Hol használják az Atiyah-Singer index-tételt a fizikában?

A mozgásegyenletek, vagy az instantonok, vagy a solitonok, vagy az Einstein-egyenletek, vagy csaknem a fizika bármely egyenlete differenciálegyenlet. Sok esetben a differenciálegyenlet megoldások tere je érdekel minket. Ha a teljes (esetleg nemlineáris) kamatdifferenciálegyenletet $ L (u) = 0, $ értékként írjuk, akkor a $ u_0, $ megoldás közelében linearizálhatunk azaz $ u = u_0 + v $ és bontsa ki $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ a $ D lineáris egyenlet felépítéséhez (v) = 0 $ a $ v elmozdulásban. $

A lineáris differenciálegyenlet olyan, mint egy mátrixegyenlet. Emlékezzünk arra, hogy egy $ n \ szoros m $ mátrix $ M $ egy térkép $ R ^ n $ és $ R ^ m $ között, és $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ független az adott mátrixtól (vagy lineáris transzformációtól, általánosabban). Ezt a számot “indexnek” hívják. Végtelen dimenziókban ezek a számok általában nem végesek, de gyakran (különösen az elliptikus differenciálegyenletek esetében) igen, és csak bizonyos “globális” információktól függenek azokról a terekről, amelyeken hatnak.

Az index tétel megmondja, mi az a lineáris differenciáloperátor indexe ($ D, $ fent). Használhatja a $ L (u) = 0. egyenlet megoldási terének dimenziójának kiszámítására (Ha a megoldás tér sokrétű [egy másik történet], akkor a dimenzió a dimenzió az érintőtérnek, amelyet a $ D (v) = 0 $ egyenlet leír.) nem megmondja, hogy mi a megoldások tényleges tere. Ez “nehéz, nemlineáris kérdés.

Kommentárok

• Azt hiszem, ‘ szép matematikai válasz azoknak a fizikusoknak, akik nem ‘ nem ismerik már az index tételét. De nem látok semmilyen tényleges fizikai példát. Kár, biztos vagyok benne, hogy Ericnek sokat kell ismernie . Tudom, hogy az emberek folyamatosan használják a húrelméletben. De nem ‘ nem tudok annyit, hogy saját választ adhassak.
• Az index-tétel: nagyon általános, és az általam idézett összes példára vonatkozik (instantonok, solitonok, Einstein ‘ egyenletek). Például a $ SU (2) -sphere $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ állandó viselkedéssel a végtelenben) a $ k $ pillanatszámmal megegyezik az $ 8k – 3 $ értékkel az index-tétel szerint.
• Nos, te mondtad ” a fizika bármely egyenletéről “, amely közvetlenül ellentmond a mindennapjaimnak megfigyelés 🙂 Amit reméltem, azok voltak a konkrét példák, mint amilyeneket Steve mondott. Vagy valami hasonló azonnali példájához (szerintem mégis $ S ^ 3 $ -ra gondolt?). Szeretnék többet látni ezekből, különösen valamilyen fizikai értelmezéshez kapcsolódva. Előre is köszönöm 🙂
• igaz igaz, hogy a fizikában szinte minden egyenlet differenciálegyenlet! Pedig nem mind vezet index problémához. (Az S ^ 4-re gondoltam. Az Instantonok időfüggő mezőkonfigurációk.) Példa a húrelméletből, amelynek Feynman-diagramjai kétdimenziós QFT-amplitúdók. Ez a 2d mezőelmélet leírja a felszíntől a téridőig terjedő térképeket, és ennek az elméletnek a pillanatai holomorf térképek. Az ilyen térképek terének dimenzióját egy indexképlet találja meg. CY esetében ez a dimenzió nulla, ami azt jelenti, hogy számolhat megoldásokat (ez összefügg a topológiai húrelmélettel).
• +1 a kedves válaszra és az instantonok megemlítésére. De valóban van-e alkalmazás Einstein ‘ egyenletére? Az AFAIK indextétel lineáris elliptikus operátorokra alkalmazható.

Eric és mások jó eredményeket adtak megválaszolja, miért számít az index tételének felmerülése a különféle fizikai rendszerekben. Az egyik legkorábbi és legfontosabb alkalmazás a $ U (1) $ probléma “t Hooft” megoldása. Ez arra utal, hogy a QCD-ben nincs egy kilencedik pszeudo-Goldstone bozon (mint a pionok és a Kaons), amelyet naívan elvárhatna a királis szimmetria megtörésétől. A határozatnak két része van. Az első az a tény, hogy a királis $ U (1) $ rendellenes. A második az a felismerés, hogy vannak olyan véges műveletek (instantonok) konfigurációi, amelyek hozzájárulnak a korrelációs függvényekhez, amelyek magukban foglalják az $ U (1) $ axiális áram divergenciáját. Az elemzés nagyban támaszkodik a Dirac operátor index tételére, amely a QCD $ SU (3) $ nyomtáv mezőjéhez kapcsolódik. A teljesebb magyarázatért lásd S. Coleman Erice előadásai című cikkét.”Fontos alkalmazások vannak az $ N = 4 $ SYM S-kettősségére is, amelyek magukban foglalják a Dirac operátor index tételét a monopólusú moduláris terekben.

Megjegyzések

• Jeff, maradj a vonalon! Úgy gondolom, hogy a Physics Stack Exchange hasznos lehet a fizikai közösség számára, ha ugyanolyan széles körűen és okosan használják, mint a Math Overflow-t – pl. olyan emberekből, mint te!
• Köszönöm Eric. Összeszedtem, hogy ezt most újraindítottuk. Remélem, hogy működik. Van néhány módja, mielőtt MO minőséget nyújtana.
• Valóban. Azt hiszem, ott ‘ s most egy fejlesztés alatt álló webhely (Theoretical Physics Stack Exchange), amelynek célja, hogy jobban hasonlítson a Math Overflow-ra, de ennek az az előnye, hogy fennmaradt.

Először hadd magyarázzam el, hogy mire utal a kérdéses index . Ha a matematika túlságosan tele van zsargonnal, tudassa velem a megjegyzésekben.

A fizikában gyakran érdekelnek a a különböző operátorok spektruma néhány fontos csoporton. Pl .: a Dirac operátor 3 + 1 téridőben. Különösen az alacsony energiájú távolsági fizika szerepel a nulla üzemmódokban (alapállapotokban).

Most mit mér az “index” a Dirac operátorra $ D $ és egy adott sokaságra $ M $, a balkezes nulla üzemmódok és a jobbkezes nulla üzemmódok száma közötti különbség. Technikailag:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

ahol $ D $ van a szóban forgó üzemeltető; $ ker \, D $ a $ D $ kernelje – a $ D $ által megsemmisített állapotok halmaza; és $ ker \, D ^ {+} $ a mellékmagja. Ezután, amint láthatja, a $ ind \, D $ megszámolja a két szóköz méretének különbségét. Ez a szám csak a $ M $ topológiájától függ.

Röviden, az ASI-tétel egy $ M $ sokaság topológiáját kapcsolja a $ D $ differenciál operátor nulla módjaihoz vagy alapállapotához. $ M $. Ez nyilvánvalóan releváns információ a fizikusok számára.

Talán valaki többet tud részletezni a fizikai szempontokról.

A legjobb hivatkozás erre és más matematikai fizika témákra véleményem szerint az, hogy Nakahara .

Dirac operátor, az index az egyik kiralitás w / r / t a másik vákuum üzemmódjainak (aláírt) felesleges dimenziója: azaz a királis térelméletben az anomális „szellem” állapotok száma.

Anomáliák akkor merülnek fel, amikor a klasszikus / kvantumszimmetria-megfelelés megszakad a renormalizáció során (globális anomália lehet felelős a kvark tömegért QCD-ben; a kvarkok és leptonok SM-számláinak helyi királis anomáliájának feloldása; szuperhúr-elméletben történő feloldása rögzíti a nyomtávot csoport [akár SO (32), akár E8 x E8], és egy konformális anomália felbontása rögzíti a téridő és a fermiontartalom dimenzióját). Amikor megpróbálja a húrelméletet tényleges fizikává alakítani, megkérdezi

• Meg tudja magyarázni a királis fermionok három generációját?
• Meg tudja magyarázni a protonbomlás kísérleti eredményeit?
• Meg tudja magyarázni az elektrontömeg kicsiségét?
• Meg tudja magyarázni [a kozmológiai állandóval kapcsolatos dolgokat]?

és az AST segít megválaszolni ezeket a kérdéseket.