Egy véletlenszerű folyamat mintája a következő:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
ahol $ w (t) $ egy fehér zaj folyamat $ 0 $ átlaggal és a teljesítmény spektrális sűrűségével $ \ frac {N_0} {2 } $, és $ f_0 $, $ A $ és $ B $ konstansok. Keresse meg az automatikus korrelációs függvényt.
Itt próbálkozom a megoldással:
Legyen $ a = 2 \ pi f_0t $, és $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autokorreláció} x (t) & = E \ bal \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ bal \ {\ bal (A \ cos (a) + Bw (t) \ jobb) \ bal (A \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ bal \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ jobb \} + E \ bal \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ jobb \} + E \ bal \ {AB \ cos (b) (wt) \ jobb \} \\ & \ quad + E \ bal \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ jobb \} \\ & = E \ bal \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ jobb \} + E \ bal \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ jobb \} \\ & = E \ bal \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ jobb \} + B ^ 2 \ bal (R_w (\ tau) \ jobb) \\ & = E \ bal \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ jobb \} + B ^ 2 \ bal (\ frac {N_0} {2} \ jobb) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
A várakozási feltételek és a bennük lévő zaj mind 0 $ $ (az utolsó csak a fehér zaj automatikus korrelációja … ezért az egyszerűsítés felett. Trigonometrikus azonosságok használata: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
van:
\ begin {align} \ text {Autokorreláció} x (t) & = E \ bal \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ bal \ {\ bal (A ^ 2 \ jobb) \ frac 12 \ bal [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ jobb] \ jobb \} + B ^ 2 \ bal (\ frac {N_0} {2} \ jobbra) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ balra (\ frac {A ^ 2} {2} \ jobbra) \ balra [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ jobb] + B ^ 2 \ bal (\ frac {N_0} {2} \ jobb) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Állandó feltételekkel foglalkozunk, ezért az elvárás kifejezés elmúlik és a kezdeti feltételekkel alábecsüljük: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ balra [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ jobbra] + B ^ 2 \ balra (\ frac {N_0} {2} \ jobbra) (\ delta (\ tau)) $$
Valamilyen oknál fogva nem tudok segíteni, de úgy érzem, hogy valamit helytelenül számoltam ki az autokorrelációt … állítólag a $ \ tau $ függvénye, de a $ t $ ott van … nagyon megköszönném, ha valaki a helyes irányba tudna mutatni, vagy elmagyarázná, mit rontottam el. Nem tudom, hogy számít-e, de ebben az osztályban csak széles értelemben vett álló folyamatokkal foglalkozunk.
Megjegyzések
- Hacsak nem te vagy biztos abban, hogy a $ x (t) $ véletlenszerű folyamat WSS, nem szabad arra számítanunk, hogy az ACF csak a $ \ tau $ függvénye lesz. Ezért helyesnek tűnik itt feltüntetni a $ t $ időtartamokat. De úgy gondolom, hogy a $ x (t) $ belsejében található koszinusz kifejezés tartalmazhat véletlenszerű amplitúdót vagy véletlenszerű fázist, amelyet elfelejt beírni, akkor esélye lehet arra, hogy megszabaduljon a $ t $ időelemtől, ha annyira kívánja tehát …
- A $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ folyamat egy ciklostacionárius folyamat (kielégíti azoknak az időeltolódásoknak az állékonyságra vonatkozó követelményeit, amelyek a $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) többszörösei, és egyáltalán nem WSS folyamat. Például vegye figyelembe, hogy még az mean függvény $ E [x (t)] $ sem állandó, mint egy WSS folyamatnak lennie kellene. Ahogy a @ Fat32 mondja (+1), elképzelhető, hogy elfelejtett egy véletlenszerű $ \ Theta $ fázist felvenni az $ x (t) $ definíciójába (a WS helyhezviteléhez szükséges tulajdonság az, hogy $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $, amely a $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ vagy $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac esetében érvényes 14 $ for $ n = 0,1,2,3 $).
Válasz
Gondolom “szinte mindent jól csináltunk, de problémája van a $ t $ -ra vonatkozó várakozási érték kiszámításakor. Számolnia kell a koszinusz függvény várható értékét. Sajnos ez nem egyszerűen” elmúlik “, ahogy írtad.
Nézze meg a Wikipedia oldalt . Itt található egy másik, egyértelműbb képlet a $ f függvény automatikus korrelációs függvényéhez (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ korlátok _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Ne feledje, hogy a Wikipedia oldalhoz képest szabadon vettem, hogy a $ t $ változót használom az integrációban a $ u $ helyett, whi a ch lenne a matematikailag pontosabb verzió.)
Amint ebből az egyenletből látható, “integrálja” a t függőséget, és valóban meg kell hagynia egy függvényt, amely független a $ t-től. $.
Ne feledje, hogy létezik olyan verzió is, amely nem jár a végtelen időkig, de egy $ T $ időszakra van korlátozva. Talán ez a verzió megfelelőbb az Ön esetében.Ugyanez vonatkozik erre a verzióra is: a $ t $ integrálva van, és nem lehet változó a kapott képletben.
Megjegyzések
- Ön két különböző elképzelést kevernek össze, amikor írsz ” Amint ebből az egyenletből kiderül, ” integrálódsz “>
a $ t $ függősége, és valóban meg kell hagynia egy függvényt, amely független a $ t $ “