Mi a szimmetrikus eloszlás meghatározása? Valaki azt mondta nekem, hogy egy $ X $ véletlen változó csak akkor származik szimmetrikus eloszlásból, ha $ X $ és a $ -X $ eloszlása azonos. De szerintem ez a meghatározás részben igaz. Mivel bemutathatok egy ellenpéldát: $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ és $ \ mu \ neq0 $. Nyilvánvalóan szimmetrikus eloszlású, de a $ X $ és a $ -X $ eloszlása eltérő! Jól mondom? Gondolkodtál már valaha ezen a kérdésen? Mi a szimmetrikus eloszlás pontos meghatározása?
Megjegyzések
- Amikor azt mondja, egy " eloszlás szimmetrikus ", meg kell adnia, hogy melyik pont szimmetrikus. Az Ön által bemutatott normál eloszlás esetén a szimmetria $ \ mu $ körül van megadva. Ebben az esetben $ X- \ mu $ és $ – (X- \ mu) $ eloszlása azonos. A sűrűség szempontjából ezt a következőképpen fejezhetjük ki: $ f $ szimmetrikus a $ \ mu $ körül, ha $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. BTW, jó modor elfogadni a válaszokat, ha elégedett vagy egyikükkel.
- Igen, mi srácok elgondolkodtunk ezen a kérdésen. A szimmetrikus általában körülbelül $ 0 $ szimmetrikus, és a további ellenpéldák elkerülése érdekében az eloszlások szimmetrikus re vonatkozó állítás nem igaz a kumulatív valószínűségi eloszlásfüggvény re. " ellenpéldád " szimmetriája van a $ \ mu \ neq 0 $ ponttal, nem pedig a $ 0 $ ponttal.
- @Dilip Ha egy meghatározás valaminek a leírásának egyik módjától függ, de ez a definíció bizonyíthatóan valaminek a belső tulajdonsága, akkor nincs értelme a definíciót más ra alkalmazni. leírás formája. Ebben az esetben a szimmetria egy terjesztés tulajdonsága, de ez nem jelenti azt, hogy az eloszlás összes leírásának (beleértve a PDF-et és a CDF-et is) " szimmetrikus " azonos módon. A PDF szimmetriájának a CDF-re történő alkalmazásával megjegyzésed inkább összekeveri a kérdést, nem pedig tisztázza azt.
- shijing, @Procrastinator észrevette, hogy sok kérdést tett fel anélkül, hogy válaszokat fogadott volna el. Ez arra utal, hogy nem ismeri a webhely működését. A félreértések kiküszöbölése érdekében kérjük, olvassa el a GYIK releváns részét végig ? Csak néhány percet vesz igénybe, és az útmutatás követése növeli webhelyünk értékét az Ön számára.
- @whuber A CDF egyike azon kevés leírásoknak, amelyekben az terjesztés valójában a névben fordul elő, és megpróbáltam tisztázni, hogy a szimmetria tulajdonság nem állt fenn a CDF esetében.
Válasz
Röviden: $ X $ szimmetrikus, ha $ X $ és $ 2aX $ eloszlása megegyezik valamilyen valós a $ a $ számmal. De ehhez teljesen indokolt módon való elérés némi eltérést és általánosítást igényel, mert sok implicit kérdést vet fel: miért ez a” szimmetrikus “definíció? Létezhetnek másfajta szimmetriák? Mi a kapcsolat az eloszlás és a szimmetriái között, és fordítva, mi a kapcsolat a “szimmetria” és azok között az eloszlások között, amelyeknek ez a szimmetriája lehet?
A szóban forgó szimmetriák a valódi vonal. Mindegyik formájú
$$ x \ – 2a-x $$
valamilyen állandó $ a $ -ra.
Tehát tegyük fel, hogy $ X $ rendelkezik ez a szimmetria legalább egy $ a $ -ra. Ekkor a szimmetria
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
megmutatja, hogy a $ a $ a $ X $ mediánja . Hasonlóképpen, ha $ X $ -nak van elvárása, akkor azonnal következik, hogy $ a = E [X] $. Így általában könnyen le tudjuk kötni a $ a $ -t. Még ha nem is, a $ a $ (és ezért maga a szimmetria) még mindig egyedileg meghatározott (ha egyáltalán létezik).
Ennek megtekintéséhez legyen a $ b $ bármely szimmetriaközpont. Ezután mindkét szimmetriát alkalmazva azt látjuk, hogy $ X $ invariáns a fordítás $ x \ alatt x + 2 (b-a) $ értékre. Ha $ b-a \ ne 0 $, akkor a $ X $ eloszlásának $ b-a $ periódusúnak kell lennie, ami lehetetlen, mert egy periodikus eloszlás teljes valószínűsége vagy $ 0 $, vagy végtelen. Így $ ba = 0 $, ami azt mutatja, hogy a $ a $ egyedi.
Általánosabban: amikor A $ G $ egy olyan csoport, amely hűen cselekszik a valós vonalon (és kiterjesztve az összes Borel-részhalmazra), azt mondhatnánk, hogy a $ X $ eloszlás “szimmetrikus” (a $ G $ tekintetében), amikor
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ E ^ g] $$
minden mérhető halmazra $ E $ és $ g \ elemre G $ -ban, ahol $ Az E ^ g $ a $ E $ képét jelöli $ g $ művelete alatt.
Például a a $ G $ továbbra is a $ 2 $ sorrendű csoport legyen, de most legyen egy valós szám reciprokjának felvétele (és hagyja, hogy $ 0 $ javítson). A szokásos lognormal eloszlás szimmetrikus ehhez a csoporthoz képest. Ez a példa egy olyan reflexiós szimmetria példaként értelmezhető, ahol a koordináták nemlineáris újbóli kifejezése történt. Ez azt sugallja, hogy olyan transzformációkra kell összpontosítani, amelyek tiszteletben tartják a valós vonal “szerkezetét”. A valószínűséghez elengedhetetlen struktúrát össze kell kapcsolni a Borel-halmazokkal és a Lebesgue-mértékkel, mindkettő meghatározható a két pont közötti (euklideszi) távolság alapján.
A távolság megőrzése A térkép definíció szerint izometria. Közismert (és könnyű, bár kissé bevonható, de demonstrálni), hogy a valós vonal összes izometriáját visszaverődés generálja. Ha megértjük, hogy a “szimmetrikus” szimmetrikus az izometriák valamely csoportjával szemben , akkor a csoportot legfeljebb egy reflexióval kell létrehozni, és láttuk, hogy a reflexiót egyedülállóan a bármilyen szimmetrikus eloszlás hozzá képest. Ebben az értelemben az előző elemzés kimerítő és igazolja a “szimmetrikus” eloszlások szokásos terminológiáját.
Egyébként többváltozós példák “gömbös” eloszlások figyelembevételével adhatók meg. Ezek minden forgás alatt változatlanok (valamilyen rögzített középponthoz viszonyítva). Ezek általánosítják az egydimenziós esetet: a valós vonal “elfordulásai” csak a tükröződések.
Végül érdemes kiemelni, hogy a szokásos – a csoportra átlagolt – konstrukció utat enged. szimmetrikus eloszlások terhelésének előállításához. A valós vonal esetében a $ G $ -ot a $ a $ pont körüli reflexió generálja úgy, hogy az a $ e $ identitáselemből és a $ g $ tükrözésből álljon. Legyen $ X $ bármilyen disztribúció. Definiálja az $ Y $ eloszlást a következő beállítással:
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ a G} mezőben {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
az összes Borel-készlethez $ E $. Ez nyilvánvalóan szimmetrikus, és könnyen ellenőrizhető, hogy eloszlás marad-e (minden valószínűség nem negatív marad, a teljes valószínűség pedig $ 1 $).
A csoportos átlagolási folyamatot szemléltetve, a szimmetrizált Gamma-eloszlás (középpontja $ a = 2 $) PDF-je arany színnel jelenik meg. Az eredeti Gamma kék színű, és tükröződése piros.
megjegyzések
- (+1) Szeretném hozzátenni, hogy a többváltozós beállításban a szimmetria meghatározása nem egyedi. Ebben az könyvben 8 lehetséges definíció található a szimmetrikus többváltozós eloszlásokról.
- @Procrastinator I ' kíváncsi vagyok arra, hogy mit érthet " alatt, ha nem egyedi. " AFAIK, bármi, ami igazolja a nevet A " szimmetria " végül egy csoport csoportos műveletére utal. Érdekes lenne hogy a statisztikusok milyen különféle tevékenységeket találtak hasznosnak. Mivel ez a könyv elfogyott, és nem érhető el az interneten, tudnál egy gyors példát mondani az adott könyvben figyelembe vett két nagyon különböző szimmetriára?
- Érzelme helyes, ez összefügg a statisztikai jellemzőkkel : Központi szimmetria $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Gömbszimmetria $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ az összes ortogonális mátrixhoz $ {\ bf O} $. A többit nem tudom felidézni, de ezeken a napokon megpróbálom kölcsönadni a könyvet. Ebben a linkben megtalálhatja őket.
- @Procrastinator Köszönöm. Ne feledje, hogy az Ön által felajánlott két példa az általam megadott általános meghatározás speciális esete: a központi szimmetria az izometriák kételemes csoportját generálja, a gömbszimmetria pedig az összes izometria alcsoportja is. A link " elliptikus szimmetriája " a gömb szimmetriája affin transzformáció után, és így példázza azt a jelenséget, amelyre rámutattam a lognormal példa. Az " szögszimmetriák " ismét izometriák csoportját alkotják. A " féltér szimmetria " [sic] nem szimmetria, de diszkrét eltéréseket tesz lehetővé onnan: hogy ' újak.
Válasz
A válasz attól függ, hogy mire gondolsz szimmetria. A fizikában a szimmetria fogalma alapvető és nagyon általános lett. Szimmetria minden olyan művelet, amely változatlanul hagyja a rendszert.Valószínűségeloszlás esetén ez bármely $ X \ – X “$ műveletre lefordítható, amely ugyanazt a valószínűséget adja vissza $ P (X) = P (X”) $.
Az első példa egyszerű esetben a reflexiós szimmetriára hivatkozik a maximum körül. Ha az eloszlás szinuszos lenne, akkor megadhatja a $ X \ – X + \ lambda $ feltételt, ahol $ \ lambda $ a hullámhossz vagy periódus. Ekkor $ P (X) = P (X + \ lambda) $, és még mindig megfelelne a szimmetria általánosabb meghatározásának.