A számok valóban végtelenek? [zárt]

Nem csak te kérdezed meg a végtelen számtalan számot. Valójában egész gondolkodási iskolák kutatják a számok végtelen spektrumát, egész gondolkodási iskolák kutatják a végtelen spektrumon túli transzfinit számokat, és egész gondolkodási iskolák kutatják, hogyan lehet matematikázni ott, ahol nem léteznek végtelenségek (a finitista iskolák néven ismertek). gondolat)!

A végtelen számok megvitatásának alapvető eleme a Peano-számtan fogalma. Giuseppe Peano axiómák halmazát fejlesztette ki az úgynevezett “természetes számok” számára, amelyek informálisan a 0, 1, 2, 3, 4 szekvenciát jelentik. .. Az axiómák a következők:

• 0 természetes szám (kijelentjük, hogy létezik, állandó)
• Minden természetes számra x, x = x (reflexív: minden önmagával egyenlő)
• Minden természetes számra x és y, ha x = y, akkor y = x (az egyenlőség szimmetrikus tulajdonsága)
• Minden természetes számra x, y, z, ha x = y és y = z majd x = z (az egyenlőség transzitív tulajdonsága)
• minden a és b, ha b természetes szám és a = b akkor a a természetes szám (az egyenlőség “zárt”)

Ezután meg kell határoznunk egy függvényt S, az utódfunkció néven ismert, így 0-nál nagyobb számok is lehetnek számunkra. Informálisan S(0)=1, S(1) = 2 és így tovább be.

• Minden természetes számra n a S(n) is természetes szám
• Minden természetes számra m és n, m = n csak akkor, ha S(m) = S(n) (S injekció)
• Minden természetes számra n, S(n) = 0 hamis (egy szám utódja soha nem 0 … aka 0 az “első” természetes szám)

Most szükségünk van arra az axiómára, amely a kérdést olyan tökéletesen érdekessé teszi, az indukció axiómáját:

• ha f egy ilyen függvény, t f(0) igaz, és minden természetes számra n, ha f(n) igaz, akkor A f(S(n)) igaz, akkor a f(n) minden természetes számra igaz.

Ez az utolsó axióma a oly sok érdekes viselkedés. “Ez az, aki megpróbál elérni a végtelen felé, és azt állítja, hogy felajánlja a megragadásának módjait. És mint minden axióma, nem feltétlenül állítja, hogy” helyes “, csupán azt, hogy a határokon belül igaznak nyilvánítják. az aritmetika szabályainak (Peano által meghatározottak szerint).

Az aritmetika nagy részét az úgynevezett “halmazelmélet” -re formalizálták, amely matematikánk nagy részének alapja, mert Úgy tűnik, hogy alapvető az univerzum szerveződése szempontjából. A készletek bizonyos tárgyak gyűjteményeivel foglalkoznak, például “az 5-nél kisebb természetes számok halmaza”, amelyet {0, 1, 2, 3, 4}.A peano-aritmetikát leggyakrabban a halmazelméletre térképezik fel a következő felépítéssel:

• Az üres {} halmazt konstansnak nyilvánítják 0 Peano axiómáiban
• A S(n) utódfüggvény meghatározása: S (n) = {{}, {n }} (Bármely szám utódjának meghatározása az üres halmaz és az előző számot tartalmazó halmaz egyesítése)

Ez a meghatározás kissé tompán hangzik, de azért választották, mert A két Peano-axióma könnyen leképezhető erre a két definícióra. Ezzel lehetőséget kapunk arra, hogy a halmazelméleti axiómákat a számok manipulálásához nagyon erőteljes és alapvető módszerekkel alkalmazzuk. Ezek közül az egyik legfontosabb a egy halmaz számossága. Ez a halmazban lévő dolgok “száma”. Informálisan {1, 2, 3}, {3, 4, 5} és {alma, narancs, orangután} mindegyikének 3 számossága van, mert van 3 eleme, de a (z) {2, 4, 6, 8} számossága 4.

Ez az ahol trükkös lesz, mert kiderül, hogy “az összes természetes szám halmaza” egy érvényes halmaz, amelyet általában nagybetűvel jelölnek N, így megkérdezhetjük: “mi a az összes természetes szám halmaza? “A válasz” végtelen “, és ez az állítás definícióként történik. Meghatározzuk a N számosságát egy meghatározott számnak, amelyet ℵ₀ néven ismerünk, és amely az angol “countable infinity” nevet kapja. Igen, a matematikusok számára a végtelenség megszámolható, mert elméletileg 0-ról indulhat, felfelé számolhat 1, 2, 3, 4, 5 … és “elérheti” ℵ₀ az indukció axiómája szerint. Vannak megszámlálhatatlan végtelenségek is, mint például a ℵ₁, amelyet a kontinuum kardinalitásának vagy a valós számok számának neveznek (feltételezve, hogy a kontinuum hipotézis igaz … erről még eltérő vélemények is vannak). “transzfinit” számokra gondolt, amelyek képesek kezelni az olyan kifejezéseket, mint például: “Kettős kutya merszek téged a végtelenbe plusz egyszer!”

Üdvözöljük a matematika végtelen nyúllyukában. “Meghatároztuk a szót, hogy itt valamire gondoljunk. Az axiómák halmaza vonatkozásában van meghatározva. Vajon ezek az axiómák a” való életben “is fennállnak-e? A legtöbb matematikus kényelmesnek gondolja, hogy megteszi. A számítógép, amelyen ma ezt olvassa a calculus számos modelljének felhasználásával fejlesztették ki, és a calculus gyökerei a végtelenség mélyén találhatók (különös tekintettel a “határok” fogalmára). Eddig ez a feltételezés nagyon jót tett nekünk. Ez a feltételezés “igaz”? Ez bonyolultabb kérdés. Vannak olyan finitista gondolkodási iskolák, amelyek abból a feltételezésből indulnak ki, hogy a természetes számok száma véges, általában az emberi elme vagy az univerzum véges kapacitásához kapcsolódik ilyen vagy olyan módon. Ha az idő véges, és a számítás véges, akkor elméletileg nem lehet számítógépet alkotni a “végtelenségről”, ezért azt állítják, hogy nem létezik. Igazuk van? Nos, igen … definícióik szerint, ahogyan az ellentétes állítás is igaz a Peano-axiómák és a halmazelmélet definíciói. Mindkettő vitathatatlanul igaz lehet, mert mindegyikük meghatározza a “végtelen” szót, ami oly kissé mást jelent.

Zárásként érdemes lehet nyelvészeti szempontból dobbantani. választás: “Tehát azt mondjuk, hogy a számok végtelenek?” Nagyon sok dolgot mondhatunk. Az, hogy ezek a dolgok megfelelnek-e az igazság ideáljának (önmagában nagyon nehéz szó formálisan leírni), nagyban függ az szavak. Ha elfogadja a “végtelen” definícióját, amelyet a matematika fősodrában adott meg, akkor a “számok végtelenek” igaz, szó szerint azért, mert a mainstream matematika a “végtelent” mint ilyenet definiálja. Ha elfogadja a finitisták által megadott definíciót, akkor a “számok végtelenek” hamis, szó szerint megengedve, hogy a finitisták a “végtelenséget” ilyennek definiálják. Választhat saját meghatározást. Ez akár kontextuális is lehet (nem ritka, hogy olyan keresztény matematikusokat találunk, akik vallásukon belül kissé eltérően definiálják a “végtelenséget”, mint a matematikában, és nincsenek rossz hatásai azon kívül, hogy két nagyon hasonló fogalomhoz ugyanaz a szó tartozik a szókincsükben) .

Megjegyzések

• " egész gondolkodási iskolák kutatják a számok ". Senki sem fedezheti fel a végtelen mennyiségű számot, mert azok végtelenek. Végtelen mennyiségű évre és végtelen mennyiségű tudósra lenne szüksége.
• Ez a válasz szerintem ártatlan hibát tartalmaz. A folytonosság kardinalitásának értéke a halmazelmélet egyik nagy ismeretlensége. A ZFC nem elég erős az érték megállapításához. Ha azt mondjuk, hogy " c " egyenlő az aleph-1-vel, az azt feltételezi, hogy a folytonosság-hipotézis igaz.
• Nagyon tetszik ez a válasz.Bármennyire is bármi, amit mondunk, amikor népi egyetértés van, ez a válasz még tovább megy, és nagyon gyorsan és világosan megadja azt a matematikai keretet, amellyel mindkettőt meghatározzuk a fogalmakat, és konkrétan azt, hogy a végtelenség hogyan definiálható ugyanazokkal. +1
• @NickR Köszönjük a fogást! Szerkesztést vezettünk be!
• @JohnAm Véges idő alatt felfedezheti őket, mindaddig, amíg minden egyes számra végtelen ideig átlagolunk 😉 Felveti a kérdést, hogy mennyire alaposan fedezze fel a nagyobb számokat, nem ' t!

Általánosan elfogadott tény, hogy a természetes számok kielégítik a Dedekind-Peano axiómákat (általában csak Peanóról nevezik el, mert Dedekind megmerevedik). Ezek az axiómák arra utalnak, hogy hogy végtelen sok természetes szám van. És nem nehéz megérteni, miért: nem lehet legnagyobb természetes n szám, mivel az n + 1 nagyobb természetes szám.

Általánosabban, a standard (ZFC) axiómák a halmazelmélet számára bebizonyíthatjuk jó néhány végtelen halmaz létezését. Ez egy kicsit kevésbé hasznos a céljaidhoz, mivel a végtelen halmaza épül fel a ZFC-ben axiómaként, de mivel a ZFC széles körben elfogadott matematikusok és filozófusok által érdemes kiemelni.