A Bessel-szűrő átviteli funkcióját bessel-polinomok határozzák meg. Ha például egy 2. rendű szűrőt vesszük figyelembe, akkor az átviteli függvény a következő: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Szimulációt akartam építeni egy ilyen szűrőhöz Sallen-Key-Architektúrával. Ezért a TI ezt a tervezési útmutatót tanulmányozta. A 2. rendű aluláteresztés átviteli függvényét a következőképpen határozzák meg:
Az Ao 1, mivel azt akarom, hogy a nyereség egység legyen. Megnéztem az alábbi táblázatot a C- és R-értékek helyes kiszámítása érdekében.
Ezért az átviteli függvény a következővé válik: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Futtattam a szimulációt, és megnéztem a bode diagramot. Megmutatta a kívánt eredményt (a -3db cutoff frekvencia a számítások szerint alakult).
Azt azonban nem értem, hogy az átviteli függvény miért néz ki ennyire másként. Határozottan nem Bessel-polinom. Ellenőriztem a lépés válaszát, és 0,4% -os túllépést figyeltem meg, ahogy az várható egy Bessel-szűrőnél. Ezért három kérdésem van:
- Hogy lehet, hogy a ti tervezési útmutatóban szereplő átviteli függvény nem bessel-polinom.
- Kell-e egy 2. rendű Bessel-szűrő pólushelye? ugyanaz legyen minden olyan szűrőnél, amelynek bizonyos frekvenciája van?
- Lehet, hogy egy második rendű bessel alacsony áteresztés Q-tényezője eltér a 0,5773-tól?
Köszönöm!
Megjegyzések
- Az utolsó H (s) egyenlet nevezőjének állandójának ” 1 ” ” 3 ” helyett. Utolsó kérdés: NEM !. Csak a Q tényező határozza meg a Bessel-választ.
- igazad van, ez elírás volt. Még mindig nincs sok köze egy bessel polinomhoz.
- Miért ne? Ez egy tipikus szűrőfunkció, amelynek frekvenciaválasza ” Thomson-Bessel “. Mi a problémád? Természetesen a szűrőfunkció nem azonos a ” matematikai Bessel-polinom ”
- én nem ‘ nem érti, miért van ez az egyik oldalon ez a matematikai meghatározás, a másik oldalon pedig teljesen más átviteli függvény. Honnan származnak ezek az együtthatók?
- Az úgynevezett Bessel-szűrők együtthatóit a passband maximálisan lapos csoportos késleltetésének követelménye alapján számítják ki (összehasonlítva a Butterworth-szűrők maximálisan lapos amplitúdójával) . Megmutatható, hogy az együtthatók kiszámítása során az ismert Bessel-polinomokat alkalmazzuk (ez egy meglehetősen érintett eljárás) – de ez nem jelenti azt, hogy az átviteli függvény nagyságának van olyan válasza, amely hasonlít a Bessel-függvényekre. Ez – amint említettük – az együtthatók megállapításának matematikai eljárása. Rendben?
Válasz
Hogy lehet, hogy az átadás A ti tervezési útmutatóban szereplő függvény nem egy bessel-polinom.
Nézzük meg az átviteli függvényt, amelyet írtál: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Átrendezés: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Az egyenlet mostantól formában van: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
És egyértelműen \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $, tehát 2,2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Ez a bit azért fontos, mert \ $ \ sqrt3 \ $.
Bessel 2. rendű aluláteresztő szűrő esetén 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $, ezért a zeta 0,866.
A képen R-vel manipuláltam, hogy pontosan 1,732-es csillapítási arányt (zétát) kapjak – nézd meg a csúcsot a lépés válasz – 1,00433 volt – pontosan megfelel Besselnek. Nézze meg a felső grafikonon ábrázolt fáziskésést – maximálisan lapos és fokozatosan 90 fokosra váltva a természetes rezonancia frekvencián. Az Fd (a csillapított frekvencia) pontosan 0,5 – ez szintén jelzi Besselt.
Lehet-e egy második rendű bessel alacsony áteresztési tényezője más, mint 0,5773?
0.5773 a \ $ \ sqrt3 \ $ reciprokja, és nem, ennek meg kell felelnie annak a Q értéknek Bessel LPF esetén.
Megjegyzések
- A polinom eltérõ oka a frekvencia méretezése. Egy nem méretezett Bessel (OP ‘ első képlete) \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $ értéke ~ -1 lesz.597dB @ 1Hz – semmi szokatlan, Bessel általában a sima csoport késleltetésére szolgál, nem a frekvenciára – ezért a TI úgy méretezte, hogy ‘ s a klasszikus -3dB.
- @ aconcernedcitizen miért ne válaszolna erre a válaszra, ahelyett, hogy a válaszomhoz rögzítené, hacsak természetesen nem vagy túlságosan finom, és rámutatsz egy hibára a válaszomban, hogy én ‘ m felismerni?
- Ezt kommentként írtam, hogy a válasz, amelyre a megjegyzést fűzöm, szükség esetén frissüljön. De ha azt mondod, hogy válasznak kell lennie, akkor legyen. Nem tudom, hogy ‘ honnan jött a ” hülye “.
Válasz
A Bessel-szűrő, amint az első képletében helyesen mutatja, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Nem szokatlan, ha úgy gondolja, hogy általában egy Bessel-szűrőt használ a lapos csoportkésleltetésére, nem pedig a frekvencia-viselkedésére (ahogy @LvW mondja kommentjében). De egy szűrő végrehajtása ezzel az átviteli funkcióval ~ 1.597dB@1Hz csillapítás, amely nem teszi klasszikusá a választ. Tehát a TI frekvencia méretezést alkalmazott úgy, hogy a csillapítás -3dB @ 1Hz legyen. Amint ez megtörténik, a négyzetes frekvencia (lüktetés) \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, ami után újrarendezték a feltételeket, hogy illeszkedjenek az opamp topológiájukhoz.