Csökkentett tömeg levezetése [duplikátum]

Két testrendszer egyszerűbben elemezhető a csökkentett tömeg alkalmazásával, mivel a probléma alapvetően egyetlen testre redukálódik. Az első közelítést úgy tehetjük meg, hogy feltételezzük, hogy m1 >> m2, például a csillag körül keringő bolygó, mert a súlypont egybeesik az m1-vel. Így feltételezhető, hogy a nehéz test nyugalomban van és könnyebb mozog körülötte.

Levezetés: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {a tömeges test tömege és helyzete, és} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {a könnyebb test.} $$

$$ \ text {Feltételezzük, hogy} \, m_1 > > m_2 \, \ text {A tömegek közötti erő (gravitáció) a vektor-pozíciók különbségétől függ}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {where}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {erő az 1. testre a 2. test miatt. $$ Közelítésünkben feltételezzük, hogy a nehéz tömeg nyugodjon az eredetnél. Így: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ És a mozgásegyenlet: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ , amely megoldható a pozíció megszerzéséhez.

Az “igaz” mozgás megszerzéséhez kiderül, hogy közelítésünket a tömegközéppont (CM) figyelembevételével lehet pontosá tenni. (ami egy tömeg ebben az esetben két tömeg pozícióinak súlyozott átlaga) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Meg fogjuk hívási mennyiség} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {csökkentett tömeg} $$ $$ \ text {Így}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Könnyen kimutatható, hogy a rendszer nettó külső ereje megegyezik a az össztömeg a tömegközéppont gyorsulásának szorzata. Ha nem vagy meggyőződve, ilyen levezetés előtt írtam a POST

Mivel feltételezzük, hogy nincsenek külső erők (az erő a tömegek közötti gravitáció “belsőnek számít”, a tömegközép állandó sebességgel mozog. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implacute \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Vegyük a CM-t inerciális koordináta-rendszer eredetének. Így a két tömeg helyzetét a következő adja meg: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implacient \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implicit \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Mivel}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {kapunk:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implies \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implicit \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Ezért a mozgásegyenletek}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W hich az az egyenletünk, amelyet korábban csökkentett tömegű közelítésünkben kaptunk. Vegye figyelembe, hogy ha az m1 >> m2 csökkentett tömeg majdnem megegyezik az m2-vel.

Ez a két testrendszer mozgása a CM-jéből és a körülötte lévő mozgásból áll. A körülötte lévő mozgás egyetlen, csökkentett tömeggel írható le, amely a rögzített középpont körül mozog.