megjegyzések
- lehetséges duplikátumok: physics.stackexchange.com/q/132886/2451 és az ott található linkek.
Válasz
Először feltételezem, hogy véges dimenziós operátorok: különben ellenőriznie kell az operátorok bizonyos korlátozási feltételeit. Mivel a CBH sorozatot itt az eltűnő kettős kommutátorok csonkítják, a (z) eg $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ lineáris operátorok feltételei enyhék lesznek.
Gyakorolnia kell a műveleteket a $ \ mathrm {Ad} $ paranccsal. Keresse meg a következőket. A Lie \ $ \ mathfrak {G} $ algebrával $ \ mathfrak {g} $ az útvonal érintővektora:
$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$
az identitásnál $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Itt $ $ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ – GL (\ mathfrak {g}) $ a mellékképviselet . Ez egy Lie-csoport homomorfizmus az általános $ \ mathfrak {G} $ hazugsági csoporttól a $ GL (\ mathfrak {g}) $ mátrix hazugságig. A rendszermag a $ \ mathfrak {G} $ központja. Mivel ez egy homomorfizmus, $ $ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Egy másik hasznos identitás:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$
és ez a sorozat univerzálisan konvergens , ha a $ B \ mapsto [A, \, B] $ operátor megfelelő határolt ( pl $ \ bal \ | [A, \, B] \ jobb \ \ \ leq K (A) \, \ bal \ | B \ jobb \ | $ néhány $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – ez véges dimenziókban minden bizonnyal igaz).
Most (1) és a homomorfizmus tulajdonság ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \) , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), ezt megtalálhatja:
$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ balra (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$
A fentiek teljesen általánosak. A csonka esetre kell szakosodnia. Tehát használja az egyetemesen konvergens (és itt két kifejezésre csonkolt) sorozatot (2) az $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^) kibontásához. {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ és csonkítsa meg a különleges esethez, és szerintem érdemes haladnia.
Pedáns pillantás: bár a név mindkét rendje meglehetősen gyakori, a történelmi elsőbbséget pontosan tükröző sorrend a “Campbell-Baker-Hausdorff”, mivel a szerzők mindegyike 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) és 1906 (Hausdorff) ), ill. Mindannyian tisztában voltak elődeik “munkájával, de amint azt Bourbaki (1960) Fascicule 16 Ch 1 (1960) állítása szerint” mindegyik meggyőzőnek találta elődei bemutatóit (!) “. Ez a kijelentés mindig kuncogásra késztet, és némi vigaszt nyújt, hogy “Nem én vagyok az egyetlen, aki körülbelül 5% -os megértési aránnyal rendelkezik a szakirodalom olvasásában (úgy gondolom, hogy átlagosan körülbelül 20-szor kell elolvasnom egy cikket, hogy” megszerezzem “). Szórakoztató tény, hogy a háromból senki nem dolgozta ki a sorozatot. Ehelyett megállapították azt a tételt, miszerint a sorozat a Lie algebrában a $ \ mathbf {0} $ néhány szomszédságában konvergens, és csak lineáris és Lie zárójeles műveleteket tartalmaz. Maga a képlet Dynkinnek köszönhető, és 1947-ben teljesen kidolgozták!
Hozzászólások
- nagyon köszönöm, hogy válaszoltál! Én ' mindent megteszek a válaszának tanulmányozása érdekében, annak ellenére, hogy kicsi a bevezető szintű ismerete a hazugságcsoportokról és az algebrákról.
- @quarkleptonboson I 69c91a3959 “>
ve újabb lépést tett az egyenlőségre. (3), hogy segítsen neked.Gondoljunk csak az összes operátorra úgy, hogy a négyzet alakú $ N \ szorzat N $ mátrixok, és az összes Lie zárójel és szorzók konkrét mátrixszorzókká válnak. (2) mindig szó szerinti mátrix hatványsor, mivel a $ \ mathfrak {g} $ invertálható lineáris transzformációk csoportja mindig mátrixcsoport.