Adott műholdat egy egyenlítői pályán egy adott progresszív vagy retrográd égést hajtanak végre a pálya tetszőleges pontján, és számolnom kell a kapott pályát ellipszis.
Az általam használt technika az, hogy először a műhold helyzet- és sebességvektorait használva keressem meg a repülési pálya szögét, az alábbiak szerint:
$ \ varphi = cos ^ {- 1} (\ frac {r_pv_p} {r_bv_b}) $
Hol $ r_p $ és a $ v_p $ az eredeti pálya periapsisánál elhelyezkedő helyzet- és sebességvektorok, és a $ r_b $ és a $ v_b $ a helyzet és a sebesség vektorai az égés helyén, és $ v_b = v_ {orig } + \ Delta v $ .
Ezután a következőképpen számolom a kapott ellipszis excentricitását:
$ e = \ sqrt {(\ frac {r_bv ^ 2 _b} {GM} -1) ^ 2 \ cos ^ 2 (\ varphi) + sin ^ 2 (\ varphi)} $
Feladó az excentricitás, triviálisan kiszámolhatom a fél-fő tengelyt.
Amit nem tudok kiszámítani, az a periapszis argumentuma, $ \ omega $ , a kapott elliptikus pályára. Tudomásul veszem, hogy az eredeti “s $ \ omega $ pálya és az égés szögpozíciójának függvénye, de elakadok a jobb oldali felajánlással számítás. Tud valaki egy képletet a megtalálásához?
Megjegyzések
- Egy lehetőség, aminek működnie kellene, de nincs ' nem próbálta meg, az az átalakítás derékszögű koordinátákká és vissza.
Válasz
Üdvözöljük SE!
A periapszis argumentuma az excentricitás vektor és a pálya átlagos mozgásvektorának függvénye, és a következő képlet alapján kerül kiszámításra:
$$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {e}} {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {e} |} $$ tárgy ha $$ e_ {Z} < 1, \ implicit \ omega = 360 ^ {o} – \ omega $$
ahol az átlagos mozgás és excentricitás vektorok a következők: $$ n = \ sqrt \ frac {\ mu} {a ^ 3}, \ boldsymbol { e} = \ frac {(v ^ 2- \ frac {\ mu} {r}) \ boldsymbol {r} – (\ boldsymbol {r} \ cdot \ boldsymbol {v}) \ boldsymbol {v}} {\ mu } $$
Mivel meghatározónk a periapszis argumentumának koszinusa, az ECI keret Z-vektorának vagy harmadik vektorának a jele határozza meg, hogy hol fekszik.
Tehát, ezeket a vektorokat a központi test inerciális keretébe veszi, a pontterméküket használja, majd normalizálja őket nagyságuk szorzatával.
Három spe van esetek, a pálya dőlésétől és excentricitásától függően. Ha a pálya egyenlítő, de ellipszis alakú, akkor $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {e_X} {| \ boldsymbol {e} |} $$
Ha kör alakú, de ferde, akkor $$ \ cos (\ omega) = \ frac {\ boldsymbol {n} \ cdot \ boldsymbol {r} } {| \ boldsymbol {n} || \ boldsymbol {r} |} $$
És ha kör alakú és egyenlítői, akkor $$ \ cos (\ omega_ {true}) = \ frac {r_X} {| \ boldsymbol {r} |} $$
Ezek a szokásos konverziók, amikor a sugár és a sebesség állapotát átalakítja a klasszikus orbitális elemekre, és megtalálható a legtöbb asztrodinamikai könyvben / hivatkozásban.