Hogyan lehet 64 = 65?

Ez egy híres fizikai rejtvény, amely a fibonacci sorozat .

A feltett kérdés megválaszolásához az a kérdés, hogy a két lejtő különbözik egymástól ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Ne feledje, hogy ezek a számok a fibonacci sorozatban vannak ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Az egymást követő törtek közelebb vannak a $ \ varphi $ értékekhez, felváltva fent és alatta. Az ilyen diagramokat úgy lehet előállítani, hogy a fibonacci-sorozat számával megegyező oldalú négyzetet készítünk (ebben a 8. kérdésben), majd két téglalapra osztjuk, az első választott két fibonacci-szám szélességével (3 és 5).

Vágja le a kisebbet az átlón, a nagyobbat pedig középen egy átlónál, úgy, hogy az átlós vágás szélessége legyen a következő legkisebb szám (ebben az esetben 2). Ne feledje, hogy így egy trapéz marad, amelynek kis párhuzamos mérete megegyezik az eredeti kis téglalap kisebb oldalával (ebben az esetben 3), és nagyobb párhuzamos mérete megegyezik az eredeti nagyobb téglalap kisebb oldalával (ebben az esetben 5). / p>

Mivel $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ , és a fenti konstrukciókból a darabok átrendezhetők egy téglalapra (az ábra szerint), amelynek területe mindig egy távolságra lesz az eredeti négyzettől, de megközelítőleg megfelelő lesz, mivel a lejtők majdnem egyeznek.

Szerkesztés: Mivel ez a válasz annyi fel-szavazatot kapott (köszönöm!) tegyük fel, hogy az embereket nagyon érdekli ez, ezért gondoltam, készítek néhány képet!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (Az OP példája)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

@EricJ megjegyzése . olyan vitát váltott ki, amelyet érdemes lehet itt felvetni:

Nem állítom, hogy az összes ilyen rejtvény a Fibonacci sorozaton alapul. Csak az, hogy az összes Fibonacci szám létrehozhatja ezeket a diagramokat. A Fibonacci számos jellemzővel rendelkezik számok, amelyek ezt a működést eredményezik.

1. Az egyik az, hogy a Fibonacci-szám négyzete felváltva eggyel több és eggyel kevesebb, mint az egyik oldalon lévő számok szorzata.
2. Van egy lejtős dolog, amit már említettem, vagyis hogy a felépítésünk két lejtőt ad, amely megközelítőleg egyenlő.
3. Van egy olyan érv, miszerint a teljes konstrukció elvégezhető úgy, hogy mindegyik szám az előző kettő összege.

Ez utóbbi két pont a legjobban kivitelezhető. az konstrukció részletes tanulmányozásával érthető. Az első pont indukcióval igazolható:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ a $ k \ geq1 $

Indexeljük, hogy $ f_0 = 0 $ és $ f_1 = 1 $ .

1. lépés : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ helyettesítéssel ellenőrizhető.

2. lépés : Tegyük fel, hogy ez igaz a $ k $ értékre. Tehát $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Én” $ \ mp1 $ -ot használok mert váltakozásra számítok, és így a 3. lépésben “bebizonyítom a $ \ pm1 $ )

3. lépés : Meg kell mutatnunk, hogy $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Tehát itt van:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ vége {eqnarray}

Kétszer használtam a Fibonacci sorozat definícióját ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ és $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) és a 2. lépés feltételezése.

Ez azt jelenti, hogy amikor a fenti konstrukciót végezzük, akkor a területek mindig csak 1-rel térnek el (minden alkalommal váltakozva fent és lent).

Megjegyzések

• Kiv ellent válaszolj! ‘ ismerem ezeket a rejtvényeket, de soha nem hallottam a Fibonacci kapcsolatról. Valójában nem is vettem észre, hogy ‘ nem is jöttem rá, hogy létezik algoritmus az ilyen alakzatok létrehozására.
• Ezért nem bízok soha a

A diagram félrevezető , mivel egy rést rejt a második konfiguráció közepén.

Ezt kapjuk meg valójában, ha átrendezzük a kérdéses alakzatokat. Figyelje meg, hogy az átlós kissé meghajlik, némi extra teret hagyva az alakzatok között – ekkor kúszik be a plusz területegység.

De nem szabad jobban bízni bennem, mint abban a személyben, aki az eredeti képet rajzolta!

Amint itt látjuk, a képek félrevezetőek lehetnek – tehát az ábrám nem bizonyítja, hogy a az eredeti ábra hibás volt. Ez csak intuitív módon érzékelteti, honnan jött a plusz tér.

A megfelelő bizonyítás érdekében vegye figyelembe a színátmeneteket:

• A kék trapéz színátmenete $ 5/2 = 2,5 $
• A piros háromszög a $ 8/3 = 2.666 … $

Mivel a színátmenetek nem egyeznek, nem tudjuk ezeket egymás mellé rendezni anélkül, hogy üres hely lenne közöttük . De mivel közel vannak, a szem elhitethető, hogy egyetlen folytonos vonalat képeznek, és nem veszi észre a háromszög lejtését, ami félúton változik.

Megjegyzések

• imádom ezeket a rejtvényeket – ott ‘ jó filozófiai morál, hogy nem fogadja el a dolgokat, amikor ‘ újra bemutatják neked.

A kép a jobb oldalon csal : a darabok valójában nem illenek tökéletesen össze, ott van egy rés. Ennek bizonyításához kiszámíthatjuk a rés méretét egy háromszög méretének kiszámításával, amelyet a következő képez:

• a sárga háromszög leghosszabb oldala: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• a trapéz ferde oldala: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• a téglalap átlója a jobbra: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Ennek a háromszögnek a területe kiszámítható Heron képletével:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

ahol

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Ha az értékeket a képletbe helyettesíti, akkor pontosan $ 0,5 lesz $ A $. Két ilyen háromszög van, így “sa összesen 1 = a várható eltérés.

Ez egy félrevezető ábra. A valóságban a szögek nem egyeznek felfelé – a narancssárga háromszög nagyobb belső szöge körülbelül 69,5 fok, míg ez a szürke négyszög 68,2. (Javíts ki, ha tévedek – itt leporolom a triggert.) A 65-es területtel ábrázolt ábrán a narancssárga területek valójában négyszögek. Ha jól megnézed, láthatod, hogy enyhe inflexióval rendelkeznek, ahol a másik narancssárgával találkoznak szakasz. Tehát ez az extra terület csak kissé kibővítve jön létre.

A háromszögek nem azonos meredekségűek ; láthatja, hogy a “nagyobb” téglalapon átmenő nagy átlós vonal meghajlik. A háromszögek körüli vastag vonalak borítják, de van egy nagyon vékony lyuk, amelynek teljes területe egy négyzet – ugyanaz a négyzet, amely állítólag “a semmiből tűnt fel”.

Csak nagyítsa ki a képet, és “ll megnéz a válasz.

Egyszerű válasz :

A kép jobb oldalán található (narancssárga) alakzatok egyáltalán nem háromszögek! két négyszög. an így a területük nagyobb, mint a vizuálisan elvárt. tehát itt nincs saját tőke. Különbözőek, és így különböző a teljes területük.

Az alsó téglalap képe félrevezető, mert becsapja az embereket tévesen feltételezve, hogy a háromszögek szélessége pontosan 3 egység legyen.

A valódi szélesség könnyen kiszámítható – ez a teljes szélesség töredéke, amelyet az átlós pont magassága határoz meg, vagy pontosan 8/13-án / 5-én, azaz 3.076923077 (és nem 3), qed

Megjegyzések

• A rejtvény állítása szerint a háromszögek mindkét ábra megegyezik, és a háromszögek alakja a 8×8 konfigurációban definiálva pontosan három egység és nyolc egység. A hibát jól szemlélteti alexwlchan ‘ válasz, és matematikailag megmagyarázzák többben: A darabok nem ‘ nem illenek össze az 5×13 konfigurációban. Ott ‘ egy vékony trapéz alakú rés köztük, amelyet az eredeti 5×13-as ábrán húzott vastag, fekete és nem egészen egyenes átlós vonal rejt.