Folyamatos sugaram van egy középső oszlopon (nem tudom, jól rajzoltam-e vagy sem)
Az elmozdulás és az erő diagram a következő:
Az első ábra a hajlító nyomaték, a második az axiális erő, a harmadik az elmozdulás.
Most mi a határfeltétel $ R_A $, $ R_B $ és $ R_C $ áron?
Amire következtetni tudok, úgy tűnik, hogy
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (megfelel a három támogatási alakváltozásnak)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, vagy $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (megfelel a pillanatnak).
De gyanítom, hogy még mindig hiányoznak néhány határfeltétel vezesse le a folytonos teljes elmozdulás / erő diagramját ous gerenda. Vannak olyan határfeltételek, amelyeket elmulasztottam?
Válasz
Nos, hiányzik a lejtők kompatibilitása a középső támasznál :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
szimmetrikus geometria & terhelés esetén a gerenda meredeksége a középső támasznál nulla lesz.
Mivel a hajlítónyomatéknak nincs deriváltja x = L-nél, akkor külön kell levezetni a két fél elhajlásait, és kompatibilitással “össze kell őket” kötni.
Frissítés: a nyaláb elhajlási képletének levezetése:
Az Euler-Bernoulli nyalábegyenletből kiindulva (az EI állandót feltételezve), és az x-et vegyük a külső részből támogatja a központ felé: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Négyszeri integráció:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
A probléma szimmetrikus észrevétele a határfeltételek a következők: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Ezért azonnal láthatjuk, hogy: $ B = D = 0 $
Most két egyenletünk van két ismeretlenrel (A, C). Megoldva azt találjuk, hogy: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Mostantól az összeset kicserélhetjük az állandók vissza a w egyenletébe. Az eredmények egyszerűsítése a következőben:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Amely megegyezik a hivatkozott eredménnyel itt (vegye figyelembe, hogy a koordinátarendszerük középpontjában x = 0 van). Vegye figyelembe azt is, hogy ez pontosan megegyezik-e egy támasztott konzollal . Ez a szimmetriának köszönhető, ami azt jelenti, hogy a gerenda meredeksége a középpontban nulla (ami ugyanolyan határfeltétel, mint egy konzolos tartó).
A hajlítónyomaték-egyenletbe be is cserélheti:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
megjegyzések
- a) a lejtőfeltételek kompatibilitása csak akkor hasznos, ha a folytonos nyalábot két fesztávúként lehet modellezni. Mennyire hasznos ebben az esetben? b) Miért mondod, hogy a hajlítónyomaték $ L $ -nál szakadatlan? a kérdésem pillanatdiagramja egyértelműen megmutatja, hogy folytonos.
- Hálás lenne, ha tudnál egy kicsit tovább dolgozni, és ha megmutatnád, hogy a peremfeltételeid hogyan vezethetnek a folyamatos nyaláb elmozdulási / hajlítónyomat diagramjához. .
- @Graviton, a) Frissítem a kérdést a levezetéssel. b) igazad van, kissé laza voltam a matematikai terminológiámmal. Úgy értem, hogy a hajlító pillanatnak nincs deriváltja az x = L értéknél.