Ismert, hogy a szokásos többváltozós Brown-híd $ y (\ mathbf u) $ egy központosított Gauss-folyamat, amelynek kovarianciafüggvénye $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ ék v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Nem vagyok biztos abban, hogyan lehet egy ilyen többváltozós Brown-hidat felépíteni.
Az első gondolatom az volt, hogy valahogy egyváltozós Brown-híddal kezdjem. Találtam erről információkat, és még egy csomagot is R-ben, amely képes erre, de csak az egyváltozós Brown-hídra.
Ezt találtam ezt , de amint megértem, az, hogy mit tettek, nem egy szokásos többváltozós Brown-híd a fentiek szerint vagy pl ebben a cikkben .
Nagyra értékelném a tippeket és támogatást.
Megjegyzések
- Amint a Deheuvels linkben megtudtam, ott van a a következő kapcsolat egy Brownian Bridge $ B_t $ és egy Brownian Sheet (vagy Wiener Sheet) között $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Tehát azt gondolom, hogy a probléma egy Brownian-lap szimulációjává válik. Ezzel kapcsolatos kérdéseimet külön kérdésben teszem fel.
- javítás, a további dimenziók kapcsolata $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Kapcsolódó: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Válasz
Mint már utaltál rá a megjegyzésekben a kérdés egy Brownian-lap szimulálására szorítkozik. Ez a Brown-mozgás szimulációjának egyszerű módon történő általánosításával valósítható meg.
A Brown-mozgás szimulációjához i.i.d. mean-0 variancia-1 idősor $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ , és szerkessze meg a normalizált részösszeg-folyamatot $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ konvergencia gyengén (in a Borel-valószínűség mértéke metrikus téren) a standard Brownian $ B $ -ra a Skorohod téren $ D [0 , 1] $ .
Az iid véges második pillanatban a szimuláció legegyszerűbb módja. A matematikai eredmény (Funkcionális Központi Határ Tétel / Donsker Tétele / Invariancia Elve) sokkal nagyobb általánosságot mutat.
Most (mondjuk kétdimenziós) Brown-lap szimulálásához az iid átlag-0 variancia szükséges. -1 tömb $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ , és szerkessze a normalizált részösszeg-folyamatot $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ Mint $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ konvergencia gyengén a standard Brownian-laphoz az Skorohod space $ D ([0,1] ^ 2) $ az egység négyzetén .
(A bizonyíték egy standard gyenge konvergencia-érv:
-
A véges dimenziós eloszlás konvergenciája a Levy-Lindeberg CLT-ből következik.
-
Feszültség a $ D ([0,1] ^ 2) $ elegendő pillanatnyi állapotból következik, amely triviálisan fennáll az i.i.d. véges második pillanat eset — lásd pl. Bickel és Wichura (1971). )
Ezután a $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ folyamatos feltérképezési tétel segítségével 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ gyengén konvergál a kétdimenziós Brown-hídhoz.