Mi a partíciós függvény fizikai jelentése a statisztikai fizikában?

A partíciófüggvény a rendszer által a fázistérben elfoglalt térfogat mértéke. Alapvetően megmondja, hogy egy adott együttesben hány mikrostátum érhető el a rendszere számára. Ez a mikrokanonikus együttesből kiindulva könnyen észrevehető.

A mikrokanonikus együttesben, ahol minden $ E $ és $ közötti energiájú mikropozíció E + \ Delta E $ ugyanolyan valószínű, a partíciófüggvény

$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$

ahol az integrál csak annak a fázistérnek a hipertérfogata, ahol az energia (hamiltoni) $ \ mathcal A rendszer H $ $ E $ és $ E + \ Delta E $ között van, normalizálva $ h ^ {3N} $ -val, hogy dimenziómentessé váljon. A $ N! ^ {- 1} $ tényező figyelembe veszi azt a tényt, hogy a “rész címke” cseréjével két részecskén a mikrotest nem változik.

A Boltzmann-egyenlet

$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$

azt mondja, hogy az entrópia arányos a rendszer makrostátumának megfelelő mikrostátumok teljes számának logaritmusa, és ez a szám csak $ Z_ {mc} $.

A kanonikus és nagykanonikus együttesekben a partíciófüggvény jelentése továbbra is megmarad ugyanez, de mivel az energia már nincs rögzítve, a kifejezés megváltozik.

A kanonikus partíció függvény

$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$

Ebben az esetben integrálódunk az összes fázistérbe, de minden ponthoz hozzárendelünk $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a weight $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, ahol $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, így azok az állapotok, amelyek energiája sokkal nagyobb, mint A $ k_B T $ kevésbé valószínű. Ebben az esetben a kapcsolatot a termodinamikával a

$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$

ahol $ F $ a Helmholtz szabad energia .

A nagy kanonikus partíció függvény a következő:

$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$

ahol ezúttal a $ N $ részecskék számának összes lehetséges értékét is összegezzük, az egyes kifejezéseket $ \ exp (\ beta \ mu N) $ -val súlyozva, ahol $ \ mu $ a kémiai potenciál .

A kapcsolatot a termodinamikával a

$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$

Ez “s $ e ^ {- F / T} $, ahol $ F / T $ az adott termodinamikai energiaskála, a hőmérséklet által normalizált szabad energia. Az exponenciális csak egy monoton reparameterizáció, tehát erkölcsileg a partíciós függvény csak az a szabad energia, amely elérhető hasznos munkát végez.

Másik értelmezés: ha úgy normalizálod, hogy $ E = 0 $ az alapállapot, majd durván véve ez a rendszer “töredékének a reciproka”, amely az alapállapotban van. Rendkívül heurisztikailag legyen a $ g $ az alapállapotban lévő rendszer teljes összege, $ e $ legyen a kilépett állapotban lévő rendszer teljes összege, és $ s = g + e $ legyen a a rendszer teljes összege. Ekkor a $ g / s $ a rendszer töredéke, amely alapállapotban van, és reciproka $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. A Boltzmann-súly megadja, hogy az egyes gerjesztett állapotok $ i $ energiával $ E_i $ relatív súlya (vagy “mennyisége”) az alapállapot súlyához viszonyítva $ e ^ {- \ beta E_i} $.Összegezve az összes $ i $ gerjesztett állapotot, megkapjuk a $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $ partíciófüggvényt.

A partíciófüggvény fizikai jelentése a következő: Kifejezi azoknak a termikusan hozzáférhető állapotoknak a számát, amelyeket egy rendszer a hordozók (pl. elektronok) számára biztosít. p>