Mi a potenciál?

Az elektromos potenciál és az elektromos potenciál két különböző fogalom, de szorosan kapcsolódnak egymáshoz. Vegyünk egy $ q_1 $ elektromos töltést egy bizonyos ponton $ P $ közel a $ q_2 $ töltéshez (tegyük fel, hogy a töltéseknek ellentétes előjelei vannak).
Most, ha $ q_1 $ töltetet engedünk fel $ P $ -nál, az elindul tölteni $ q_2 $ és így kinetikus energiája van. Az energia nem jelenhet meg varázslattal (nincs ingyenes ebéd), tehát honnan származik? Ez a két ketrec közötti vonzó “konzervatív” elektromos erőhöz társított $ U $ elektromos potenciálból származik. A $ U $ potenciális energia elszámolásához meghatározunk egy $ V_2 $ elektromos potenciált, amelyet a $ P $ pontban állítunk fel $ q_2 $ töltéssel.

Az elektromos potenciál létezik, függetlenül attól, hogy $ q_1 $ a $ P $ ponton van-e. Ha úgy döntünk, hogy $ q_1 $ díjat helyezünk el ott, akkor a két töltés potenciális energiája a $ q_1 $ töltésének és a már meglévő $ V_2 $ elektromos potenciálnak köszönhető, hogy:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Ugyanazt az argumentumot használhatja, ha a $ q_2 $ értéket veszi figyelembe, abban az esetben a potenciális energia megegyezik és ezt adja: $$ U = q_2V_1 $$

A vektorszámítás nyelvén:

A potenciál szót általában egy olyan funkció jelölésére használják, amely speciális módon megkülönböztetve vektormezőt ad. Ezeket a potenciálokból eredő vektor mezőket konzervatív nak nevezzük. Adott vektormező $ \ vec F $ esetén a következő feltételek egyenértékűek:

1. $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
2. $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
3. $ \ ken_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ minden zárt huroknál $ C $ (innen a “konzervatív” név)

A $ (ph) $ függvényt, amely megjelenik a $ (2) $ -ban, $ \ vec F. potenciáljának nevezzük. $ Tehát bármely irrotációs vektor mező írható gradiensnek egy potenciális függvény.

Konkrétan az elektromágnesességben Faraday törvényei azt mondják, hogy $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ részleges \ vec B} {\ részleges t} $. Mágneses mezők esetén, amelyek nem változik az idő függvényében (elektrosztatika) azt kapjuk, hogy $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $, és így $ \ vec E = – \ nabla V $, ahol $ V $ a $ \ vec E $ lehetősége. hívjuk az elektromos potenciált vagy a “feszültséget”, ha Ön nem fizikus. Az elektrodinamikai esetekben, ahol $ \ frac {\ részleges \ vec B} {\ részleges t} \ neq 0 $ még mindig létezik az elektromos potenciál fogalma, mivel fel tudjuk bontani az elektromos teret egy irrotációs tér és egy mágnesszelep mezővé. (ezt Helmholtz-tételnek hívják). Ezután felhasználhatjuk Maxwell egyenleteit arra, hogy $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ részleges \ vec A} {\ részleges t} $ ahol $ V $ azonos elektromos potenciál és $ \ vec A $ egy vektormező, amelyet vektorpotenciálnak hívunk.

A gravitáció esete analóg. Ha $ \ vec g $ irrotációs gravitációs mező (ez mindig így van) newtoni gravitációban), akkor $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ ahol $ \ phi $ a gravitációs potenciál. Ez szorosan összefügg a gravitációs potenciális energiával abban az értelemben, hogy a $ \ vec g gravitációs mezőbe helyezett $ m $ tömeg A $ potenciális energiája $ U = m \ phi $ lesz.

Megjegyzések

• +1 a részletes válaszért. Az 1. és 3. feltétel azonban . általában nem egyenértékűek. Lehetséges olyan vektormező, amelynek $ $ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ és $ \ lub \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Lásd: példány Miért göndörödik ez a vektormező? .
• @Diracology jó pont. Meg kell követelnünk, hogy $ \ vec F $ ne n eltérnek a $ C $ által határolt területen. Általánosságban azt feltételezve, hogy az 1. igaz, megvan, hogy $ \ ken_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ ahol $ S $ valamilyen felület, amelynek $ C $ határa van, és az első egyenlőség Stoke ' s tétel. Nyilvánvaló, hogy ha a $ \ vec F $ eltér egymástól a $ S $ értékben, problémákat fogunk tapasztalni ezekkel az egyenlőségekkel.