Az AR (1) modell ábrázolása a következő:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
ahol $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ konstans).
Szeretném megérteni az ottani számításokat az AR (1) autokovarianciájának általános képlete mögött áll, amely $ γ (h) = \ operátornév {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Eddig a következő lépéseket tettem – a $ γ (1) $ szóval kezdtem:
$ \ operátor neve {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operátor neve {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operátor neve {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operátor neve {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operátor neve {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ operátor neve {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Amint láthatja, ettől a ponttól nem tudom folytatni, mert nem tudom, melyek az értékek $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ és $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Minden segítséget nagyra értékelünk. Előre is köszönöm.
Válasz
Írjuk “s” $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
mivel $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (azaz a múltbeli kimenet független a jövőbeli beviteltől).
Hasonlóképpen, $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Ha így folytatjuk, $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , ahol $ h \ geq0 $ . Általánosítás negatív $ h $ esetén $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , ahol $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS mindezen elemzés feltételezi, hogy a $ \ epsilon_t $ WSS, ezért $ y_t $ az LTI szűrő tulajdonságból.
Megjegyzések
- az első sorban elírás van. Az azonosító jel rosszul van elhelyezve.
- Az első sorban cserélje le a 3. ” + ” jelet a ” = ” jel: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Miközben megpróbáltam szerkeszteni a @Jesper címzett elírási hibát, átalakítottam azt a specific = előjelet + aláírni, és még rosszabbá tette :). Úgy látom, hogy ennek oka a renderelés. Bár a tex utasítások sorrendje helyes, más sorrendben jelenítették meg őket. Mindenesetre én ‘ kihangsúlyoztam az állításokat, és sokkal világosabbá tettem. Remélem, ez ‘ s rendben van.
- A feltételes auto-kovariancia kifejezés ugyanaz? Vagyis $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ hold?
Válasz
A megadott adatokból kiindulva:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Hol $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Átírhatjuk $ (1) $ as:
\ begin {tömb} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {tömb}
Ezután
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Ha a $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ értéket hagyjuk, akkor a $ (2) $ így írható:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Variancia
A $ (3) $ a kifejezés négyzetbe szorításával és az elvárások figyelembe vételével kapjuk meg, amelynek vége:
\ begin { tömb} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {tömb}
Most tegye meg a várakozást:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Ő e fogjuk hívni:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ az álló folyamat varianciája.
- Az egyenlet jobb oldalán a második kifejezés nulla, mert $ \ tilde {y} _ {t-1} $ és A $ \ epsilon_ {t} $ függetlenek, és mindkettőjükre várakozás nulla.
- A jobb oldali utolsó kifejezés az innováció varianciája, amelyet $ \ sigma ^ {2} $ jelölnek (vegye figyelembe, hogy nincs előfizető erre).
Végül
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Ha a folyamat varianciájára megoldjuk, mégpedig $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , megvan:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autokovariancia
Ugyanazt a trükköt fogjuk használni, amelyet a $ (3) $ képletnél használunk. A $ h $ periódusokkal elválasztott megfigyelések közötti autokovariancia ekkor:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {tömb}
Az újítások nincsenek korrelálva a sorozat múltbeli értékeivel, majd $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ és maradtunk:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
$ h = 1, 2, \ ldots $ és $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
A $ AR (1) $ span konkrét esetéhez >, $ (5) $ egyenlet lesz:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
És a $ (4) $ egyenlet eredményének felhasználása: $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ végül
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Eredeti forrás: Andrés M. Alonso & Carolina García-Martos diák. Itt érhető el: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf