Általában azt mondják, hogy a Bloch gömb egyetlen 2 szintes kvantumrendszer tiszta állapotát képviselik. Tiszta állapot, amelynek formája: $$ | \ psi \ rangle = a | 0 \ rangle + b | 1 \ rangle $$ És általában ennek a gömbnek az északi és déli pólusa felel meg a $ | 0 \ rangle $ és $ értékeknek | 1 \ rangle $ államok. Kép: (“Bloch Sphere”, Glosser.ca – Saját munka. CC BY-SA 3.0 alatt licencelt a Commonson keresztül – https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bloch_Sphere.svg#/media/File:Bloch_Sphere.svg ) 
-
De Ez nem túl zavaró? Ha az északi és a déli pólust választják, akkor mindkét állapot ugyanazon a vonalon van, és már nem ortogonális, akkor hogyan lehet egy tetszőleges $ p $ pontot választani a gömb felületén, és esetleg lebontani a $ 0,1 $ állapotokat tekintve a $ a $ és a $ b $ megtalálásához? Ez azt jelenti, hogy nem szabad a Bloch-szférát érvényes alapnak tekinteni a rendszerünk számára, és hogy ez csak egy vizualizációs segítség?
-
Láttam bontásokat a gömb belső szögei szempontjából, a következő formában: $ a = \ cos {\ theta / 2} $ és $ b = e ^ {i \ phi} \ sin {\ theta / 2} $ a $ \ theta $ poláros szöggel és $ \ phi $ az azimutális szöggel. De tanácstalan vagyok abban, hogy ezeket hogyan lehet elérni, ha a $ 0,1 $ állapotok a ugyanaz a sor.
Megjegyzések
- Ez a dokumentum összefoglalja a $ \ mathcal {H} $, Bloch (Riemann) gömb műveletei és a kiterjesztett komplex sík közötti némi összefüggést: arxiv.org/abs/quant-ph/0201014 . Alapvetően az M ö bius transzformáció speciális alcsoportjában kell dolgoznunk.
Válasz
A Bloch gömb gyönyörűen minimalista.
Hagyományosan egy qubitnek négy valós paramétere van; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Azonban néhány gyors betekintésből kiderül, hogy a $ a $ -vs- $ b $ kompromisszumnak csak egy fokú szabadsága van a normalizálás miatt $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ és néhány körültekintőbb áttekintésből kiderül, hogy a várakozási értékek QM-ben történő összeállításában nem figyelhető meg a $ \ chi $ vagy $ \ phi $ maguk, de csak a különbség $ \ chi – \ phi $ , amely $ 2 \ pi $ -periodikus. (Ezt az alábbi megjegyzések részletezik, de röviden: A QM csak az $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ átlagokat és a teljes fázis eltolását jósolja egy hullámfüggvény egy $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ hullámfüggvényét ezért minden előrejelzésben törli magát.)
Tehát ha a legelvontabban gondolkodik azon, amire szüksége van, akkor csak húzzon egy 0-tól 1-ig terjedő vonalat, amely a $ a $ -vs értéket képviseli – $ b $ kompromisszum: mennyi ez a két állam egyikében? Ezután köröket rajzol köré: mekkora a fáziskülönbség? Az akadályozza meg, hogy henger legyen, hogy a fáziskülönbség nem számít, amikor $ a = 1 $ vagy $ b = 1 $ , ezért a köröknek pontokra kell zsugorodniuk. Et voila , van valami, ami topológiailag egyenértékű egy gömbbel. A gömb tartalmazza a kísérletekhez szükséges összes információt, és semmi mást.
Ez fizikai, egy igazi gömb a 3D-s térben.
Ez a sokkolóbb tény. Csak a fenti egyszerű képet figyelembe véve, megbocsátható, ha azt gondolja, hogy ez mind ártalmatlan matematika: nem! Valójában a kvittesszenciális qubit egy spin- $ \ frac 12 $ rendszer, a Pauli-mátrixok jelzik, hogy a rendszer hogyan forog a $ x $ , $ y $ vagy $ z $ tengelyek. Ez egy olyan rendszer, ahol a $ | 0 \ rangle $ -ot a $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ és $ | \ downarrow \ rangle $ , és a fáziskülönbség bejön a $ + x $ -axis kiválasztása a $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $
A tér ortogonális irányai nem Hilbert-ortogonálisak a QM kezelésben, mert a fizika csak nem így ennek a rendszernek a működése. A Hilbert-ortogonális állapotok aránytalanok: ha ebben az állapotban van, akkor biztosan nem ebben.De ennek a rendszernek van egy spinje, amelynek teljes összege $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , de csak $ \ hbar / 2 $ mutat abba az irányba, ahol “a legjobban hegyes”, vagyis valamiféle “gyűrűre” kell osztani ezen az irányon. Ennek megfelelően, amikor megmérjük, hogy a $ + z $ -direction-ben van, kiderül, hogy ez is a $ + x $ , fele a $ – x $ irányban. (Itt a „fajta” azt jelenti: ez az, ha egy $ x $ -mérést követ.)
Tehát kérdezzük meg ” melyik irányban forog a spin- $ \ frac12 $ a legjobban? ” Ehhez megfigyelhető felépítése szükséges. Például, ha a $ + z $ -directionet egy $ | \ uparrow állapot pörgeti be leginkább \ rangle $ , akkor a $ z $ -spin esetében megfigyelhető a Pauli-mátrix $ \ sigma_z = | \ felfelé \ rangle \ langle \ felfelé | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ ebben az állapotban, $ -1 $ a Hilbert-merőleges állapotban $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Hasonlóképpen, ha megnézi a $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ látni fogja, hogy a fent meghatározott $ | {+ x} \ rangle $ állapot sajátvektor a +1 sajátértékkel és hasonlóképpen $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ kell lennie, amely kielégíti a $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ és helyreállíthatja a $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $
Ezután a $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ is $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ , tehát az a megfigyelhető érték, amely +1 ebben az állapotban vagy -1 az ellenkező állapotban: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ vége {align} $$ ennek megírása $ v_i \ sigma_i $ névvel, ahol a $ \ sigma_i $ a kapott Pauli-mátrixok: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ béta. $$ Most $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ és $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ megtudjuk, hogy ezek a következők: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Tehát a Bloch receptje egy $ (\ theta, \ phi) $ -ot használ, amelyek egyszerűen a pont gömbös koordinátái. az a gömb, amelyben egy ilyen $ | \ psi \ rangle $ “leginkább az irányába forog.”
Tehát ahelyett, hogy pusztán elméleti lenne a vizualizáció azt mondhatjuk, hogy a spin- $ \ frac 12 $ rendszer, a prototípus qubit, valójában a Bloch-gömb koordinátái által megadott irányba forog! (Legalábbis, amennyiben egy spin-up rendszer felpörög.) Ez kíméletlenül fizikai : el akarja dobni egy matematikai sarokba, és azt mondja: „Nem, a valódi rendszerek számára én mutatott ebben az irányban a valós 3D térben és figyelnie kell rám. ”
Hogyan válaszolják meg ezek a kérdéseidet.
-
Igen, N és S térben párhuzamosak, de a Hilbert-térben merőlegesek. Ez a Hilbert-ortogonalitás azt jelenti, hogy a rendszer nem lehet egyszerre spin-up és spin-down.Ezzel szemben a Hilbert-ortogonalitás hiánya mondjuk a $ z $ és a $ x $ irányok között amikor megmérjük a $ z $ -spin-t, akkor is megtehetjük, hogy a spin értéke nulla nulla lesz a $ x $ -direction, amely az ilyen rendszerek egyik legfontosabb jellemzője. Valóban kissé zavaró, ha két különböző „ortogonális” fogalom van, az egyik a fizikai térre, a másik pedig a Hilbert-térre vonatkozik, de abból adódik, hogy két különböző tér van, amelyet néz.
-
A fentiekben megadhatjuk, hogy a szögek miért fizikailag nagyon hasznosak. De ahogy az első részben említettük, tisztán matematikai gyakorlatként is szemlélheti, hogy megpróbálja leírni a konfigurációs teret egy gömbbel: akkor természetesen a poláris szög van a fáziskülönbségként, amely $ 2 \ pi $ -periodikus, tehát ez természetesen azimutális koordináta; ezért a koordinátának a 0/1 mentén elhelyezkedő módjának „poláris” koordinátának kell lennie, $ 0 $ leképezésével $ | 0 \ rangle $ és $ \ pi $ hozzárendelés $ | 1 \ rangle $ -hoz. Ennek nyilvánvaló módja a $ \ cos (\ theta / 2) $ 1 és 0 közötti leképezése ezen a tartományon, mivel a $ | 0 \ rangle $ állapot; az a tény, hogy a $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ azt jelenti, hogy a $ | 1 \ rangle $ állapotnak fel kell vennie egy $ \ sin (\ theta / 2) $ amplitúdót, hogy megfeleljen neki.
Megjegyzések
- Hasonló zavarom van a Bloch-szférát illetően, mint az OP. Meg tudná magyarázni egy kicsit, hogy mit ért ” alatt, és néhány alaposabb áttekintésből kiderül, hogy a várakozási értékek QM-ben történő felépítésében nem figyelhető meg a $ \ chi $ és a $ \ maguk a phi $, de csak a $ \ chi – \ phi $ különbség, ami $ 2 \ pi $ -periodikus “?
- @Moses: biztos. a QM összes előrejelzése a $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle formátum várható értékei. $ Számítsa ki ezt a $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ formátumra {i \ phi} | 1 \ rangle $ és $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (tehát $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) a $ \ langle megkereséséhez A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ Nem a várakozási érték tehát bármit felfed magáról a $ \ phi $ -ról vagy a $ \ chi $ -ról, de csak potenciálisan $ \ delta = \ phi- \ chi $ ezen $ e ^ {i \ delta} $ kifejezésen keresztül, amely nyilvánvalóan $ 2 \ pi $ – periodikus dollárban.
- Általánosabban nézve a hullámfüggvény globális fázisa nem figyelhető meg; ezek az elvárási zárójelek azt mondják, hogy a $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ állapotban lévő elvárásoknak $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
- Ez segíthet az OP-nek a $ \ frac {\ theta} {2} $ természetességének internalizálásában rámutatni, hogy ez megfelel annak a ténynek, hogy egy spin – $ \ frac {1} {2} $ részecskével van dolgunk. A fél pörgetés oda vezet, hogy a forgatás generátorai nem $ \ sigma $, hanem inkább $ \ frac {\ sigma} {2} $ lesznek (hogy a sajátérték $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $ legyen. Így a $ \ theta $ fizikai forgatása esetén az állapotra ható átalakulás $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ lesz – ami $ \ frac elforgatásához vezet {\ theta} {2} $ az állam számára.
- Miért van szükségünk 3D-s gömbre, és nem csak egy körre egy síkon? Ha a kvbitet az atom spinjének vagy szuperpozíciójának 2 lehetséges értékeként képzeljük el … Mi ‘ az az azimutális szög fizikai jelentése?
Válasz
Az egységgömb felületén lévő pontokat a tiszta egyszerű állapotokkal a következő egyszerű módon társíthatja.
A $ gömb egy pontja (n_x, n_y, n_z) $ társul a $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ operátor sajátvektorához pozitív sajátértékkel és fordítva. Ez magában foglalja az összes spin 1/2 egy részecske centrifugálási állapotot.
És ez nem véletlenszerű, vizualizáció vagy matematika. Ha van egy Stern-Gerlach készüléke, amelynek mágneses mező inhomogenitása a $ (n_x, n_y, n_z) $ irányba mutat, akkor következetesen egy adott irányba tereli ezt a nyalábot, amikor az állapota $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $
De ez nem túl zavaró? Ha az északi és a déli pólust választják, akkor mindkét állam ugyanazon a vonalon, és már nem ortogonális,
A legkevésbé sem zavaró. A geometria a laboratóriumi fizikai eszköz orientációjával függ össze, amelyre az állapota megbízható eredményeket ad.Az ellentétes irányú eszköz is megbízható eredményeket ad. Ez az ortogonális állapotokra jellemző, hogy a teonortogonális állapotok ugyanazon operátor sajátjai lehetnek.
Tehát a Bloch gömb különböző pontjai különböző orientációkat azonosítanak, amelyek a különböző állapotok “fel” eredményét adják. Ne tévessze össze a mérőeszköz 3d térbeli orientációját a forgástérben lévő állapotok geometriájával.
így hogyan választhatunk ki egy tetszőleges pontot $ p $ a gömb felületén, és esetleg lebontja a $ 0,1 $ állapotokban, hogy megtaláljuk a $ a $ és $ b $?
Ez fordítva van. Hogyan döntött úgy, hogy valamelyik állapotot 0-nak, a másikat 1-nek hívja? Kiválasztott egy véletlenszerű tájolást, és z-nek hívta, és úgy orientálta készülékét, hogy a mágneses mező inhomogenitása pont így legyen. Ez felfelé és lefelé adott.
De most megadhatunk bármilyen spin-állapotot. Ugyanez megvan egy tetszőleges $ (n_x, n_y, n_z) $ ponttal, majd keresse meg a $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Sajátvektorát pozitív sajátértékkel. Nevezzük $ \ left | s \ right \ rangle, $ majd $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ tehát ott van a $ a $ és $ b $, kivéve, ha nem ismeri a teljes fázist és nagyságrendet, de egyetlen részecske spin-állapotának nincs ilyenje .
Ez azt jelenti, hogy nem szabad a Bloch-szférát érvényes alapnak tekintenünk a rendszerünk számára, és hogy ez csak egy vizualizációs segítség?
Nem, ez azt jelenti, hogy nem szabad összekeverni a laboratóriumi geometriát a Hilbert-tér geometriájával. A fizika kísérleti tudomány, így a leghatározottabbak kapcsolatosak, de nem azonosak.
Ha vektort szeretne vetíteni egy eigenstérre, akkor nem vetíti egymásra a címkéket. Lehet egy spin-állapot és egy másik spin-állapot, és amikor az egyiket a másikra orientált Stern-Gerlach eszközön keresztül helyezzük el, akkor a szabadság térbeli fokai kettéválnak és szétválnak egyre, amely ebben az irányban fent van, és amelyik térben van ettől lefelé. irány és a forgási állapot szó szerint megváltozik, hogy felfelé mutasson a térben felfelé haladó gerendában, és hogy lefelé mutasson a lefelé haladó sugárban. Tehát az egy részecske pörgése összefonódott a saját helyzetével.
A Hilbert-vetület mérete megmondja, hogy mekkora a térbeli részek elhajlottak és hasadtak. De szó szerint nem is kell hogy emlékezzen az ilyen szabályokra. Ha felírja a Stern-Gerlach eszköz Schrödinger-egyenletét, a gerenda feloszlik és szétválik a megfelelő méretű részekre, és a pörgések a két polarizációra igazodnak, és ez megtörténik anélkül, hogy ezt megmondaná nekik.
Tehát akkor a forgási állapot tiszta. Megmondja az irányt, amely megbízhatóan halad, ha esélyt ad rá. És ha egy másik irányultságú Stern-Gerlach-ba helyezi, akkor kénytelen lesz az irányultság által megengedett két irány egyikébe menni, és kettéválik és mindkettőbe megy. Az egyes részek méretének megszerzéséhez fejlesztheti a Schrödinger-egyenletet, vagy kiszámíthatja a $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ operátor sajátvektorait, és pontozhatja a másik vektorral merőleges pozitív sajátérték sajátvektorával.
És igen, vannak ennek egyszerűbb módjai, és még többet is kihozhat belőle. De remélhetőleg látja a másik geometriát.
Megmutathatja, hogy hogyan szerzi meg az ember a $ cos \ theta / 2 $ és $ e ^ {i \ phi } $ feltétel?
A Pauli spin operátorokat használtam, ha alapot akarsz választani, mátrixokként írhatod őket (az operátor egy függvény egy vektortérben , egy mátrix áll az operátor mellett, miután kiválasztott egy bázist; az operátor létezik és ugyanaz, függetlenül attól, hogy később milyen alapot választasz, vagy nem. $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ balra (\ begin {mátrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$
És a pozitív sajátértékű sajátvektor $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ hacsak $ n_z = 1 $, akkor $ \ left (\ begin {mátrix} 1 \\ 0 \ end {mátrix} \ right). $ Let foglalkozzunk a Először $ n_z = 1 $, abban az esetben $ a = 1 $ és $ b = 0 $ és $ \ theta = 0 $, tehát $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ A phi} \ sin (\ theta / 2) $ minden beválik.
Ha a sajátvektort egységvektorrá akarja írni, akkor $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {mátrix} \ right). $ Ha módosítani szeretné a fázist úgy, hogy az első koordináta valós és pozitív legyen, akkor $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ balra (\ begin {mátrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ vége {mátrix} \ jobb). $
A többi trigometria, pl. $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Tehát csak be kell mutatnunk, hogy $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ és az a $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ Ez egy trigidentitás $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $
Az előbbi $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$
Megjegyzések
- Miért van szükség 3D-s gömbre, és nem csak egy körre egy síkon? Ha a kvbitet atom atomjának vagy szuperpozíciójának 2 lehetséges értékeként képzeljük el … Mi ‘ s az az azimutális szög fizikai jelentése?
Válasz
A. Kétállapotú rendszerek
Legyen egy kétállapotú rendszer, az állapotok függetlenek a tér-idő koordinátáktól. Ebben az esetben a rendszer új fokú szabadsággal rendelkezik . Klasszikus példa: a spin szöggel rendelkező részecske $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .
Hagyjuk, hogy az ott található két állapot feleljen meg a alapállapotok \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} nevű felfelé és lefelé állapot.
A rendszer állapotát a \ begin {equation} \ állapotvektor fejezi ki. vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {where} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {és} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} A $ \: \ xi, \ eta \: $ összetett számok a valószínűségi amplitúdók és a nem negatív valósak $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ annak a valószínűsége, hogy a rendszer $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d állapotban lesz \ rangle \: $ .
A rendszer állapotainak Hilbert-tere sok tekintetben megegyezik a összetett tér (egységgömbjével). $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .
A rendszer megfigyelhetőségét egy $ \: 2 \ képviselné times2 \: $ hermita mátrix A \ begin {egyenlet} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {with} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} tehát a $ \: 2 \ times2 lineáris tere \: $ remete mátrixok sok tekintetben megegyeznek a $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . A $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ szokásos alapja alapján megalkotjuk az alapot a \ begin {egyenlet} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ kezdődik {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}
Most, ha az alapállapotok $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ megfelel a sajátértékek sajátértékeinek $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ megfigyelhető, akkor ezt a megfigyelhetőt a mátrix képviseli
\ begin {egyenlet} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label A {05} \ end {equation} nem szerepel a \ eqref {04} fájlban. De a \ eqref {04} alap helyett a következő lineáris kombinációkat használhatnánk \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ kezdődik {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ bal (E_3 + E_4 \ jobb) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} , valamint szimbólumok és elrendezés
\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ félkövér szimbólum {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} ahol $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ balra (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ jobbra) \: $ a Pauli mátrixok ra.
Most a $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ alapállapotok az \ eqref egyenletből {01} a $ \: \ sigma_3 \: $ sajátállapotai, ezért ezeket a $ \: “alindexekkel kell kifejezni. 3 “\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ címke {08} \ label {08} \ end {equation} Ezt a $ \: \ xi, \ eta \: $ span valószínűségi amplitúdók esetén kell megtenni > még \ begin {egyenlet} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {ahol} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {és} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} Ennek az az oka, hogy a Hilbert tér alapállapotaiként ugyanolyan jól használhatjuk a sajátállamokat $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ sajátértékek $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ / span class = “math-container”> $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {egyenlet} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ bal (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ bal (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} úgy, hogy \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {ahol} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {és} \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} vagy a $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {egyenlet} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ bal (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ bal (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} úgy, hogy \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {ahol} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {és} \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} A saját államok A $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ vázlatosan láthatók a 04-es ábrán.
Most, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Szintén \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ balra (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ jobbra) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} Az \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} egyenletekben $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ a $ \: z \: $ és a összetett konjugátumot jelöljük $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ a $ \: z $ .
Mivel $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ beállítottuk (lásd: 01. ábra) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {polárszög a $ x_3- $ tengelyhez viszonyítva} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} so \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {azimutális szög a $ x_3- $ tengelyhez képest} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} Ezen meghatározások szerint \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ balra (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} és egyenletek \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} a következő valószínűségeket eredményezi \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}
B. Gömbön – a gömbben
A 01-es ábrán a \ eqref {18a}, a \ eqref {18b} és a \ eqref {18c} definíciók részleteit láthatjuk. Ez egy sík nézet a 03-as ábra $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ kör síkjának egy pontjából. Ne feledje, hogy ez a 01 ábra akkor érvényes, ha az összes $ \: “3” \: $ előfizetés helyébe $ \ lép. : “1” \: $ vagy $ \: “2” $ . A különböző pontok definícióját és jelentését a következőkben kell megadni.
A 02-es ábrán a \ eqref {21a}, \ eqref {21b} és a \ eqref {22a}, \ eqref {22b} egyenletek geometriáját láthatjuk. Ez egy sík nézet a $ \: x_3- $ tengely pozitívumainak egy pontjából.
Itt láthatja a 03-as ábra 3d nézetét
A 03-as ábrán 1 átmérőjű gömbünk van egy háromdimenziós térben $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ nem azonos a fizikai térrel. A gömbön egy pont $ \: \ Xi \: $ a rendszer állapotát jelenti \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Most a $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: on \: \: + 1/2 \: \: \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! tengely \: \: képviseli \: \: a \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: sajátállam \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \: \: on \: \: – 1/2 \: \: \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! tengely \: \: képviseli \: \ : a \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec tion \: \: of: \: \: \: state: \: \: point \: \: \ Xi \: \: on \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! tengely \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of: \: valószínűség \: \: amplitudó \: \: \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = nagysága \: \: \: \: valószínűség \: \: amplitudó \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: sajátállam \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = valószínűség: \: \: \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = valószínűség \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ félkövér szimbólum {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = sarki \: szög \: \: respekt \: to \: a \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimuthal \: angle \: with \: respect \: to \: a \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! tengely \ címke {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = fele \: a \: poláris \: szög \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = radius \: of: a \: kör, \: metszéspontja \: a \: a \: sphere \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: with \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: a \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}
Megjegyzések
- mint mindig félelmetes figura.
- Nem ‘ nem érti, ha azt mondja, hogy (05) nincs ‘ t (04), nem ‘ t $ E_3 $? Azt sem értem, hogy ‘ nem értem, hogy $ E_3 – E_4 $ nem rendelkezik ‘ t, ha az összes nulla és egy -2
- @ gary69: Üdvözöljük a PSE-n. Köszönöm szépen a figyelmet. Elírási hiba volt a $ \ eqref {04} $ I egyenletben a jobbra. Amikor a jövőben hírnevet szerezhet, megnézheti a válaszom szerkesztési előzményeit, akkor megjegyzi, hogy ez a gépelési hiba 2020. augusztus 25-i 7. szerkesztésben történt.
Válasz
Egy pusztán kibővített megjegyzés, amely emlékezetesebbé formálja a @Timaeus finom válaszát.
Az állapotvektor
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ a tiszta állapot sűrűségű mátrixot vetítési operátorán keresztül határozza meg, $$ \ bbox [sárga] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Ne feledje a nyilvánvaló változatlanságot a $ | \ psi \ rangle $ mindenre kiterjedő újragondolása alatt.
Ezen idempotens remete sűrűségmátrix általános elvek “kifejezése nyilvánvalóan szintén $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ a $ \ kalap n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $
Vagyis a A $ \ hat z $ tengely teljes (szomszédos) forgásszöggel forog a $ \ hat n $ tengelyre. , megadva egy félszögű (spinoros, fundamentális) operátor kifejezést.
Válasz
Gondolj a foton spin-re
Ennek a konkrétabb esetnek a gondolata segített abban, hogy hasznos képeket kapjak a fejemben. Van még egy jól ismert, optikára orientált analóg, amelyet érdemes szem előtt tartani: a Poincaré gömb .
A foton spin egy kétállapotú kvantumrendszer , amelyet Frobenius megemlít , a Bloch-gömb modellezi.
A fotonpörgetés is egyszerű kísérleti megértéshez / megjelenítéshez / manipuláláshoz.
Fizikai polarizátor szűrők
Először gondolkozzunk a lehető legkonkrétabban: a polarizáló szűrőkön.
Kétféle polarizáló szűrőre gondolhat:
-
lineáris polarizátor, bármilyen szögben -90 és 90 között.
Pl itt van egy 90 fokon:
és itt van egy 45 fokos:
és itt van 0 fokon:
A Wikipédia leír néhány módszert ilyen szűrők létrehozására, és a fenti képek Polariod szűrők , amelyeket napszemüvegekben és fotózásban használnak, és ezért könnyen elérhetők .
Kvantummechanikai szempontból a 90 és a 0 fokos orientációk ugyanazt a mérést végzik: az egyetlen különbség az, hogy az egyik engedi a fotont áthaladni, a másik azonban blokkolja. De mindkettőt egyformán használhatjuk határozza meg a foton lineáris függőleges polarizációjának szintjét: csak be kell vennie a val komplementert ue.
És mivel minden mérés egy hermitikus mátrixnak felel meg , 0-t és 90-et egyaránt egyetlen mátrixszal ábrázolhatunk:
$$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$
És a 45 fokos mátrix:
$ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$
-
kör alakú polarizátor, amely amint a Wikipédia megmagyarázza általában negyed hullámlemezzel és lineárisan készül polarizátor:
Forrás .
A megfelelő mátrix:
$$ M_i = \ kezdete {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$
A fenti mátrixok az úgynevezett Pauli mátrixok .
Néhány érdekes állapotvektor
Most adjunk neveket 6 pólusnak, amelyek 6 lehetséges érdekes fotonállapotot képviselnek a Bloch gömbön , és próbálja megérteni, hogyan hatnak a szűrőkkel.
Forrás .
$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineáris 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineáris 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineáris 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {lineáris -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {kör alakú óramutató járásával megegyező irányban} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {kör alakú az óramutató járásával megegyező irányba} \\ \ end {alignat *} $$
Az első dolog, amit észreveszünk, hogy a következő a párok mind bázisok:
- $ \ vert 0 \ rangle $ és $ \ vert 1 \ rangle $
- $ \ v ert + \ rangle $ és $ \ vert – \ rangle $
- $ \ vert i \ rangle $ és $ \ vert -i \ rangle $
Például képviselhetnénk:
$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$
Ezután azt is megfigyeljük, hogy:
- $ \ vert 0 \ rangle $ és $ \ vert 1 \ rangle $ a $ M_0 $
- $ \ vert + \ rangle $ és $ \ vert – \ rangle $ a $ M _ + $
- $ \ vert i \ rangle $ és $ \ vert -i \ rangle $ a $ sajátvektorai M_i $
Ha emlékezünk arra, hogy a kvantummechanikában végzett mérés eredménye egy sajátérték sajátvektora, a valószínűséggel arányos a vetítéssel, akkor a következő minta valószínűségeket kapjuk: ezek a kísérletek:
- $ \ vert 0 \ rangle $ állapot:
-
lineáris polarizátor 90 °: 100% -os passz
-
lineáris polarizátor 0 °: 0% átengedés
-
lineáris polarizátor 45 °: 45% átengedés, mert:
$$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$
-
lineáris polarizátor -45 °: 45% átengedés
-
kör alakú polarizátorok: 45% átengedés.Ennek oka, hogy a 0 lineáris állapot két körpolarizációra bontható:
$$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$
-
- $ \ vert 1 \ rangle $ :
- lineáris 90 °: 0% passz
- lineáris 0 °: 100% pass
- lineáris 45 °: 45% halad
- lineáris -45 °: 45% halad
- kör alakú: 45% halad
- $ \ vert + \ rangle $ :
- lineáris 90 °: 45% passz
- lineáris 0 °: 45% pass
- lineáris 45 °: 100% áthaladás
- lineáris -45 °: 0% áthaladás
- kör alakú polarizátorok: 45% áthaladás
- $ \ vert i \ rangle $ :
- lineáris 90 °: 45% átengedés
- lineáris 0 ° : 45% halad
- lineáris 45 °: 45% halad
- lineáris -45 °: 45% halad
- kör alakú az óramutató járásával megegyező irányban: 100% halad
- körkörös az óramutató járásával ellentétes irányba: 0% passzol
Relatív fázis
Az egyik fontos szemiklasszikus intuíció, amelyre emlékezni kell:
körlevél polarizáció == két ortogonális lineáris polarizáció 90 fokkal fázison kívül:
Forrás .
Így például :
$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$
90 fokos relatív szakaszunk van a $ i miatt $ relatív fáziskülönbség a $ \ vert 0 \ rangle $ és a $ \ frac {i} {\ sqrt között {2}} \ vert 1 \ rangle $ .
De az átlóban egy szakaszban vannak a $ \ vert 0 \ rangle $ és $ \ vert 1 \ rangle $ :
$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$
tehát ennek a relatív fázis 0.
Séta körül a gömb
A Bloch-szférában egy állapot képviseletének egyik általános módja, ha csak a két $ \ theta $ és $ \ phi $ szög az alábbiak szerint:
Forrás .
Mivel egy gömb nem euklideszi, ennek megjelenítésére jó módszer az, ha néhány könnyen érthető utat járunk be körülötte. A következő képen két utat csinálunk:
- 0-tól kezdődik, áthalad a +, 1, -, és visszatér 0-ra
- 0-tól indul, áthalad az i-n , 1, -i, és térjen vissza a 0-hoz
Forrás .
Gyaloglás + -tól i-ig, -, -i-ig és vissza + -ig gyakorlatként marad: a kör ferde napfogyatkozássá válik, és a lejtőket egyre inkább 45 fokos vonalra vékonyítja.
Ez a szögek világos értelmezéséhez vezet:
- $ \ theta $ : minél nagyobb, annál valószínűbb, hogy $ \ vert 1 \ rangle $ a $ \ vert 0 \ rangle $
- $ \ phi $ : a relatív fázis a $ \ vert 0 \ rangle $ és a $ \ vert 1 \ rangle $ között. Ezt a relatív fázist sem függőleges, sem vízszintes polarizátor nem tudja felismerni. ?
A Bloch-gömbben csak 2 valós paraméterrel tudjuk ábrázolni az állapotot: a $ \ theta szögeket $ és $ \ phi $
De a kifejezettebb teljes állapotú vektorokban 2 komplex szám van, és ezért 4 valós szám:
$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$
Miért kell eltávolítani az egyik számot, könnyű: a teljes valószínűségnek legyen 1, és így:
$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$
tehát ezen a ponton már egy 3 gömbre korlátozódunk.
A második érdekesebb: eltávolíthatunk egy másik paramétert, mert az állapot globális fázisát egyetlen kísérlet sem képes felismerni , és így szabadon választhatjuk önkényesen.
A globális szakasz egy képzeletbeli szám. Ennek a számnak a modulusának 1-nek kell lennie a teljes valószínűség fenntartásához. A kísérletek nem tudják kimutatni a globális fáziseltolódásokat, mert a mérés eredménye:
$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$
bármelyik szűrőn megegyezik a mérésével:
$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$
mert $ | \ text {phase} | = 1 $ .
Természetes döntés tehát olyan globális fázist választani, amely az állapotot úgy forgatja, hogy a $ \ vert 0 \ rangle szorzója A $ valós szám lesz, azaz a $ b = 0 $ beállítása.
Így például egy képzeletbeli számmal megszorozva leképezhetnénk az általánosabb állapotokat korlátozottabbakba, például
$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$
Miért van pontosan három Pauli-mátrix?
Úgy gondolom, hogy mély és világos matematikai okok magyarázzák ezt, amelyek összefüggenek azzal, hogy ezek a 2×2-es hermita mátrixtér alapját képezik, amint az itt található: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 és https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states , és ez a kérdés lényege, miért van a Bloch-gömb használt, de még nem fogtam fel teljesen.
De gyakorlati szempontból: a három mérőeszköz, amelyet A cribed az egyetlen három lehetőség (a globális forgatásig), hogy az egyiken való áthaladás után elveszít minden információt a másik kettőről (a másik két kísérlet 50% -os valószínűsége).
Ezért ortogonálisak bizonyos értelemben és maximálisan, mivel nincs más kísérlet, amelyet hozzáadhatnánk ahhoz a kísérlethalmazhoz, hogy ez a tulajdonság megmaradjon.
Játsszon a Quirk játékkal
Ez egy másik érdemes javaslat. Kattintson azokra a képekre, amíg az egésznek nincs értelme.