Háttér: egy barátom hobbiból áll (ahogy elképzelem sokan), hogy megpróbálja megjósolni a jégkorong rájátszásának eredményeit. Minden meccsen megpróbálja kitalálni a győztes csapatot, és a győzelemhez szükséges játékok számát (aki nem ismeri az NHL jégkorongját, egy sorozatot a legjobb 7 dönt.) Idei rekordja 3 játékforduló után (8 + 4 + 2 = 14 legjobb a 7 meccsből) 7 helyes / 7 helytelen a győztes csapat számára és 4 helyes / 10 helytelen a játékok száma számára (csak a játékok számát tartja helyesnek ha a győztes csapatot is kiválasztotta).
Viccelődnünk kellett, hogy ő nem jár jobban, mint a vak találgatás a csapatok kérdésére, de lényegesen felülmúlja az esélyeket, ha feltételezzük, hogy a valószínűségek mert egy 4, 5, 6 vagy 7 játéksorozat egyenlő (12,5% -os sikerarányra számíthat, 28,5% -kal).
Ez arra késztette bennünket, hogy vajon mi az esély az egyes lehetséges számokra valójában Azt hiszem, hogy kidolgoztam, de meg akarok kötözni néhány laza véget, mivel szemléletem része volt egy durva erőfeszítés egy nagy papírra. Alapvető feltételezésem, hogy minden játék kimenetele véletlenszerű, valószínűsége $ \ frac {1} {2} $, hogy minden csapat nyerjen.
Az a következtetésem, hogy:
$$ \ rm P (4 \; játékok) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12,5 \% \\ P (5 \; játékok) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \% \\ P (6 \; játékok) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31.25 \% P (7 \; games) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31.25 \% $$
Vizsgáltam elemzésemet egy olyan elképzelés alapján, amely szerint egy 4 játéksor valószínűségének $ \ frac {2} {2 ^ 4} $ valószínűségűnek kell lennie, analóg módon annak az esélyével, hogy 4 érmét elfordítanak és 4-et kapnak. fej vagy 4 farok. A nevezőket elég könnyű volt kitalálni onnan. A számlálókat úgy kaptam meg, hogy megszámoltam a “legális” kombinációk számát (a WWLWWLL törvényellenes lenne, mivel a sorozat 5 meccs után dől el, az utolsó 2 meccset nem játszanánk) egy adott játékmennyiségre:
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL Mi a nem durva erő módszer a számlálók levezetésére? Azt gondolom, hogy lehet rekurzív definíció, így a $ \ rm P (5 \; játékok) $ meghatározható $ \ rm P (4 \; játékok) $ és így tovább, és / vagy hogy tartalmazhat olyan kombinációkat, mint a $ \ rm (valószínűsége \; a; legalább \; legalább \; 4/7 \; W) \ alkalommal (valószínűsége \; a legális \; kombinációja \; a 7; ; kimenetelek) $, de “kissé elakadtam. Kezdetben ötleteket gondoltam a $ \ left (^ n_k \ right) $ -ra, de úgy tűnik, hogy csak akkor működik, ha az eredmények sorrendje nem számít.
Érdekes, hogy egy másik közös barát kivett néhány statisztikát 7 lejátszott játéksorozatról (NHL, NBA, MLB 1905-2013, 1220 sorozat), és előállt:
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% Azok valójában nagyon jó meccs (legalábbis csillagászom szempontjából!). Gondolom, hogy az eltérés abból adódik, hogy minden játék kimenetele elfogult volt az egyik vagy a másik csapat győzelmével szemben (sőt, a csapatokat általában az első fordulóban vetik be, így a vezető kvalifikációs csapat az alig kvalifikált csapatot játssza, a második hely a második utoljára játszik, és így tovább … és a játékok többsége az első körben zajlik).
Megjegyzések
- Nem vagyok különösebben aktív a CV.SE-n, ezért ehhez szükség lehet egy kis újragondolásra.
Válasz
csapat nyeri a [sorozatot] az N játékban, az első N-1 meccsből pontosan 3-at kell megnyernie. A hetedik játékhoz $ \ binom {6} {3} = 20 $ lehetőség van erre. Vannak 2 lehetséges kimenet a hetedik játékhoz, és 20 lehetséges kombináció a győzelemhez a nyerhető csapatok mindegyikéhez, tehát 40 lehetséges kimenetel. A N-game sorozat számára a hét legjobb sorozat véget ér N játék, a lehetőségek száma $ 2 \ binom {N-1} {3} $.
Valójában a sorrend nem számít, i. Ha már megadta a lejátszott játékok számát. Csak az utolsó játék számít, és a győztesnek 3 előző győzelemmel kell rendelkeznie, tetszőleges sorrendben.
Kommentárok
- N játék esetén nem szabad ' t $ 2 (^ {N-1} _ {{\ \ rm floor} (N / 2)}) $, vagy valami hasonló? Feltételezve, hogy páratlan számú játék van, ami csak ésszerű.
- N-t használtam a hét legjobb eredményében lejátszott játékok számaként. Például. N = 4 esetén a $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $ megadja a sorozat lehetséges befejezésének számát 4 játékban. azaz. minden csapat esetében a 3 játékból 3 győzelem kiválasztásának módjainak száma.
- Igen, az N játékban eldöntött M-játék sorozat lehetőségeinek $ 2 \ binom {N-1} { \ mathrm {floor} (M / 2)} $. Ez akkor is működni fog, ha ' s páros számú játék van, ha a döntetlen sorozatokat nem tekintik eldöntöttnek.
- Ha reális lesz a valószínűsége annak, hogy a győzelem nem lehet 0,5 minden csapat számára minden játékra. Egy példa lehet a hazai jég előnye.
- @MichaelChernick true, és ezt a kérdés utolsó bekezdésében érintem egy kicsit, de 0,5, mint később kiigazítható kiindulópont, ésszerű .
Válasz
Alternatív megoldás a binomiális eloszlás: x = 3 (pontosan 3) sikerek) n = 6-ban (nyomvonalak), tehát ha egy játék megnyerésének valószínűsége .5 (mindkét csapat egyformán hasonlít), akkor binomiális P: (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6) ) ^ 3 = .3125 Ez azt jelentené, hogy 31,25% esély van arra, hogy 7 játéksorozatba kerüljünk. És a valószínűsége, hogy nyer a 7. játékban, negatív binomiálisan követi, hány nyom = 7 a 4 sikerhez, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4