Hogyan lehet a terület vektor?

Ez inkább matematikai kérdés lehet . Ez egy sajátos dolog a háromdimenziós térben. Ne feledje, hogy három dimenzióban egy terület, például egy sík, kétdimenziós altér. Egy papírlapon csak két számra van szükséged ahhoz, hogy egyértelműen jelölj egy pontot.

Most képzelje el, hogy álljon a papírlapon, a feje által mutatott irány mindig megismerheti a sík irányát űrben. Ezt nevezzük ennek a síknak a “normális” vektorának, és a síkhoz merőlegesen áll.

Ha most azt a konvenciót választja, hogy ennek a normál vektornak a hossza megegyezzen a felület területével , teljes leírást kap a kétdimenziós síkról, annak háromdimenziós térben való elhelyezkedéséről (a vektorrészről) és arról, hogy mekkora ez a sík (ennek a vektornak a hossza).

Matematikailag kifejezheti ezt “kereszttermék” által $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$, amelynek nagyságát $ | c | = | a || b | sin \ theta $, amely megegyezik a paralelogramma területével, amely a vektoroké (amelyek valóban meghatároznak egy síkot). Ennek a képnek a ellopása a wikipédia kereszttermékről szóló cikkéből:

Ahogy az elején mondtam ez három dimenzióban nagyon különleges dolog, magasabb dimenziókban, különböző okok miatt nem működik olyan rendesen. Ha többet szeretne megtudni erről a témáról, egy kulcsszó a “külső algebra”

Frissítés:

Ami ennek a fogalomnak a fizikai jelentőségét illeti, kiemelkedő példák a felületeken átfolyó vektormezők. Vegyünk egy kör alakú vezetéket. Ez a kör 3D-ben különböző módon orientálható. Ha van külső mágneses tere, akkor tudhatja, hogy ez elektromos áramot indukálhat, arányos a körön átfolyó mennyiség változásának sebességével (gondoljunk erre arra, hogy a nyilak mennyire perforálják a területet). Ha a mágneses mező vektorok párhuzamosak a körrel (és így merőlegesek a normális vektorához), akkor egyáltalán nem “perforálják” a területet, így az ezen a területen átfolyó áram nulla.Másrészt, ha a mezővektorok merőlegesek a síkra (azaz párhuzamosak a normálissal), akkor maximálisan “perforálja” ezt a területet, és az áramlás maximális.

ha megváltoztatja ezek közötti orientációt két állapotban kaphat elektromos áramot.

Megjegyzések

• +1 a mágneses mezők említéséhez. A fizikában nem minden felületi vektor különbözik egymástól.
• Köszönöm. Csak néhány pontosítás. Azt kérted, képzeljem el, hogy egy személy papíron áll & úgy tekinti a feje irányát, mint a normál vektort. De tegyük fel, hogy ez a személy pontosan az ellenkező arcán állt, majd elnyerte ‘ t, hogy a papír tájolása továbbra is ugyanaz marad? De most a vektor iránya ellentétes. Kérjük, tisztázza.
• Másodszor azt mondta, hogy ez a koncepció nem működik annyira jól magasabb dimenziókban. Tehát ez azt jelenti, hogy a gömb ‘ terület irányával kapcsolatos kérdésem érvénytelen? Ha igen, akkor a terület skalár ebben a konkrét esetben, mivel vektornak tekintve nem tudja meghatározni az irányát az űrben?
• mi ‘ akadályozza meg abban, hogy elégedett legyen ?
• ‘ nem elégít ki, mert bár az axb vektor, a | axb |, vagyis a terület skalár, ezért nem meggyőző, hogy egy vektor.

A fő felhasználási mód az, amikor egy terület végtelenül kicsi, mint az integrálban használni. Ebben az esetben könnyen beláthatjuk, hogy lapos, és az alak nem igazán számít. Ebben az esetben kódolhatjuk az információt vektorként, a nagyságrendileg a (skalár) területet reprezentálva; a választás (ahogy te bármelyik oldalról való kimutatás pontosan az, hogy — választás —, de következetesen meghozható. Ezt kiterjeszthetjük a nem végtelenül kis síkokra is, de az ívelt felületeknél nem működik jól.

Pontosabban, amit igazán szeretne, az egy társvektor . Ez egy absztrakt szerkentyű, amely egy vektort vesz fel és egy skalárt köp ki. Sík esetén azt szeretné, hogy ez képviselje a síkon átmenő vektor “mennyiségét” — tehát lineárisnak kell lennie a vektorban (a vektor megduplázásával megduplázódik a kimenet), és figyelembe kell venni azt a szöget, amelynél a vektor eléri ($ \ cos $ tényezőt ad). Most feltehetjük a kérdést, hogyan lehet ezt az elvont társvektort ábrázolni , és kiderül, hogy a vektor jó ötlet! Pontosabban, a műveletet úgy ábrázolhatjuk, mint a pontterméket, amely természetesen kódolja a linearitást és a koszinust. Általánosságban elmondható, hogy ennek történetesen ugyanannyi dimenziója van, mint egy megfelelő vektornak, de ez csak 3D-ben kódol egy területet (egy 2D-s felületet) – 2D-ben egy vonalat kapna, 4D-ben pedig egy kötetet (igen! Egy 4-vektor egy pontban metszik a térfogatot!).

Ha többet szeretne megtudni az ilyesmiről, akkor meg kell vizsgálnia a differenciálgeometriát, ahol minden szükséges, hogy tisztázzuk az ilyesmit, és ne keverjük össze a vektorokat és a társvektorokat (ún. űrlapok azon a területen). Jó olvasható referencia a Mezők, csomók és gravitáció mérése , amely a matematika alapvető áttekintéséből indul ki, és fizikai használatra fejleszti azt.

Megjegyzések

• A mezőelméletek összefüggésében, például az elektromágnesességnél a ” vektor (mező) fogalma ), amely egy ” síkszakaszon megy keresztül, a fluxus nevet kapja. Tehát úgy gondolhatja, hogy a területet olyan funkció jellemzi, amely vektorokat (vagy vektormezőt) leképez az adott vektor (mező) fluxusára a területen keresztül.
• @luksen az általa említett könyv jó milyen szintű matematikai és fizikai ismeretekhez? Átfogalmazva, melyek az előfeltételek ahhoz, hogy hatékonyan elkezdhessük követni a könyvet? És ez diplomás vagy egyetemi könyv?

Gondoljunk az erőre a nyomásidők területére ($ F = P \ cdot A $). Tudja, hogy a nyomás skalár (nincs hozzá társítva irány), és az erő vektor (tengely mentén hat). Tehát mit jelent ez a nyomásnál.

Vegyünk egy kis területet, és nézzük meg, hogy ez hozzájárul-e a nyomás miatti teljes erőhöz

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

Az erő iránya normális a területtel szemben, és nagysága arányos a terület nagyságával. Ezért egy végtelen kis terület $ {\ rm d} A $ lehet vektor. Kényelmes a következőre gondolni: (vektor) = (skalár) * (vektor).

Különösen festői példa van a Pitagorok Törvényére három dimenzióban, amelyet a szimplex területeire alkalmaznak. (Ahol “szimplex” alatt azt hiszem, hogy a tér egy szakaszát három ortogonális határolja repülőgépek és egy tetszőleges sík.) A három kis arc négyzeteinek összege (a területek) megegyezik a ferde arc területének négyzetével. Könnyen megmagyarázható az itt közzétett többi válaszban felhozott nyomás / áramlás típusú érvekkel, valamint annak a nyilvánvaló fizikai állapotnak, hogy a zavartalan folyadék egyensúlyban van önmagával.