Na początek jest to zadanie domowe, dość długie.
Cząstka o masie 208 razy większej od masy elektronu porusza się po kołowej orbicie wokół jądra o ładunku $ + 3e $. Zakładając, że model atomu Bohra ma zastosowanie do tego układu,
- Wyprowadź wyrażenie określające promień $ n $ tej orbity Bohra.
- Znajdź wartość $ n $ dla którego promień jest równy promieniom pierwszej orbity wodoru.
- Znajdź długość fali promieniowania emitowanego podczas przeskakiwania cząstki z trzeciej orbity na pierwszą.
Teraz wykonałem pierwszą część i otrzymałem poprawną odpowiedź. Oto co zrobiłem.
Załóżmy, że masa obracającej się cząstki to $ M $, jej prędkość to $ v $, a $ M = 208 m_ {e} $. Siła elektrostatyczna to siła dośrodkowa . Dlatego
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Z modelu Bohra,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
gdzie $ h $ jest stałą Plancka. Dlatego
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Kwadrat,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Zrównanie dwóch równań zawierających $ v ^ 2 $ ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Po rozwiązaniu $ r $ otrzymujemy coś takiego,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Wszystkie powyższe odpowiedzi są poprawne. Problem tkwi w drugiej i trzeciej części; kiedy wstawiam $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ NIE otrzymuję wymaganej odpowiedzi. Aby podejść do trzeciej części, zacząłem od standardowego równania Rydberga,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Podłączyłem każdą wartość, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; ale znowu nie otrzymałem poprawnej odpowiedzi.
Odpowiedź na drugą część to 25 $ (n = 25) $; a na trzecią 55,2 pikometra.
Odpowiedź
Aby odpowiedzieć na drugą część:
Znamy $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Część pierwsza zawiera błąd, ponieważ jest
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ sugeruje & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Znamy również promień Bohra:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ około 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Dlatego możemy napisać i anulować:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ Dlatego & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ Dlatego & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ około25 \ end {align} $$
Trzecia część:
Formuła Rydberga jest podana jako
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
z Stała Rydberga $ \ mathcal {R} $ zdefiniowana dla fotonu emitowanego przez elektron. Zakładamy, że masa jądra to 7 jednostek atomowych (trzy protony + cztery neutrony). Biorąc pod uwagę, że $ m_p \ około 1836m_e $ , dochodzimy do
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Teraz należy zmodyfikować stałą Rydberga, aby obejmowała masa cząstki:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Z $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), dotarłem do $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Bez uwzględnienia zredukowanej masy, tj. $ \ mathcal {R} \ około \ mathcal {R} _ \ infty $ dotarłem do $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Obie wartości są dość zbliżone do podanego rozwiązania.
(Jeśli naprawdę chodziło o mion, dokładniejszy stosunek wagowy to 206,77, a odpowiadające długości fal 55,1 i 56,0 pm.)