Wyrażenie dowodzące dla funkcji autokowariancji AR (1)

Napiszmy $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$

od $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (tj. dane wyjściowe z przeszłości są niezależne od przyszłych danych wejściowych).

Podobnie $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .

Jeśli będziemy kontynuować w ten sposób, otrzymamy $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , gdzie $ h \ geq0 $ . Uogólniając dla ujemnych $ h $ daje $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , gdzie $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .

PS cała ta analiza zakłada, że $ \ epsilon_t $ to WSS, dlatego $ y_t $ z właściwości filtrowania LTI.

Komentarze

• w pierwszym wierszu jest literówka .. znak tożsamości umieszczony nieprawidłowo.
• W pierwszym wierszu chciałbym zamień trzeci znak ” + ” na ” = ” znak: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
• Podczas próby edycji literówki adresowanej przez @Jesper przekonwertowałem ten konkretny znak = + podpisać i uczynił to bardziej błędnym :). Widzę, że powodem jest renderowanie. Chociaż kolejność instrukcji tex jest poprawna, zostały one wyświetlone w innej kolejności. W każdym razie ' użyłem instrukcji wyrównywania i uczyniłem to znacznie bardziej przejrzystym. Mam nadzieję, że ' wszystko w porządku.
• Czy wyrażenie warunkowej automatycznej kowariancji jest takie samo? To znaczy, czy $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?

Wychodząc od podanych informacji:

$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $

Gdzie $ c = (1 – \ phi) \ mu $

Możemy przepisać $ (1) $ as:

\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}

Następnie

$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $

Jeśli pozwolimy $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , to równanie $ (2) $ można zapisać jako:

$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $

Wariancja

Wariancja klasy $ (3) $ jest uzyskiwany przez podniesienie wyrażenia do kwadratu i przyjęcie oczekiwań, co kończy się na:

\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}

Spójrz teraz na oczekiwanie:

$ E (\ tylda {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tylda {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tylda {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $

Jej e zadzwonimy:

• $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ to wariancja procesu stacjonarnego.
• Drugi wyraz po prawej stronie równania ma wartość zero, ponieważ $ \ tilde {y} _ {t-1} $ i $ \ epsilon_ {t} $ są niezależne i oba mają zerowe oczekiwanie.
• Ostatni termin po prawej stronie to wariancja innowacji, oznaczona jako $ \ sigma ^ {2} $ (zwróć uwagę, że nie ma indeks dolny tego).

Wreszcie

$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $

Jeśli rozwiążemy wariancję procesu, a mianowicie $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , mamy:

$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $

Autokowariancja

Zamierzamy użyć tej samej sztuczki, której używamy dla formuły $ (3) $ . Autokowariancja między obserwacjami oddzielonymi $ h $ kropkami wynosi zatem:

\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}

Innowacje są nieskorelowane z przeszłymi wartościami serii, a następnie $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ i zostaje nam:

$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $

Dla $ h = 1, 2, \ ldots $ i $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $

Dla szczególnego przypadku $ AR (1) $ , równanie $ (5) $ staje się:

$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $

I używając wyniku równania $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ mamy

$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $

Oryginalne źródło: Andrés M. Alonso & slajdy Carolina García-Martos. Dostępne tutaj: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf