A kvadratikus kifejezés diagonalizálásához az antiferromágneses Heisenberg modellben bevezethetjük a Bogoliubov-transzformációt: $ b_k ^ \ tőr = v_k \ alpha_k + u_k \ beta_k ^ \ tőr $. Ez az átalakítás átlósíthatja a másodfokú kifejezést a hamiltoni nyelvben:
\ begin {align} H & = \ sum_k (a ^ \ tőr_ka_k + b ^ \ tőr_kb_k + \ gamma_ka ^ \ tőr_kb ^ \ tőr_k + \ gamma_ka_kb_k) \\ & = \ összeg _ {\ bf {k}} \ kezdődik {pmatrix} egy _ {\ bf {k}} ^ \ tőr & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k }} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ tőr \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ tőr & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{ k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma_ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pm atrix} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ tőr \ end {pmatrix} \\ & = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k}} ^ \ tőr & \ beta _ {\ bf {k}} \ end { pmatrix} \ begin {pmatrix} \ epsilon_k & 0 \\ 0 & \ epsilon_k \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} \ alfa _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ tőr \ end {pmatrix} \ end {igazítás}
a következővel: $ \ epsilon_k = \ sqrt {1- \ gamma_k ^ 2}, u_k = \ sqrt {\ frac {1+ \ epsilon_k} {2 \ epsilon_k}}, v_k = – \ frac {\ gamma_k} {\ sqrt {2 \ epsilon_k (1+ \ epsilon_k)}} $ . De az U átalakítás: $ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ { A k} \ end {pmatrix} $ nem egységes, mert a $ u_k, v_k $ valós, a $ U ^ \ tőr \ neq U ^ {- 1} $.
A bozonok száma nem konzervált , tehát az átalakulás nem lehet egységes? Van-e korlátozás a bozon transzformálására?
Megjegyzések
- Az a fontos, hogy az átalakítás után a szokásos kommutációs viszonyok továbbra is fennálljanak.
- kapcsolódó: physics.stackexchange.com/q/53158
Válasz
Igazad van, Bogoliubov transzformációi általában nem egységesek. Definíció szerint
A Bogoliubov-transzformációk a létrehozás / megsemmisítés operátorok lineáris transzformációi , amelyek megőrzik az algebrai kapcsolatokat közöttük.
Az algebrai kapcsolatok elsősorban a kommutációs / anticommutációs kapcsolatok ban vannak, amelyek meghatározzák a bozonikus / fermionikus operátorokat. A definícióban sehol nem határoztuk meg, hogy az átalakításnak egységesnek kell lennie. Valójában a Bogoliubov-transzformáció (legáltalánosabb formájában) szimplektikus bozonokhoz és ortogonális fermionokhoz . A Bogoliubov-transzformáció egyik esetben sem egységes. A bozonok Bogoliubov-transzformációja megfelel az oszcillátorok lineáris kanonikus transzformációjának a klasszikus mechanikában (mivel a bozonok az oszcillátorok kvantumai), és tudjuk, hogy a lineáris kanonikus transzformációk a klasszikus fázistér szimplektikus felépítése miatt szimplektikusak.
Tehát hogy konkrétabbak legyünk, milyen korlátozások vonatkoznak a Bogoliubov-transzformációkra? Vizsgáljuk meg a $ b_i $ bozon vagy a $ f_i $ fermion $ n $ egy részecskemódjának esetét (ahol $ i = 1,2, \ cdots, n $ az egyes részecskék állapotát jelöli, például a lendületes sajátállamokat). Mind a $ b_i $, mind a $ f_i $ nem hermita operátor, ami nem túl kényelmes egy általános kezeléshez (mert “egyszerűen nem kezelhetjük a $ b_i $ és $ b_i ^ \ tőr $ -t független alapként, mivel ezek még mindig kapcsolatban állnak egymással. a részecske-lyuk transzformáció). Ezért úgy döntünk, hogy az operátorokat a következő lineáris kombinációkként írjuk át (az az ötlet, hogy egy komplex számot két valós számra bontsunk, például $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ kezdődik {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ tőr & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ tőr & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ ahol $ a_i = a_i ^ \ tőr $ és $ c_i = c_i ^ \ tőr $ ($ i = 1,2, \ cdots, 2n $ esetén) hermit operátorok (analóg a valós számokkal).Örökölniük kell a kommutációs vagy antikommutációs viszonyokat a $ b_i $ komplex bozonoktól és a $ f_i $ fermionoktól: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ tőr] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ tőr, b_j ^ \ tőr] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ tőr \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ tőr, f_j ^ \ tőr \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ ahol $ g_ {ij} ^ a $ és $ g_ {ij} ^ c A $ -okat néha kvantummetrikának hívják bozonok és fermionok esetében. Mátrixformákban a $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {mátrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ alkalommal adják meg őket n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ alkalommal n} & 0 \ end {mátrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { mátrix} \ mathbb {1} _ {n \ szor n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {mátrix} \ right], $$, a $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ a $ n \ szor n $ identitásmátrix. Tehát a létrehozás / megsemmisítés operátorai közötti algebrai kapcsolatok megőrzése annyit jelent, hogy megőrizzük a kvantummetrikát . Az $ a_i $ és $ c_i $ operátorok általános lineáris transzformációi $$ a_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ to \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c formában c_j, $$ ahol a $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ transzformációs mátrixelemeknek valósnak kell lenniük annak biztosítása érdekében, hogy az $ a_i $ és $ c_i $ operátorok megmaradjanak Remete az átalakulás után. Ezután a kvantummutató megőrzéséhez $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Tehát bármely a fenti feltételeket kielégítő valós lineáris transzformáció a legáltalánosabb értelemben vett Bogoliubov-transzformáció. Ekkor a kvantummutató tulajdonságától függően a Bogoliubov-transzformáció szimplektikus vagy ortogonális. A bozonikus kvantummetrikához a $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ antiszimmetrikus , tehát a $ W ^ a $ transzformáció szimplektikus . A fermionikus kvantummutató esetében a $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ szimmetrikus , tehát a $ W ^ c $ átalakítás ortogonális .
Megjegyzések
- Tud valaki ajánlani egy forrást, hogy többet megtudjon erről a formalizmusról, azaz a létrehozás / megsemmisítés operátorainak komplex számok ” és a kvantummutató megőrzése?
Válasz
A kvantummechanikai transzformáció egységességét nem az határozza meg, hogy miként vegyíti a teremtés és a megsemmisítés operátorait. (Nem számít, hogy milyen típusú mátrix — ortogonális, szimplektikus vagy egységes — mátrix vesz részt a keverésben!) Inkább egy meg kell vizsgálnia, hogy az átalakítás társul-e a Hilbert térre ható egységes operátorhoz.
Az idézett Bogoliubov transzformációs OP a következőképpen ábrázolható ($ \ textbf {k} $ – a függőség el van nyomva): $$ \ hat {a} \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ tőr}, \\ \ kalap {b} ^ {\ tőr} \ \ \ jobboldali \ \ \ kalap {b} ^ {\ prime \, \ tőr} = \, \ sinh \ lambda \, \ kalap {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ tőr}, $$ ahol $ \ lambda $ valós szám. Ez az átalakítás akkor és akkor egységes, ha létezik egységes operátor $ U $ olyan, hogy $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ tőr} = U \ hat {b} ^ {\ tőr} U ^ {- 1}. $$ Valójában ezek a kapcsolatok a következő választással teljesülnek: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ kalap {b} ^ {\ tőr} \ kalap {a} ^ {\ tőr}) \ Big], $$ tehát az átalakítás egységes.
Válasz
Hadd dolgozzak a $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} mátrixegyenlet ezen részén \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ tőr & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ tőr \ end {pmatrix} = \ összeg _ {\ bf {k}} \ elején {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ tőr & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ A fontos rész az, hogy a mezők transzformációja látható legyen, valamint transz a mátrix kialakítása $$ \ Gamma ~ = ~ \ kezdődik {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ tőr \ Gamma M, $$ ahol $ M ^ \ tőr ~ = ~ M $. Ennek meghatározója $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ A $ M $ determinánsa ekkor megadja $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Ezeket azután $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ és $ v_k ~ = ~ cosh (k) $ képviselheti.
Most értékelje a $ [a_k, ~ a ^ \ tőr_k] $ kommutátort $$ [a_k, ~ a ^ \ tőr_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ tőr] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ tőr_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ tőr] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ tőr_k]. $$ A kommuátorok számára $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ tőr] ~ = ~ 1 $, és ekkor látjuk a $ [a_k, ~ a_k ^ \ tőr] ~ = ~ 1 $. Ugyanez egyértelműen igaz a $ [b_k, ~ b_k ^ \ tőr] ~ = ~ 1 $ értékre. Ez azt jelenti, hogy bármely rendszer, amelynek $ N \ hbar $ műveleti egysége van, állandó. A rendszer fázistér térfogatában nincs változás. ez azt jelenti, hogy Bogoliubov-transzformációk gyakorlatilag egységesek.
Kommentárok
- Tehát az általános unitárius transzformációk ‘ s meghatározása hosszabb $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $, amelyeket a tankönyvből tanulunk? Nem értem ‘, hogy megértsem ‘ Ez azt jelenti, hogy bármely Nℏ hatásegységgel rendelkező rendszer állandó. A rendszer fázistérfogatában nincs változás ‘, meg szeretné magyarázni?
- Egyébként van-e korlátozás az átalakításra a bozonrendszer (Hamilton-féle)?
- @ZJX Nem értem ‘ hogy megértsem, miért mondta Lawrence, hogy a bozonikus Bogoliubov-átalakulások div> gyakorlatilag egységes “. Szerintem általában szimplektikusaknak kell lenniük. A korlátozás a bozon operátorok definíciójának megőrzéséből származik (oly módon, hogy a bozon operátorok az átalakulás során bozon maradnak). A bozonikus rendszerből (Hamilton) nem származik korlátozás. Mindaddig, amíg a hamiltoniak remetei, addig törvényes hamiltoniak. A hamiltoniakra alkalmazott bármilyen szimplektikus transzformáció legitim Bogoliubov-transzformáció.
Válasz
Nem, ez egységes átalakulást, de csak akkor, ha a Hamilton-i elektron & lyukat együtt vesszük figyelembe.
Megjegyzések
- De itt a modell a spinről szól, nem ‘ nem a fermion, igaz?