Kezdeni a házi feladattal, meglehetősen hosszadalmas. >
Az elektron tömegének 208-szorosával megegyező tömegű részecske a $ + 3e $ töltésmag körül keringő pályán mozog. Feltételezve, hogy az atom Bohr-modellje alkalmazható erre a rendszerre,
- Vezessen le egy kifejezést a $ n $ th Bohr-pálya sugarára.
- Keresse meg a $ n $ értékét amelyeknél a sugár megegyezik az első hidrogénpálya sugaraival.
- Keresse meg a sugárzás hullámhosszát, amikor a forgó részecske a harmadik pályáról az elsőre ugrik. = “c22bd88a3a”>
Most elvégeztem az első részt, és helyesen kaptam a választ. Ezt tettem.
Tegyük fel, hogy a forgó részecske tömege $ M $, sebessége $ v $ és $ M = 208 m_ {e} $. Az elektrosztatikus erő a centripetális erő . Ezért
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
A Bohr modellből
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
ahol $ h $ Planck állandója. Ezért
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Négyzetre állítva,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
A két egyenlet megegyezése, amelyekben $ v ^ 2 $ van ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
A $ r $ megoldása után ilyesmit kapunk,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
A fentiek mindegyike helyes. A probléma a második és a harmadik részben van; amikor $ r = \ pu {0,53 * 10 ^ {- 10} m} $ -t teszek, NEM kapom meg a szükséges választ. A harmadik rész megközelítéséhez a standard Rydberg-egyenlettel kezdtem,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Minden egyes értéket bedugtam, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; de ismét nem kaptam meg a helyes választ.
A második részre adott válasz 25 $ (n = 25) $; a harmadikra pedig: 55,2 pikométer.
Válasz
A második rész megválaszolásához:
Tudjuk, hogy $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
Az első részben hibás, ahogy van
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implicit & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Ismerjük a Bohr sugarat is:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ kb. 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Ezért írhatunk és törölhetünk:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ ezért & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ ezért & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} kb25 \ end {align} $$
A harmadik rész:
A Rydberg képlet
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ balra (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ jobbra) $$
a Rydberg $ \ mathcal {R} $ konstans, amelyet egy elektron által kibocsátott fotonhoz határoz meg. Feltételezzük, hogy a mag tömege 7 atomegység (három proton + négy neutron). Figyelembe véve, hogy $ m_p \ kb. 1836m_e $ , megérkezünk
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Most a Rydberg-konstansot módosítani kell a A részecske tömege:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
$ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipédia ), eljutottam a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55.6 ~ \ mathrm {pm} $ .
A csökkentett tömeg, azaz $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ figyelembe vétele nélkül érkeztem $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54,8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Mindkét érték meglehetősen közel áll a megadott megoldáshoz.
(Ha a kérdés valóban a müonra vonatkozott, a pontosabb súlyarány 206,77, a megfelelő hullámhosszak pedig 55,1 pm és 56,0 pm.)