Kula Blocha jest pięknie minimalistyczna.

Zwykle kubit ma cztery rzeczywiste parametry; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Jednak szybki wgląd pokazuje, że $ a $ -vs- $ b $ kompromis ma tylko jeden stopień swobody ze względu na normalizację $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ , a nieco dokładniejsza analiza ujawnia, że w sposobie, w jaki konstruujemy wartości oczekiwane w QM, nie możesz obserwować $ \ chi $ lub $ \ phi $ same w sobie, ale tylko różnica $ \ chi – \ phi $ , czyli $ 2 \ pi $ -periodic. (Jest to szerzej omówione w komentarzach poniżej, ale pokrótce: QM przewiduje tylko średnie $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ i przesuwa ogólną fazę funkcji falowej przez jakiś $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ , dlatego anuluje się w każdej prognozie.)

Więc jeśli myślisz najbardziej abstrakcyjnie o tym, czego potrzebujesz, po prostu narysuj linię od 0 do 1 reprezentującą $ a $ -vs – Kompromis $ b $ : ile to jest w jednym z tych dwóch stanów? Następnie rysujesz wokół niego kółka: jaka jest różnica faz? To, co powstrzymuje go przed byciem cylindrem, to fakt, że różnica faz przestaje mieć znaczenie, gdy $ a = 1 $ lub $ b = 1 $ , dlatego okręgi muszą zmniejszyć się do punktów. Et voila , masz coś, co jest topologicznie odpowiednikiem kuli. Sfera zawiera wszystkie informacje potrzebne do eksperymentów i nic więcej.

Jest także fizyczną, prawdziwą kulą w przestrzeni 3D.

To jest bardziej szokujący fakt. Biorąc pod uwagę tylko prosty obrazek powyżej, można by wybaczyć, że myślisz, że to wszystko była nieszkodliwa matematyka: nie! W rzeczywistości kwintesencją kubitu jest system spin- $ \ frac 12 $ , z macierzami Pauliego wskazującymi sposób, w jaki system obraca się wokół $ x $ , $ y $ lub $ z $ . To jest system, w którym identyfikujemy $ | 0 \ rangle $ za pomocą $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ z $ | \ downarrow \ rangle $ , a różnica faz pojawia się wybierając oś $ + x $ za pośrednictwem $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Ortogonalne kierunki przestrzeni nie są ortogonalne Hilberta w traktowaniu QM, ponieważ po prostu nie tak jest w fizyce tego systemu działa. Stany ortogonalne Hilberta są niewspółmierne: jeśli jesteś w tym stanie, na pewno nie jesteś w tym stanie.Ale ten system ma obrót o określonej całkowitej wielkości $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , ale tylko $ \ hbar / 2 $ wskazuje w kierunku, w którym jest „najbardziej wskazany”, co oznacza, że musi być rozmieszczony na jakimś „pierścieniu” wokół tego kierunku. W związku z tym, gdy zmierzysz, że znajduje się on w kierunku $ + z $ , okazuje się, że znajduje się on również w połowie w $ + x $ , połowa w kierunku $ – x $ . (Tutaj „sort-of” oznacza: to jest, jeśli podążasz za pomiarem $ x $ .)

Zapytajmy więc „ w którym kierunku obraca się najbardziej $ \ frac12 $ ? ” Wymaga to skonstruowania obserwowalnego. Aby podać przykład, jeśli $ + z $ -direction jest najczęściej rozwijany przez stan $ | \ uparrow \ rangle $ to obserwowalna dla $ z $ -spin to macierz Pauliego $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ w tym stanie, $ -1 $ w stanie Hilberta-perpendicular $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Podobnie, jeśli spojrzysz na $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ zobaczysz, że stan $ | {+ x} \ rangle $ zdefiniowany powyżej jest wektorem własnym z wartością własną +1 i podobnie powinien istnieć $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ spełniający $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ i możesz odzyskać $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Następnie stan ortogonalny do $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ to $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ więc obserwowalna, która wynosi +1 w tym stanie lub -1 w przeciwnym stanie to: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Zapisując to jako $ v_i \ sigma_i $ , gdzie $ \ sigma_i $ to macierze Pauliego, które otrzymujemy: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Teraz pozwalam $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ i $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ dowiadujemy się, że są to: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Więc recepta Blocha używa $ (\ theta, \ phi) $ , które są po prostu sferycznymi współrzędnymi punktu na sfera, w której taki $ | \ psi \ rangle $ „wiruje najbardziej w kierunku”.

Więc zamiast być czysto teoretycznym wizualizacji, możemy powiedzieć, że system spin- $ \ frac 12 $ , prototypowy kubit, w rzeczywistości obraca się w kierunku określonym przez współrzędne kuli Blocha! (Przynajmniej na tyle, na ile system spin-up się kręci.) Jest bezlitośnie fizyczny : chcesz go przemieścić w matematyczny róg i mówi: „nie, dla prawdziwych systemów jestem skierowane w tym kierunku w rzeczywistej przestrzeni 3D i musisz zwrócić na mnie uwagę. ”

Jak te odpowiedzi odpowiadają na Twoje pytania.

1. Tak, N i S są przestrzennie równoległe, ale w przestrzeni Hilberta są ortogonalne. Ta ortogonalność Hilberta oznacza, że system nie może być jednocześnie rozpędzany i rozpędzany.Z drugiej strony brak ortogonalności Hilberta między, powiedzmy, kierunkami $ z $ i $ x $ oznacza, że gdy mierzysz $ z $ -spin, nadal możesz mieć niezerowe pomiary obrotu w $ x $ -kierunek, co jest kluczową cechą takich systemów. To rzeczywiście trochę zagmatwane mieć dwa różne pojęcia „ortogonalne”, jedno dla przestrzeni fizycznej, a drugie dla przestrzeni Hilberta, ale wynika to z posiadania dwóch różnych przestrzeni, na które patrzysz.

2. Jeden ze sposobów sprawdzenia, dlaczego kąty są fizycznie bardzo przydatne, podano powyżej. Ale jak wspomniano w pierwszej sekcji, można to również potraktować jako czysto matematyczne ćwiczenie polegające na próbie opisania przestrzeni konfiguracji za pomocą kuli: wtedy naturalnie masz kąt biegunowy jako różnicę faz, która wynosi $ 2 \ pi $ -okresowo, więc jest to naturalna współrzędna azymutalna; dlatego sposób, w jaki współrzędna leży wzdłuż 0/1, powinna być współrzędną „biegunową” z $ 0 $ mapowaniem do $ | 0 \ rangle $ i $ \ pi $ mapowanie do $ | 1 \ rangle $ . Oczywistym sposobem na to jest mapowanie $ \ cos (\ theta / 2) $ od 1 do 0 w tym zakresie, jako amplituda dla $ | 0 \ rangle $ stan; fakt, że $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ oznacza, że $ | 1 \ rangle $ stan musi przyjąć amplitudę $ \ sin (\ theta / 2) $ , aby ją dopasować.

Komentarze

• Mam podobne zamieszanie odnośnie sfery Blocha jak PO. Czy mógłbyś wyjaśnić trochę, co masz na myśli, pisząc „, a nieco dokładniejsza analiza ujawni, że w sposobie, w jaki konstruujemy wartości oczekiwane w QM, nie możesz obserwować $ \ chi $ i $ \ phi $, ale tylko różnica $ \ chi – \ phi $, czyli $ 2 \ pi $ -periodic „?
• @Moses: jasne. wszystkie prognozy QM są wartościami oczekiwanymi w postaci $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Oblicz to dla $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ with $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (więc $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $), aby znaleźć $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Nie wartość oczekiwana ujawnia zatem cokolwiek na temat samego $ \ phi $ lub $ \ chi $, ale tylko potencjalnie $ \ delta = \ phi- \ chi $ poprzez ten $ e ^ {i \ delta} $ termin, który jest oczywiście $ 2 \ pi $ – okresowo w $ x $.
• Mówiąc bardziej ogólnie, globalna faza funkcji falowej jest nieobserwowalna; te nawiasy oczekiwań mówią, że oczekiwania w stanie $ | \ psi ' \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ muszą być $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi '} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Może to pomóc OP internalizować naturalność $ \ frac {\ theta} {2} $ aby zwrócić uwagę, że odpowiada to faktowi, że mamy do czynienia ze spinem – $ \ frac {1} {2} $ cząstką. Półobrót prowadzi do tego, że generatory rotacji nie są $ \ sigma $, ale $ \ frac {\ sigma} {2} $ (aby zachować wartość własną równą $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). W ten sposób transformacja, która działa na stan dla fizycznej rotacji $ \ theta $ staje się $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – prowadząc do rotacji $ \ frac {\ theta} {2} $ dla stanu.
• Dlaczego potrzebujemy kuli 3D, a nie tylko koła na płaszczyźnie? Jeśli wyobrazimy sobie kubit jako dwie możliwe wartości spinu atomu lub jego superpozycji … Jakie ' jest fizyczne znaczenie kąta azymutalnego ϕ?

Możesz powiązać punkty na powierzchni sfery jednostkowej ze stanami czystego spinu w następujący prosty sposób.

Punkt sfery $ (n_x, n_y, n_z) $ jest powiązany z wektorem własnym operatora $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ z dodatnią wartością własną i odwrotnie. Obejmuje to wszystkie stany spinowe pojedynczych cząstek o spinie 1/2.

I to nie jest przypadek, wizualizacja czy matematyka. Jeśli masz urządzenie Sterna-Gerlacha z niejednorodnością pola magnetycznego skierowaną w kierunku $ (n_x, n_y, n_z) $, będzie ono konsekwentnie odchylać tę wiązkę w określonym kierunku, gdy ma stan własny, który jest własny do $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Ale czy nie jest to bardzo zagmatwane? Jeśli wybrano biegun północny i południowy, oba stany są w tej samej linii i już nie ortogonalna,

Nie jest to w najmniejszym stopniu mylące. Geometria jest związana z orientacją fizycznego urządzenia w laboratorium, dla którego stan zapewnia wiarygodne wyniki.Urządzenie zorientowane przeciwnie również daje wiarygodne wyniki. To jest typowe dla stanów ortogonalnych, że teonortgonalne stany mogą być własne dla tego samego operatora.

Zatem różne punkty sfery Blocha identyfikują różne orientacje, które dają wynik „w górę” dla różnych stanów. Nie myl orientacji urządzenia pomiarowego w przestrzeni 3D z geometrią stanów w przestrzeni spinowej.

Więc jak wybrać dowolny punkt $ p $ na powierzchni kuli i ewentualnie rozłożyć ją na stany 0,1 $ w celu znalezienia $ a $ i $ b $?

Jest na odwrót. Jak zdecydowałeś nazwać jeden stan 0, a inny 1? Wybrałeś przypadkową orientację i nazwałeś ją zi zorientowałeś swoje urządzenie tak, aby niejednorodność pola magnetycznego wskazywała w ten sposób. To dało ci wzloty i upadki.

Ale teraz możemy określić dowolny stan spinu. Ty też masz dowolny punkt $ (n_x, n_y, n_z) $, a następnie znajdź wektor własny $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Z dodatnią wartością własną. Nazwij go $ \ left | s \ right \ rangle, $ then $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$, więc masz $ a $ i $ b $ z wyjątkiem tego, że nie znasz ogólnej fazy i wielkości, ale stan spinu pojedynczej cząstki nie ma żadnego z nich .

Czy to oznacza, że nie należy traktować sfery Blocha jako ważnej podstawy naszego systemu i że jest to tylko pomoc w wizualizacji?

Nie, oznacza to, że nie należy mylić geometrii w laboratorium z geometrią przestrzeni Hilberta. Fizyka jest nauką eksperymentalną, więc są one zdecydowanie powiązane, ale nie są takie same.

Jeśli chcesz rzutować wektor na przestrzenie własne, nie rzutuj etykiet na siebie. Możesz mieć stan spinowy i inny stan spinowy, a kiedy przepuścisz jeden przez urządzenie Sterna-Gerlacha zorientowanego na drugie, wtedy przestrzenne stopnie swobody rozdzielą się i rozdzielą na jeden, który jest w górę w tym kierunku i taki, który jest przestrzennie w dół kierunek i stan wirowania dosłownie zmienia się, by skierować wiązkę w górę, która przestrzennie poszła w górę i skierować w dół wiązkę, która zeszła w dół. Więc spin jednej cząstki splątał się z jej własnym położeniem.

Rozmiar projekcji Hilberta mówi ci o rozmiarze części przestrzennych, które zostały odchylone i rozszczepione. Ale nie potrzebujesz też dosłownie zapamiętać takie zasady. Jeśli zapiszesz równanie Schrödingera dla urządzenia Sterna-Gerlacha, wiązka rozszczepi się i rozdzieli na części o odpowiedniej wielkości, a spiny zostaną wyrównane w dwie polaryzacje i dzieje się to bez polecenia.

Więc wtedy stan wirowania jest czysty. Wskazuje kierunek, w którym niezawodnie podąży, jeśli dasz mu szansę. A jeśli umieścisz go w innym zorientowanym Stern-Gerlachu, będzie zmuszony iść w jednym z dwóch kierunków dozwolonych przez tę orientację i rozdzieli się i pójdzie w obu. Aby uzyskać rozmiary każdej części, możesz rozwinąć równanie Schrödingera lub obliczyć wektory własne operatora $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ i dodać do niego wektor własny dodatniej wartości własnej prostopadły do drugiego wektora.

I tak, są łatwiejsze sposoby na zrobienie tego i więcej możesz z tego wyciągnąć. Ale miejmy nadzieję, że zobaczysz inną geometrię.

Czy mógłbyś pokazać, jak uzyskuje się wtedy $ cos \ theta / 2 $ i $ e ^ {i \ phi } $ warunki?

Używałem operatorów spinu Pauliego, jeśli chcesz wybrać podstawę możesz zapisać je jako macierze (operator jest funkcją na przestrzeni wektorowej , macierz zastępuje operator po wybraniu podstawy; operator istnieje i jest taki sam, niezależnie od tego, jaką podstawę można wybrać później lub nie). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

A wektor własny z dodatnią wartością własną to $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ chyba $ n_z = 1 $ to jest $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Zajmijmy się przypadkiem $ n_z = 1 $ najpierw, w tym przypadku $ a = 1 $ i $ b = 0 $ i $ \ theta = 0 $, więc $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ wszystko działa.

Jeśli chcesz zapisać wektor własny jako wektor jednostkowy, otrzymasz $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Jeśli chcesz dostosować fazę tak, aby pierwsza współrzędna była rzeczywista i dodatnia, otrzymasz $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Reszta to trygometria, np. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Więc musimy tylko pokazać, że $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ i że $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Ta ostatnia jest tożsamością trygonometryczną $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

Pierwsza to $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

Komentarze

• Dlaczego potrzebujemy kuli 3D, a nie tylko okręgu na płaszczyźnie? Jeśli wyobrazimy sobie kubit jako dwie możliwe wartości spinu atomu lub jego superpozycji … Jakie ' jest fizyczne znaczenie kąta azymutalnego ϕ?

A. Systemy dwustanowe

Niech układ dwustanowy, stany są niezależne od współrzędnych czasoprzestrzennych. W tym przypadku system ma nowy stopień swobody . Klasycznym przykładem jest cząstka ze spinowym momentem pędu $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Niech te dwa stany odpowiadają stany podstawowe \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} o nazwie odpowiednio w górę i w dół .

Stan systemu jest wyrażany przez wektor stanu \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {gdzie} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {i} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} Liczby zespolone $ \: \ xi, \ eta \: $ to amplitudy prawdopodobieństwa i nieujemne liczby rzeczywiste $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ to prawdopodobieństwo, że system jest w stanie $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ .

Przestrzeń Hilberta stanów systemu jest pod wieloma względami identyczna z przestrzenią zespoloną (jednostkowa sfera) $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Obserwowalny system byłby reprezentowany przez $ \: 2 \ times2 \: $ macierz pustelnika A postaci \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} , więc przestrzeń liniowa $ \: 2 \ times2 \: $ Macierze hermitowskie są pod wieloma względami identyczne z $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Ze zwykłej podstawy $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ tworzymy podstawę dla tej przestrzeni macierzy \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Teraz, jeśli podstawowe stany $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ równania \ eqref {01} odpowiadają stanom własnym wartości własnych $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ odpowiednio obserwowalnego, to ta obserwowalna byłaby reprezentowana przez macierz
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} nieuwzględniony w \ eqref {04}. Ale zamiast podstawy \ eqref {04} moglibyśmy wykorzystać następujące ich kombinacje liniowe \ begin {align} E „_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E „_2 \! = \! E_2 \! = \! \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E „_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E „_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} i zmieniając symbole i układ

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} gdzie $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ macierze Pauliego .

Teraz podstawowe stany $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ równania \ eqref {01} są stanami własnymi $ \: \ sigma_3 \: $ , więc należy je wyrazić indeksem dolnym $ \: ” 3 „\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Należy to zrobić dla amplitud prawdopodobieństwa $ \: \ xi, \ eta \: $ także \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {gdzie} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {i} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} Przyczyną tego jest to, że jako podstawowe stany przestrzeni Hilberta możemy równie dobrze używać stanów własnych $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ wartości własnych $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ odpowiednio z $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} , więc \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {gdzie} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {i} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} lub odpowiedni dla $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} , aby \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {gdzie} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {i} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Stany własne $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ są pokazane schematycznie na rysunku 04.

Teraz \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} więc \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Również \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} więc \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} W równaniach \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} autorstwa $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ oznaczamy sprzężenie zespolone liczby zespolonej $ \: z \: $ i $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ rzeczywiste i urojone części $ \: z $ .

Ponieważ $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ ustawiamy (patrz Rysunek-01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {kąt biegunowy względem osi $ x_3- $} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} , więc \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {kąt azymutalny względem osi $ x_3- $} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Zgodnie z tymi definicjami \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} and equations \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} daje następujące prawdopodobieństwa \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Zwróć uwagę, że stan $ \ vert \ psi \ rangle $ równania \ eqref {09} można wyrazić jako \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} lub ignorowanie fazy współczynnik $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. On Sphere – In Ball

Na rysunku 01 widzimy szczegóły definicji \ eqref {18a}, \ eqref {18b} i \ eqref {18c}. To jest widok płaski z punktu na płaszczyźnie koła $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ na Rysunku 03. Zwróć uwagę, że ten Rysunek-01 jest prawidłowy, jeśli wszystkie indeksy dolne $ \: „3” \: $ zostaną zastąpione przez $ \ : „1” \: $ lub $ \: „2” $ . Definicję i znaczenie różnych punktów podano poniżej.

Na rysunku 02 widzimy geometrię równań \ eqref {21a}, \ eqref {21b} i \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. To jest widok płaski z punktu na pozytywach osi $ \: x_3- $ .

Zobacz widok 3D rysunku-03 tutaj

Na rysunku-03 mamy kulę o średnicy 1 w trójwymiarowej przestrzeni $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ nie jest identyczny z przestrzenią fizyczną. Na sferze punkt $ \: \ Xi \: $ reprezentuje stan systemu \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Teraz dla $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: na \: \: + 1/2 \: \: z \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! oś \: \: reprezentująca \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = punkt \: \: on \: \: – 1/2 \: \: of \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! oś \: \: reprezentująca \: \ : the \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec cation \: \: of \: \: \: \: stan \: \: punkt \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = wielkość \: \: z \: \: prawdopodobieństwo \: \: amplituda \: \: z \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: stan własny \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = wielkość \: \: z \: \: prawdopodobieństwo \: \: amplituda \: \: z \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: stan własny \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = prawdopodobieństwo \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = prawdopodobieństwo \: \: z \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polar \: kąt \: z \: szacunek \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azymutalny \: kąt \: z \: szacunek \: do \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! oś \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = połowa \: \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = promień \: z \: koło, \: przecięcie \: z \: \: sfera \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: z \: \: samolotem \: przez \: punkt \: \ Xi \: normalne \: do \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Komentarze

• jak zawsze niesamowita figura.
• Nie ' Nie rozumiem, kiedy mówisz, że (05) nie jest ' zawarte w (04), nie jest ' t to $ E_3 $? Nie ' nie rozumiem, jak $ E_3 – E_4 $ nie ' nie ma wszystkich zer i -2
• @ gary69: Witamy w PSE. Dziękuję bardzo za uwagę. To była literówka w równaniu $ \ eqref {04} $ I edytuję na prawo. Kiedy w przyszłości zdobywasz reputację, będziesz mógł zobaczyć historię edycji mojej odpowiedzi, zauważysz, że ta literówka została dokonana podczas 7 edycji 25 sierpnia 2020 r.

Zwykły rozszerzony komentarz nadający trafnej odpowiedzi @Timaeusowi łatwiejszą do zapamiętania formę.

Wektor stanu
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definiuje macierz gęstości stanu czystego poprzez swój operator projekcji, $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Zwróć uwagę na niezmienniczość manifestu pod całkowitym przekształceniem $ | \ psi \ rangle $ .

Wyrażeniem ogólnych zasad tej idempotentnej hermickiej macierzy gęstości jest również, oczywiście, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ z $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

To znaczy Oś $ \ hat z $ obraca się do osi $ \ hat n $ o pełne (połączone) kąty obrotu , określając wyrażenie operatora półkąta (spinor, fundament).

Pomyśl o spinie fotonów

Myślenie o tym konkretnym przypadku pomogło mi w uzyskaniu przydatnych zdjęć w mojej głowie. Jest nawet dobrze znany analog zorientowany na optykę, o którym warto pamiętać: Kula Poincaré .

Spin fotonu to dwustanowy układ kwantowy , o którym wspomina Frobenius , jest tym, co modeluje sfery Blocha.

Spin fotonu jest również łatwy zrozumieć / wizualizować / manipulować eksperymentalnie.

Fizyczne filtry polaryzacyjne

Najpierw pomyślmy o możliwie najbardziej konkretnej rzeczy: filtrach polaryzacyjnych.

Są dwa typy filtrów polaryzacyjnych, o których można pomyśleć:

• polaryzator liniowy, pod dowolnym kątem między -90 a 90.

  Np tutaj „jest jeden pod kątem 90 stopni:

  

  i tutaj jest jeden pod kątem 45 stopni:

  

  i tutaj jest jeden pod kątem 0 stopni:

  

  Źródło

  Wikipedia opisuje kilka sposobów tworzenia takich filtrów, a powyższe zdjęcia to filtry Polariod , które są używane w okularach przeciwsłonecznych i fotografii, a zatem są łatwo dostępne .

  Z punktu widzenia mechaniki kwantowej orientacje 90 i 0 stopni dokonują tego samego pomiaru: jedyna różnica polega na tym, że jedna przepuszcza foton, a druga go blokuje. Ale możemy użyć obu w równym stopniu do określić poziom liniowej polaryzacji pionowej fotonu: wystarczy wziąć dopełnienie val ue.

  A ponieważ każdy pomiar odpowiada macierzy hermitowskiej , możemy przedstawić zarówno 0, jak i 90 za pomocą jednej macierzy:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  A macierz dla 45 stopni to:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polaryzator kołowy, który jak wyjaśnia Wikipedia jest zwykle wykonany z ćwierćfalówki + liniowej polaryzator:

  

  Źródło .

  Odpowiednia macierz to:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Powyższe macierze to tak zwane macierze Pauliego .

Kilka interesujących wektorów stanu

Teraz nadajmy nazwy 6 biegunom reprezentującym 6 możliwych interesujących stanów fotonów na sferze Blocha i spróbuj zrozumieć, jak wchodzą w interakcję z filtrami.

Źródło .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { liniowy 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {round clockwise} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {okólnik przeciwnie do ruchu wskazówek zegara} \\ \ end {alignat *} $$

Pierwszą rzeczą, którą zauważamy, jest to, że pary są podstawami:

• $ \ vert 0 \ rangle $ i $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ i $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ i $ \ vert -i \ rangle $

Na przykład możemy przedstawić:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

Następnie zauważamy również, że:

• $ \ vert 0 \ rangle $ i $ \ vert 1 \ rangle $ są wektorami własnymi klasy $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ i $ \ vert – \ rangle $ to wektory własne $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ i $ \ vert -i \ rangle $ są wektorami własnymi $ M_i $

Jeśli pamiętamy, że wynikiem pomiaru w mechanice kwantowej jest wektor własny wartości własnej, z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do projekcji, otrzymamy następujące przykładowe prawdopodobieństwa dla te eksperymenty:

• $ \ vert 0 \ rangle $ stan włączony:

  • polaryzator liniowy 90 °: 100% pasuje

  • polaryzator liniowy 0 °: 0% pasujący

  • liniowy polaryzator 45 °: 45% pasujący, ponieważ:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • polaryzator liniowy -45 °: pasmo 45%

  • polaryzator kołowy: pasmo 45%.Dzieje się tak, ponieważ stan liniowy 0 można rozłożyć na dwie polaryzacje kołowe:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • liniowe 90 °: 0% pasujące
  • liniowe 0 °: 100% pasujące
  • liniowe 45 °: 45% pasujące
  • liniowe -45 °: 45% pasujące
  • kołowe: 45% pasujące
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • liniowe 90 °: 45% zaliczenie
  • liniowe 0 °: 45% zaliczenie
  • liniowe 45 °: 100% pasujące
  • liniowe -45 °: 0% pasujące
  • okrągłe polaryzatory: 45% pasujące
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • linear 90 °: 45% pass
  • linear 0 ° : Przejście 45%
  • pasmo liniowe 45 °: pasmo 45%
  • pasmo liniowe -45 °: pasmo 45%
  • pasmo w prawo: 100% pasowanie
  • cyklicznie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: 0% przejścia

Faza względna

Jedną z ważnych półklasycznych intuicji do zapamiętania jest to, że:

cykliczny polaryzacja == dwie ortogonalne polaryzacje liniowe przesunięte o 90 stopni w fazie:

Źródło .

Na przykład w :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

mamy fazę względną 90 stopni z powodu $ i $ względna różnica faz między $ \ vert 0 \ rangle $ i $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Ale na przekątnej są w fazie względem $ \ vert 0 \ rangle $ i $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

więc faza względna wynosi 0 dla tego.

Spacer po sfera

Jednym z powszechnych sposobów reprezentacji stanu w sferze Blocha jest podanie tylko dwóch $ \ theta $ i $ \ phi $ kąty, jak pokazano poniżej:

Źródło .

Ponieważ kula nie jest euklidesowa, dobrym sposobem na jej wizualizację jest przejście przez kilka łatwych do zrozumienia ścieżek wokół niej. Na poniższym obrazku wykonujemy dwie ścieżki:

• zaczynamy od 0, przechodzimy przez +, 1, – i wracamy z powrotem do 0
• zaczynamy od 0, przechodzimy przez i , 1, -i, i wróć do 0

Źródło .

Idąc od + do i, -, -i iz powrotem do + pozostawia się jako ćwiczenie: okrąg stał się ukośnym zaćmieniem i coraz bardziej zmniejsza się do linii 45 stopni.

Prowadzi to do jasnej interpretacji kątów:

• $ \ theta $ : im większy, tym bardziej prawdopodobne, że $ \ vert 1 \ rangle $ zostanie porównane z $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : względna faza między $ \ vert 0 \ rangle $ i $ \ vert 1 \ rangle $ . Ta względna faza nie może zostać wykryta przez polaryzator pionowy ani poziomy

Jak możemy zejść z 4 liczb rzeczywistych do zaledwie 2 w stanie ?

Na sferze Blocha możemy przedstawić stan za pomocą tylko 2 rzeczywistych parametrów: kątów $ \ theta $ i $ \ phi $

Ale w bardziej wyraźnych wektorach pełnego stanu pojawiają się 2 liczby zespolone i zatem 4 liczby rzeczywiste:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Dlaczego jedna z liczb musi zostać usunięta jest łatwa: całkowite prawdopodobieństwo musi być 1 i tak:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

więc w tym momencie jesteśmy już ograniczeni do 3 sfer .

Drugi jest bardziej interesujący: możemy usunąć inny parametr, ponieważ globalnej fazy stanu nie można wykryć żadnymi eksperymentami i tak możemy dowolnie ją wybrać.

Faza globalna to liczba urojona. Aby zachować całkowite prawdopodobieństwo, moduł tej liczby musi wynosić 1. Eksperymenty nie mogą wykryć globalnych przesunięć faz, ponieważ wyniki pomiarów:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

na każdym z filtrów jest taki sam jak w przypadku pomiaru:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

ponieważ $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Naturalnym wyborem jest zatem wybranie globalnej fazy, która obraca stan w taki sposób, że mnożnik $ \ vert 0 \ rangle $ staje się liczbą rzeczywistą, tzn. ustawiając $ b = 0 $ .

Na przykład mnożąc przez liczbę urojoną, moglibyśmy zmapować bardziej ogólne stany na bardziej ograniczone, takie jak

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Dlaczego istnieją dokładnie trzy macierze Pauliego?

Myślę, że istnieją głębokie i jasne matematyczne powody, które to wyjaśniają, związane z tym, że stanowią podstawę przestrzeni macierzowej hermitowskiej 2×2, jak wspomniano w: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 i https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states i to jest sedno pytania, dlaczego sfera Blocha jest używane, ale nie rozumiem tego w pełni.

Ale mówiąc bardziej praktycznie: trzy urządzenia pomiarowe, które zaprojektowaliśmy cribed to jedyne trzy możliwości (aż do globalnych obrotów) takie, że po przejściu przez jeden tracisz wszystkie informacje o pozostałych dwóch (50% prawdopodobieństwa w pozostałych dwóch eksperymentach).

Dlatego są one ortogonalne w pewnym sensie i maksymalnym, ponieważ nie ma innego eksperymentu, który moglibyśmy dodać do tego zestawu eksperymentów, takiego, który zachowuje tę właściwość.

Baw się z Quirkiem

https://algassert.com/quirk

To kolejna warta uwagi sugestia. Klikaj na te obrazy, aż wszystko nabierze sensu.