Zachowanie 4-pędu w szczególnej teorii względności

Rozumiem, że iloczyn skalarny dwóch 4-wektorów jest zachowywany podczas transformacji Lorentza.

Tak, $ p_1.p_2 $ jest niezmiennikiem Lorentza

Tak więc wartość bezwzględna czterech pędów jest taka sama w każdej ramce odniesienia.

To i Nie jest poprawne mówienie o „wartości bezwzględnej” (quadri) wektora. Co jest zachowane w transformacji Lorentza to $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

To jest to, co ja Myślenie (najprawdopodobniej błędnie) oznaczało zachowanie pędu.

Nie, zachowanie pędu to zupełnie inna sprawa. Ostatecznie masz pewną teorię opisującą pola i interakcje, opisującą działanie, które jest niezmienne przez niektóre symetrie. Jeśli działanie jest niezmienne przez translację w czasie i przestrzeni, wówczas istnieje zachowana ilość, którą jest pęd / energia.

Nie rozumiem, dlaczego równania takie jak P 1 = P 2 + P 3 (P i to 4-pędowe wektory dla różnych cząstek w zderzeniu na przykład) powinien utrzymywać się w układzie odniesienia. Powiedziano mi, że nie można po prostu dodać do siebie czterech prędkości podczas zderzenia cząstek, więc dlaczego miałbyś to zrobić z wektorami pędu?

Jeśli działanie teorii jest niezmienne przez translacje czasoprzestrzenne, to pęd / energia jest zachowana, więc całkowity pęd / energia początkowych cząstek jest taka sama jak całkowita pęd / energia końcowych cząstek:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Jeśli istnieje kilka cząstek początkowych, są one uważane za niezależne (stan globalny jest iloczynem tensorowym stanów cząstek początkowych). Niezależność oznacza, że have:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ gdzie suma jest abou t wszystkie początkowe cząstki. Podobne równanie dotyczy cząstek końcowych.

W szczególnej teorii względności, jeśli dodasz dwie prędkości, musisz użyć formuła

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Nie możesz więc po prostu dodać do siebie dwóch prędkości. Zwykle prędkość nie jest dobrą zmienną do pracy w szczególnej teorii względności. O wiele łatwiej jest użyć zachowania czterech pędów, które jest po prostu podane przez

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

dla zderzenia cząstek, gdzie dwie cząstki z $ p_1 $ i $ p_2 $ zderzają się, a następnie sklejają się i mają pęd $ p $. Ponieważ czteropęd jest określony przez

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

zachowanie czterech pędów to nic innego jak zachowanie energii $ E $ i zachowanie trzech pędów $ \ vec {p} $.

Aby odpowiedzieć na Twoje pytania:

Dlaczego może dodajemy cztery pędy do zderzenia cząstek? Ponieważ zasada zachowania energii i pędu zachodzi również w teorii względności.

Dlaczego nie może „t dodajemy cztery prędkości w zderzeniu cząstek? Ponieważ nie ma czegoś takiego jak „zachowanie prędkości”, ani klasycznie, ani w teorii względności.

Komentarze

• Ta odpowiedź była świetna. Mam wyjaśniające pytanie – czy $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ będzie niezmienne, a więc $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Możesz po prostu zweryfikować każdy komponent i są one po prostu zachowaniem pędu w 3 pędach. Nie ma zachowania prędkości, więc nie możesz ich zsumować.