Itt szeretnénk megmutatni, hogy a Box-Muller módszer pár független standard Gauss-féle véletlen változók . De nem értem, miért használjuk a determinánst? Számomra, amikor két független változója van, az ízületi sűrűség függvény csak a két sűrűség függvény szorzata. Valaki elmagyarázhatja nekem a determináns jelentését? Kérem. >
megjegyzések
- " változók változása " részt vesz az X-ből Y-be történő áttérésben, és ezért Ön hogy megszorozzuk a transzformáció jakobianusával, amely meghatározó tényező, amelyet fent látunk. Lásd például a 8. javaslatot itt: math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok, megértem, köszönöm Alex válaszát.
Válasz
Legyen $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, Megvan
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ bal [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ jobb] = \ mathbb {P} \ bal [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ egységesen van definiálva a $ [0, 1] $ -on, ezért $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ bal (- \ frac {z ^ 2} {2} \ jobb). $$ Valóban $$ f_Z (z) = \ begin {esetben} \ exp \ balra (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {esetben} $$ legyen $ W = 2 \ pi X_2 $. Ezért a $ X_2 $ egyenletesen oszlik el a $ [0,1] $ -on, tehát $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {esetben} $$ Mivel $ X_1 $ és $ X_2 $ függetlenek, $ Z $ és $ W $ függetlennek kell lennie. Van $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ jobbra), \ quad z > 0 \ quad \ text {és} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {esetben} $$ Definiálja a $ q függvényt: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ 2 $ oly módon, hogy $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ tehát $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ más szavakkal: $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $ $ könnyen megmutathatjuk $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$, majd $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ bal (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Válasz
Látható, hogy $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ és az a $ Y_2 \ Y_1 $ felett $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Ezért $ X_1 = {1 \ felett {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ felett Y_1}} $ és $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ több mint 2} $ .
Differenciálértéket kap a $ dX_1 = {1 \ felett {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ felett {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Hasonlóképpen, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ felett 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Ezért Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ felett {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ felett {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ 2 felett } $ .
PDF-fájlok esetén $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ felett {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
ez ad $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ felett {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ több mint 2} $
azt mutatja, hogy a $ Y_1, Y_2 $ független Gauss-féle véletlen változó.
Commen ts
- $ X_1 $ tartománynak (0,1) kell lennie, de $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $