ B = D = 0 $
Mamy teraz dwa równania z dwiema niewiadomymi (A, C). Rozwiązując znajdujemy: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Możemy teraz podstawić wszystko stałe z powrotem do równania dla w. Upraszczanie wyników w:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Który jest identyczny z podanym wynikiem tutaj (zwróć uwagę, że ich układ współrzędnych ma x = 0 w środku). Zwróć również uwagę, że jest to dokładnie taki sam wynik, jak w przypadku wspornika podpartego . Wynika to z symetrii, co oznacza, że nachylenie belki w środku wynosi zero (co jest tym samym warunkiem brzegowym, co w przypadku wspornika).
Możesz również podstawić do równania momentu zginającego:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Komentarze
- a) zgodność stanu nachylenia jest pomocna tylko wtedy, gdy można modelować belkę ciągłą jako belki dwuprzęsłowe. Jak to jest pomocne w tym przypadku? b) Dlaczego mówisz, że moment zginający jest nieciągły przy $ L $? diagram momentu w moim pytaniu wyraźnie pokazuje, że jest ciągły.
- Byłbym wdzięczny, gdybyś mógł trochę rozwinąć i jeśli możesz pokazać, jak twoje warunki brzegowe mogą prowadzić do wykresu przemieszczenia / momentu zginającego dla belki ciągłej .
- @Graviton, a) Zaktualizuję pytanie o wyprowadzenie. b) masz rację, byłem trochę luźny z moją terminologią matematyczną. Chodzi mi o to, że moment zginający nie ma pochodnej przy x = L.