¿Por qué el campo eléctrico es cero donde las superficies equipotenciales se cruzan?

En primer lugar, aclaremos las cosas con un ejemplo simple que muestre el comportamiento deseado (y que es esencialmente isomorfo para la mayoría de los casos no triviales). Considere en particular, la siguiente afirmación:

El potencial $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ es un potencial electrostático perfectamente válido, y se puede ver muy naturalmente que tiene dos superficies equipotenciales (el plano $ yz $ y el plano $ xz $) que se cruzan a lo largo de una línea.

Ese ejemplo puede chocar con la intuición habitual de que las superficies equipotenciales, como las líneas de campo, nunca se cruzan, pero se verifica perfectamente, y es coherente con la afirmación de su profesor de que el campo eléctrico, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ furgoneta ishes en la intersección $ x = y = 0 $.

(Para aquellos que deseen extender la envolvente un poco más: esto naturalmente se generaliza a la intersección de cualquier número $ n $ de superficies equipotenciales a lo largo de un línea, simplemente cambiando al potencial polar $ n $ $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Entonces, ¿qué está pasando, o cómo proporcionamos algo de carne matemática real a la declaración en cuestión?

Bien, comencemos por definir superficies equipotenciales: una superficie $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ es un equipotencial del potencial electrostático $ V : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ es constante para todo $ (u, v) \ en D $. Además, sabemos que en cualquier punto $ \ mathbf r = S (u, v) $ en la superficie, el campo eléctrico $ \ mathbf E = – \ nabla V $ tiene un producto interno cero con cualquier vector que se encuentre dentro del plano tangente $ TS_ \ mathbf r $ al superficie en $ \ mathbf r $, como consecuencia de tomar las curvas $ \ gamma: (a, b) \ a D $ y diferenciar la relación de constancia $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ con respecto al parámetro $ t $, dando $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ para todos los vectores $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Dado que ese plano es bidimensional y el espacio es tridimensional, inferimos que hay una dirección normal única $ \ hat {\ mathbf n} $ a la superficie y que $ \ mathbf E $ necesita ser paralelo a lo normal (o, posiblemente, cero), pero el resultado principal es que el componente de $ \ mathbf E $ a lo largo de cualquier dirección dentro del plano tangente debe desaparecer.

Bien, ahora subamos la apuesta inicial y consideramos dos superficies diferentes $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, que se cruzan en algún punto $ \ mathbf r_0 $, y estipulemos también que ambas superficies son equipotenciales de $ V $.

De buenas a primeras, podemos inferir que el potencial en todos los puntos de ambas superficies debe ser igual a la misma constante, porque $ V = V (\ mathbf r) $ es un (valor único ) función. Si es igual a $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ para $ \ mathbf r_0 \ en S_1 $, entonces debe ser igual a $ V_1 $ en todo $ S_1 $ – pero $ \ mathbf r_0 $ también está en $ S_2 $, entonces $ V $ también debe ser igual a $ V_1 $ en todo $ S_2 $. Esto es probablemente de lo que estaba hablando su profesor en la afirmación que reporta como

También afirmó que dos superficies equipotenciales no pueden cruzarse ya que eso daría dos potenciales diferentes en el mismo punto,

pero que era bastante probable que estuviera mucho más cerca de

dos superficies equipotenciales con un potencial diferente no pueden cruzarse ya que eso daría dos potenciales diferentes en el mismo punto.

Esa es la parte fácil.Digamos ahora algo no trivial: ¿qué pasa con el campo eléctrico en la intersección?

Empecemos primero con el caso fácil, y supongamos que los equipotenciales tienen una intersección de dimensión uno adecuada a lo largo de una curva, lo que implica que, en cualquier punto $ \ mathbf r $ a lo largo de la intersección, los planos tangentes a las dos superficies se intersecarán en una línea, y cada uno de ellos tendrá una dirección separada, linealmente independiente que no pertenece a la otra. plano.

Esto nos permite traer las herramientas que desarrollamos anteriormente: sabemos que $ \ mathbf E $ necesita tener un producto interno que desaparece con cualquier vector que se encuentre dentro de cualquier plano tangente, excepto que ahora tienen tres vectores linealmente independientes $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ y $ \ mathbf e_3 $ contra los cuales desaparecer, uno a lo largo de la intersección y otro vector independiente a lo largo de cada plano. La única forma en que cualquier vector $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ puede satisfacer $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ para $ \ mathbf e_i, $ linealmente independientes es para $ \ mathbf v = 0 $ . Aquí es de donde proviene la afirmación de su profesor.

Finalmente, abordemos el caso un poco más patológico que menciona al final de su pregunta:

¿Por qué» no puede haber dos superficies equipotenciales diferentes con el mismo potencial que […] se tocan?

Esta no es una mala pregunta, y la respuesta es esencialmente que esto puede suceder, pero las circunstancias en las que sucede son tan patológicas que estamos casi listos para tirar a ese bebé con el Cuando decimos «dos superficies se cruzan», normalmente queremos decir que tienen una intersección de dimensión uno a lo largo de una curva; si queremos permitir que las superficies se toquen, o que tengan un comportamiento patológico similar, notaremos explícitamente que . (Los matemáticos son un poco más cuidadosos con su lenguaje, pero de nuevo los físicos hacen cosas más interesantes y no puedes perder el tiempo jugando con detalles menores).

De todos modos, si quieres un potencial con dos equipotenciales que toque en un solo punto, el ejemplo más claro que puedo pensar es $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ donde los equipotenciales $ V (\ mathbf r) = 0 $ son dos paraboloides circulares que se tocan en su vértice. Esto no es una solución de la ecuación de Laplace, lo que significa que no es un potencial razonable en el espacio libre, pero puede simplemente establecer la densidad de carga $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, y obtendrá una distribución razonable. Si desea economizar en eso, entonces es mejor elegir $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ para lo cual la densidad de carga $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ es extremadamente razonable, y cambia uno de los paraboloides por el plano $ z = 0 $.

Ahora, para estos dos ejemplos, tiene un polinomio bastante alto como su potencial, y el campo eléctrico desaparece en el punto de intersección de los equipotenciales. Si desea tener algo con equipotenciales en contacto y un campo eléctrico distinto de cero allí, lo más cercano que se me ocurre de manera limpia es combinar los dos ejemplos anteriores, dando tres equipotenciales (los dos paraboloides y el plano $ xy $) que se encuentran en un punto, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ con un $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ dependencia a lo largo del eje $ z $, y luego factorizar eso tomando una raíz cúbica, dando $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ que tiene los mismos equipotenciales en contacto que arriba, pero ahora tiene un campo eléctrico constante $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ en todos los puntos $ (0,0, z) $ con $ z \ neq 0 $. Desafortunadamente, sin embargo, no puede realmente concluir que el campo eléctrico no es cero, porque los límites de $ \ mathbf r \ to0 $ a lo largo del eje $ z $ y a lo largo del plano $ xy $ don «t conmuta – y, de hecho, $ \ nabla V $ diverge en todas partes en el plano $ xy $.

Dibujaré aquí el paisaje equipotencial cuando corte a lo largo del plano $ xz $, para dar una idea del tipo de estructura patológica a la que se verá obligado a considerar este tipo de casos:

^{Fuente: Importar [« http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m «] [« http://i.stack.imgur.com/0snLs.png «]}

Los acantilados afilados en los equipotenciales en la vista 3D de $ V (x, 0, z) $ son claros marcadores del hecho de que el campo eléctrico es infinito en todas partes en los equipotenciales $ V = 0 $, con la única excepción del origen cuando se aproxima desde el eje $ z $.

De todos modos, ese es el tipo de precio que debe pagar para tener Los equipotenciales que se tocan sin que eso requiera un campo eléctrico cero en el punto de contacto para mantener todo agradable y suave. En general, sin embargo, simplemente descarta esos casos por decreto al requerir una intersección regular.