Ce este o fază a unei unde și o diferență de fază?

Iată un grafic al unui funcție sine . Este o funcție a unghiului $ \ theta $, care merge de la $ 0 $ la $ 2 \ pi $, iar valoarea $ \ sin (x) $ este mărginită de $ 0 $ și $ 1 $.

Această funcție de $ \ theta $ continuă mai departe axa x se repetă la fiecare $ 2 \ pi $. Din grafic, se poate vedea că arată ca o undă și, în adevăr, sinele (și cosinusurile) vin ca soluții ale unui număr de ecuații de undă , unde variabila este o funcție de spațiu și timp.

În următoarea ecuație

$$ u (x, t) = A (x, t) \ sin (kx – \ omega t + \ phi) $$

$ \ phi $ („phi”) este o „fază”. Este o constantă care spune la ce valoare are funcția sinus atunci când $ t = 0 $ și $ x = 0 $.

Dacă se întâmplă să se suprapună două unde, atunci $ \ phi_1 – \ phi_2 $ al funcțiilor este diferența de fază a celor două unde. Cât de diferite diferă la început ($ x = 0 $ și $ t = 0 $), iar această diferență de fază este evident păstrată până la capăt.

Comentarii

• Care este semnificația fizică a diferenței de fază? În suprapunere?
• Dacă există două unde sinusoidale și au o diferență de fază de pi, puteți vedea că prin suprapunerea lor cele două funcții se vor anula dacă au aceeași amplitudine. vă puteți juca cu acest demonstrations.wolfram.com/… pentru a obține o înțelegere intuitivă.

Să luăm în considerare o undă călătoare de-a lungul unei bucăți de șir foarte lungi. Șirul va oscila, iar deplasarea, $ y $, a șirului din poziția plană (fără val deloc) este dată de următoarea ecuație presupunând că unda nu are un head start

$ y (x, t) = A_0 \ sin (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x- \ frac {2 \ pi} {T} t) $

unde:

$ A_0 $ = plecarea maximă a șirului din poziția plată (numită: amplitude )

$ T $ = timpul necesar unei particule din șir pentru a finaliza o oscilație, reveniți la poziția sa inițială și repetați oscilația din nou și din nou.

$ \ lambda $ = lungimea de undă a undei de-a lungul șirului. Imaginați-vă acest lucru ca fiind distanța parcursă de undă într-o perioadă, T. Prin urmare, se poate scrie ecuația $ v = \ lambda f $, unde $ f $ este frecvența oscilației unei particule din șir. Puteți face acest lucru ca număr de cicluri complete pe care le face valul într-o secundă.

Faza:

Faza undei este cantitatea din parantezele funcției sin și este un unghi măsurat fie în grade, fie în radiani.

$ \ phi = (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x- \ frac {2 \ pi} {T} t) $

Faza unei unde nu este o cantitate fixă . Valoarea sa depinde de ce punct de-a lungul axei x și la ce oră observați unda. De exemplu, dacă luați în considerare două puncte $ x_1 $ și $ x_2 $ de-a lungul axei $ x $ la un moment comun în timp $ t_c $, aceste două puncte vor avea propria lor fază $ \ phi_1 $ și $ \ phi_2 $ date ca

$ \ phi_1 = (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x_1- \ frac {2 \ pi} {T} t_c) $

$ \ phi_2 = (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x_2- \ frac {2 \ pi} {T} t_c) $

Diferența de fază pe care o are unda în aceste două puncte este

$ \ phi_2- \ phi_1 = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x_2 – \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x_1 $

$ \ phi_2- \ phi_1 = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} (x_2-x_1) $

Rezultatul important aici este că cele două valuri pot fi:

(1) În faza dacă $ x_2-x_1 = n \ lambda $, adică unda face exact același lucru în astfel de puncte de-a lungul axei x.

(2) Defazat if $ x_2-x_1 = (n + \ frac {1} {2}) \ lambda $, adică un punct din șir, $ x_1 $, se mișcă în sus, în timp ce $ x_2 $ se deplasează în jos, dar simetric.

Această analiză se referă la două unde coerente care provin din două surse coerente, care parcurg distanțe diferite și se combină la un moment dat care este distanța $ x_1 $ de la o sursă și distanța $ x_2 $ de cealaltă sursă. Deci veți obține interferențe constructive în cazul (1) și interferențe distructive în cazul (2). Acesta este motivul pentru care puteți observa modelul de interferență.

Cred că întrebarea relevantă aici este „Ce este un val?”.În general, definim orice lucru care rezolvă ecuația undei sau generalizările acesteia ca fiind o undă; Îmi dau seama însă că s-ar putea să nu fie chiar iluminant.

Din fericire, soluțiile în sine sunt destul de ușor de descris: au forma * $$ f (x, t) = A \ sin \ left (\ frac {2 \ pi} {\ lambda} x – \ frac {2 \ pi} {T} t \ right) $$ astfel încât $ \ lambda $ este lungimea de undă, $ T $ este perioada undei și $ f (x, t) $ este egal cu amplitudinea undei la punctul $ x $ la momentul $ t $, în timp ce $ A $ este o constantă. Argumentul acestei funcții, $$ \ varphi (x, t) = \ frac {2 \ pi} {\ lambda} x – \ frac {2 \ pi} {T} t $$ este faza . Cu această definiție putem scrie $$ f (x, t) = f (\ varphi (x, t)) $$ astfel încât să considerăm $ f $ doar ca funcție a fazei sale. Deci, două valuri $ f_1 $ și $ f_2 $ au o diferență de fază $ \ Delta \ varphi $ dacă $$ f_1 (x, t) = f_1 (\ varphi (x, t) + \ Delta \ varphi) \\ f_2 (x, t) = f_2 (\ varphi (x, t)) $$ Deci, atunci când adăugați unde sinusoidale ca acestea, ceea ce obțineți depinde de $ \ Delta \ varphi $. De exemplu, dacă luați în considerare suma $ f (\ varphi (x, t) + \ Delta \ varphi) + f (\ varphi (x, t)) $ cu $ f $ ca mai sus pentru diferite valori de $ \ Delta \ varphi $ primiți

pentru $ \ Delta \ varphi = 0 $, $ f (\ varphi (x, t) +0) + f (\ varphi (x, t)) = 2 f (\ varphi ( x, t)) $

pentru $ \ Delta \ varphi = \ pi $, $ f (\ varphi (x, t) + \ pi) + f (\ varphi (x, t)) = -f (\ varphi (x, t)) + f (\ varphi (x, t)) = 0 $ din moment ce $ \ sin (\ phi + \ pi) = – \ sin (\ phi) $ pentru toate $ \ phi $.

Rețineți că acest lucru se generalizează la alte forme de undă; de exemplu, puteți încerca $ f (\ varphi) = e ^ {- \ varphi ^ 2} $ unde $ \ varphi $ este ca mai sus și m-am săturat să scriu în mod explicit dependența $ (x, t) $ :-), și vezi ce primești.

* Desigur, acestea nu sunt singurele soluții, dar oricare dintre ele poate fi obținută ca o suprapunere de sinusoide de acest fel. Faza este utilă mai ales atunci când vorbiți despre sinusoide sau lucruri care seamănă cu ele suficient de aproape.

Care este semnificația diferenței de fază?

Este un offset, în timp sau spațiu, al unei valuri față de alta

Dacă faceți o alegere arbitrară și spuneți unde dvs. „pornește” când înălțimea sa este 0, atunci dacă porniți oa doua undă puțin timp mai târziu, aceasta va fi defazată cu prima undă. Dacă porniți a doua undă mai târziu, care este un multiplu exact al timpului pe care prima undă îl repetă, a doua undă va fi în fază.

Este posibil să știți că cel mai înalt punct al unei unde este cunoscut sub numele de „creastă” și cel mai jos este cunoscut ca „jgheab”.

Acum, luați graficul funcțiilor sinus și cosinus. Veți vedea diferența că la origine: adică sinusul este la zero și cosinusul este la 1 $. Deci, există o „diferență de fază” de $ \ frac {\ pi} {2} $ angle.

Pentru o mai bună înțelegere, puteți consulta „Înțelegerea mecanicii fizicii partea 2” de DC Pandey.

Comentarii

• Contează dacă este ‘ diferența de fază negativă sau pozitivă? Și cum vă dați seama?
• Depinde doar de cadrul de referință, de exemplu, dacă luați + X ca pozitiv și axa -X ca negativ, atunci dacă unda are o diferență de fază de +0 atunci înseamnă ‘ călătorește 0 înger față de cealaltă undă și invers pentru ex unda 1 să fie Asin (wt) și 2 să fie Asin (wt + 0) atunci doi se mișcă 0 înger ‘ s înainte decât 1 și dacă 2 = Asin (wt – 0), atunci se deplasează cu 0 înger ‘ s în spatele la 1 (am utilizare 0 pentru simbolizarea theta)
• puteți lua referință pentru grafic din răspunsurile date mai jos

O altă modalitate de a obține o perspectivă este de a amâna mișcarea undelor și de a vă concentra pe planul complex și noțiunea de fazor obținută prin formula lui Euler , $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i sin (\ theta) $ (consultați figura din Wikip).

Setul {$ e ^ {i \ theta} | \ theta \ în [0,2 \ pi] $} este cercul unității și diferență de fază între oricare două puncte de pe el, de exemplu, $ e ^ {i \ phi} $ și $ e ^ {i \ psi} $ este bine definit și este pur și simplu $ \ phi – \ psi $ (Wikip. articol explică multiplicarea conjugată complexă implicată).

Pentru a vă lega înapoi la unde, înlocuiți constanta $ e ^ {i \ theta} $ cu o funcție de timp $ e ^ {i \ omega t} $ unde $ \ omega $ este viteza unghiulară.

Rețineți în cele din urmă că doi astfel de fazori $ e ^ {i \ omega_1 t} $ și $ e ^ {i \ omega_2 t} $ nu nu au o diferență de fază (constantă) dacă vitezele lor unghiulare diferă, adică dacă, $ \ omega_1 \ neq \ omega_2 $, (deși raporturile raționale ale vitezelor unghiulare duc la numere stabile de înfășurare sau antrenare, care este o formă mai generală de relație de fază)

Practic faza este un unghi de linie care unește originea și orice punct de pe undă cu axa $ x $ de cadrul nostru de referință și cuvântul fază sunt definite pentru funcția de unică undă. Dar diferența de fază este definită pentru două unde. Și ne spune informații despre forma rezultată a undelor, fie că este constructivă sau distructivă, fie orice complex, adică neregulat. Care se poate transforma ulterior Fourier în sinusuri și unde cosinus.

Unda este o mișcare periodică. Există multe mișcări periodice diferite. De exemplu, aruncați o privire la un ceas analogic. Mâna a doua face un cerc complet la fiecare 60 de secunde. Dacă luați două ceasuri, atunci acestea vor avea de obicei o diferență de fază: mâinile lor secundare vor circula la fiecare 60 de secunde, dar la un moment dat vor indica un număr diferit de secunde.

Pe de altă parte mâna dacă te uiți la a doua și la aripa de minute, atunci nu are rost să vorbești despre diferența de fază, deoarece fac un cerc complet la frecvențe diferite: 60 de secunde și 60 de minute.

Deci , pentru a vorbi despre diferența de fază, ar trebui să avem două unde la aceeași frecvență. Când aceste unde nu sunt perfect sincronizate, avem o diferență de fază.

O răsucire. Diferența de fază este semnificativă doar în perioada unei unde. În cazul unei a doua ceasuri, nu are rost să vorbim despre diferența de fază mai mare de 60 de secunde. O diferență de fază de 61 de secunde este aceeași cu diferența de fază de 1 secundă.

Pe lângă celelalte răspunsuri: faza este un scalar Lorentz. O undă plană este:

$$ \ psi (x, t) = A \ exp {i \ phi (\ vec x, t)} $$

unde $ \ phi $ este faza în funcție de poziție și timp:

$$ \ psi (x, t) = A \ exp {i (\ vec k \ cdot \ vec x – \ omega t)} $ $.

Acest lucru poate fi scris ca:

$$ \ psi (x _ {\ mu}) = A \ exp (ik ^ {\ mu} x _ {\ mu}) $$

care este în mod evident covariant. Faza este:

$$ \ phi (x _ {\ mu}) = k ^ {\ mu} x _ {\ mu} $$

Toți observatorii inerțiali văd aceeași fază la un moment dat al spațiului-timp, chiar dacă nu sunt de acord cu frecvența sau lungimea de undă.