Analiza układu dwóch ciał może być prostsza przy użyciu zredukowanej masy, ponieważ problem zasadniczo ogranicza się do jednego ciała. Pierwsze przybliżenie można uzyskać zakładając, że m1 >> m2, tak jak planeta krążąca wokół gwiazdy, ponieważ środek ciężkości pokrywa się z m1. Można więc założyć, że ciężkie ciało jest w spoczynku i lżejsze porusza się wokół niego.
Wyprowadzenie: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {być masą i położeniem masywnego ciała oraz} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {lżejszym.} $$
$$ \ text {Zakłada się, że} \, m_1 > > m_2 \, \ text {Siła między masami (grawitacja) zależy od różnicy pozycji wektorów}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {gdzie}: $$
$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {jest siłą działającą na ciało 1 z powodu ciała 2} $$ W naszym przybliżeniu zakładamy, że ciężka masa jest w spoczywaj w miejscu pochodzenia. Zatem: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ A równanie ruchu wygląda następująco: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ , które można rozwiązać, aby uzyskać pozycję.
Aby uzyskać „prawdziwy” ruch, okazuje się, że nasze przybliżenie może być dokładne, biorąc pod uwagę środek masy (CM). (który jest masą średnia ważona pozycji dwóch mas w tym przypadku) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Będziemy ilość połączeń} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {zredukowana masa} $$ $$ \ text {Also}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Można łatwo wykazać, że zewnętrzna siła netto działająca na system jest równa masa całkowita pomnożona przez przyspieszenie środka masy. Jeśli nie jesteś przekonany, napisałem wcześniej takie wyprowadzenie w tym POST
Ponieważ zakłada się, że nie występują żadne siły zewnętrzne (siła grawitacji między masami „liczy się” jako wewnętrzna), środek masy porusza się ze stałą prędkością. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implies \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Przyjmijmy CM za początek bezwładnościowego układu współrzędnych. Zatem pozycja obu mas jest określona wzorem: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implies \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implies \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {we get:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implies \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implies \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Dlatego równania ruchu to}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W to jest nasze równanie otrzymane wcześniej w naszym przybliżeniu ze zredukowaną masą. Zauważ, że jeśli m1 >> m2 masa zredukowana jest prawie taka sama jak m2.
Ten ruch układu dwóch ciał składa się z jego CM i ruchu wokół niego. Ruch wokół niego można opisać jako pojedynczą, zredukowaną masę poruszającą się wokół stałego środka.