Kérdést kaptam az 1976-os fekete modellről és a Bachelier modellről.
Tudom, hogy a P mértékben egy geometriai barnás mozgás $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ részvényárfolyamért $ S_ {t} $ vezet (mértékváltás után) a Fekete- Scholes képlete egy híváshoz:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Hol $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ és $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Valójában nem tudom, hogyan lehet a híres fekete képletet bekapcsolni határidős szerződés:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
ahol most $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ és $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Csak be kell illesztenem a $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ értéket az első BS-be képlet a második megszerzéséhez?
Ezt azért kérdezem, mert megpróbáltam levezetni a BS-képletet egy aritmetikai Brown-mozgással, például $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a és megkapom:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
ahol $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ és $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ és ne feledje, hogy $ N (d) $ és $ n (d) $ a CDF és a PDF.
de az előző helyettesítés $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ úgy tűnik, nem vezet az ismert eredményhez $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
ahol most $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Azt hiszem, geometriai szempontból is elérhetném az egyenleteket előre barnás mozgás és számtani barnás mozgás az egyenletek felhasználásával
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ és $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $, de nem teszem ” Nem tudom, hogyan indokolja használatukat.
Megjegyzések
- @Macro Welcome to Quant. S.E.! Csak forward ügyletet vagy határidős opciót szeretne árajánlani?
- Szia Neeraj, köszönöm a válaszát. ' szeretnék árfolyamot adni egy határidős ügyletre!
- Csak cserélje le a $ S_0 $ -ot $ F e ^ {- rT} $ -ra az eredeti BS-képletben vagy használhat kockázatsemleges megközelítést. Mindkettő ugyanazon értékelési képlethez vezet.
- Ok, köszönöm. De tehetek ugyanezt az ABM-ért? Mivel ' nem tudom elérni az eredményt, amikor ezt a helyettesítést végrehajtom.
Válasz
Európai opció a jövőben
Az európai opció ára a jövőre vonatkozóan csak a $ S_0 $ értéket kell cserélnie a $ Fe ^ {- rT} $ az eredeti BS-képletben, vagy használhat kockázat-semleges megközelítést. Mindkettő ugyanazon Értékelési képlethez fog vezetni.
Amerikai opció a jövőben
A fenti eljárás nem használható az amerikai opció árazására a jövőben. Egy cikkben A jövőbeli szerződésekre vonatkozó opciók Ramaswamy általi értékelése kijelentette, hogy
Nincs ismert analitikai megoldás az amerikai opció értékelésére a jövőbeli szerződéseknél.
A szerzők implicit véges különbség-módszert alkalmaztak az amerikai opció árazásához a jövőbeli szerződésben.
Szerkesztés: Az európai opció árának levezetése a jövőbeni szerződésnél
Kockázat-semleges intézkedés szerint jövőbeli ár, $ F_t $ megfelel a következő SDE-nek: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ ahol, $ W_t $ egy bécsi folyamat. Könnyen kimutatható, hogy: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
A jövőbeli szerződés opciójának ára $ (C_t) $ kockázatsemleges mérték: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Könnyedén megoldhatja a fenti kifejezést, hogy megkapja az opció árát a jövőben. A $ F_T $ eloszlása nagyon hasonlít a $ S_T $ (lásd ezt a választ) . Ha lecseréli a $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ értéket, akkor a $ S_T $ , mint a kockázat szempontjából semleges intézkedés. Ez az oka annak, hogy az opció árának jövőbeni megszerzéséhez a $ S_t $ helyett $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ az európai vételi opció árának BS modelljében.
Megjegyzések
- Szia Neeraj, valójában I ' szeretnék árat adni egy európai opciónak az ABM-től kezdve.
- @Marco kérjük, ellenőrizze a szerkesztési választ.
Válasz
Itt egyszerű módja annak, hogy a hívás árát a határidős áron kapja meg, kockázat-semleges árképzéssel.
Tegyük fel, hogy van egy európai hívásunk, amely $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , ahol $ T ^ * \ geq T $ . Feltételezzük továbbá, hogy a kamatlábak állandóak, és “ $ r $ ” jelölik őket. Legyen $ c ^ {For} (t, s) $ a hívás ára, ahol $ S (t) = s $ .
Akkor, ha a részvény nem fizet osztalékot:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (((T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ számára, replikációval megmutatható, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ és
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Azonnal észre kell vennie, mivel a kamatlábak állandóak, és így determinisztikusak, meg tudjuk húzni a “ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” kifejezés a várakozáson kívül:
$ c ^ { For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Így ez most arányos a Black Scholes hívás árával a strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ { } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , ahol $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
még:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Ez a “híres fekete formula egy határidős szerződésnél”. Remélem, ez segít!
Felhívjuk figyelmét, hogy a határidős ár és a határidős szerződés ára nem ugyanaz. A határidős szerződés ára 0 időpontban 0, de változhat, a határidős ár az az ár, amelyet vállalni kell a szállításkor.
Ha kíváncsi vagy, mi lenne, ha hívás lenne a határidős ár a határidős ár lehívása helyett, azt állítom, hogy ha az eszköz ára nincs korrelálva a kamatlábbal, akkor azok megegyeznek, különben arbitrázs állna fenn (partneri kockázat nélküli feltételezések mellett stb.). Javaslom, próbálja ki és mutassa meg ezt.
(PS Az előző hozzászólók válaszára, miszerint nincs amerikai képlet a határidős áron, ez nem akadályozza meg a monte carlo használatát!)