Coulomb ' s törvény: miért $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicate]

A $ k szimbólum meghatározása $ Coulomb törvényében $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $ $ hogy $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, tökéletesen megengedett, ha az ember egyszerűen definíció a $ \ epsilon_0 $ -ra. Ennek a definíciónak az a motivációja, hogy amikor két ellentétesen töltött, $ A $ területű lemez közötti erőket dolgozzon ki, és $ Q $ távolságot $ d $ távolságra töltsön fel, akkor jönnek ki, mint $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, ahol a $ 4 \ pi $ tényező Gauss “s” ésszerű alkalmazásából származik törvény.

Amikor ezt tovább alakítja a kapacitás elméletévé, azt tapasztalja, hogy ez azt jelenti, hogy a lemezek közötti feszültség $ V = Q / C $, ahol $ C = \ epsilon_0 A / d $. Továbbá, ha dielektrikumot akar beilleszteni a lemezek közé (mint gyakran), akkor a kapacitás $$ C = \ epsilon A / d $$ értékre változik, ahol a $ \ epsilon $ a dielektrikum elektromos permittivitása. A $ \ epsilon_0 $ ekkor természetesen “szabad tér permittivitásaként” értendő (ami természetesen egyszerűen meghatározza, hogy mit értünk permittivitás alatt).

Ekkor természetesen az a kérdés, hogy ez miért származik “egység, $ \ epsilon_0 $,” alapvetõbbnek “tekintendõ, mint az eredeti $ k $? A válasz az, hogy nem” t “, mivel ekvivalensek, de a szabad tér permittivitását sokkal könnyebben lehet mérni (és bizonyára így volt) a 19. század végén és a 20. század elején, amikor az elektromos kutatás nagy mértékben az áramköri alapú technológiákra irányult), így a nyertes lett, és miért van két szimbóluma egyenlő mennyiségre?

A másodperc egységét meghatározzuk az alkatrészből kibocsátott bizonyos számú sugárzási idő időtartama a cézium izotípusában az energiaszintek közötti átmenet jégtípusa (lásd itt ).

Feltételezhető, hogy a fény egy állandó sebesség $ c $ független a referenciakerettől, így most, hogy rögzítettünk egy időegységet, meghatározhatunk egységnyi hosszúságot: a méter az a távolság, amelyet a fény megtesz a $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Meghatározzuk az áram SI mértékegységét (Ampere) is, hogy a szabad tér átjárhatósága kívánt értéket kapjon a SI egységek ($ 4 \ pi \ szorzat 10 ^ {- 7} $).

Ezután definiálhatunk $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ értéket is mint $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Most ne feledje, hogy ehhez nem kell javítania az egységek rendszerét (ahogy korábban tettem). Mivel a fentiek definíciók , ezek az egységek bármely rendszerében érvényesek lesznek. Ahhoz azonban, hogy láthassuk, hogy ezek a definíciók nem zárulnak körkörösen, segít látni, hogy a $ \ mu _0 $ és a $ c $ értékeket tisztán fizikai jelenségek alapján definiálhatjuk. Más szavakkal, ahhoz, hogy a fenti definícióknak még értelme legyen, tudnunk kellett, hogy először meghatározhatjuk a $ c $ és a $ \ mu _0 $ elemeket, függetlenül a $ \ varepsilon _0 $ és $ k $ értékektől. A SI-egységek fenti meghatározása segít abban, hogy ezt meg lehessen valósítani.

Megjegyzések

• Mindez megváltozik az SI új rendszerével. Míg a $ c $ fix, a $ \ mu_0 $ és $ \ epsilon_0 $ nem.

Ha kérdéses, miért van a “$ 4 \ pi $” a Coulomb-állandóban (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), akkor ugyanilyen érvényes kérdés lehet, hogy miért a “4 $ \ pi $” a vákuum mágneses permeabilitásában, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Talán a Maxwell-egyenletben találhatunk utalást az elektromágneses hullám (fény) vákuumban történő sebességére, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Természetesen Maxwell sokkal később származtatta ezt a kapcsolatot, mint Coulomb.

Maxwell kapcsolódik a vákuum mágneses permeabilitásának elektromos megengedhetősége, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $, amelynek értéke $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ SI egységekben.

A “$ 4 \ pi $” itt és Coulomb állandójában megjelenő oka (hidd el vagy sem) hogy Maxwell egyenletei írhatók $ 4 \ pi $ “tényezők nélkül!

Ennek megértése érdekében vegye fontolóra, hogyan fejezik ki az elektrosztatikus jelenségeket a Coulombs-törvény” mezőként ” intenzitás négyzet távolságban “, az (ekvivalens) Gauss-törvényhez képest, amely leírja a” töltetet körülvevő zárt felületen átáramló fluxust “.

A teljes fluxus a fluxus sűrűsége szorozva a felülettel , amelyet egy $ r $ sugarú gömbnél $ S = 4 \ pi r ^ {2} $ ad meg, tehát az $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ arány egyszerűen a tér és gömbszimmetria.

Az egységek SI rendszerét (ellentétben a Gauss egységekkel) “racionalizáltnak” mondják, mert lehetővé teszi Maxwell egyenleteinek kifejezését a $ 4 \ pi $ tényezők nélkül. Ehhez a $ 4 \ pi $ tényezőt egyszerűen “beépítették” az univerzális állandó (SI egység) definíciójába a vákuum áteresztőképessége érdekében, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, amelyből Coulomb állandóját k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $ kifejezéssel fejezhetjük ki.