A dimenziócsökkentési technikában, például a fő komponens elemzésben, az LDA-ban stb. gyakran használják a sokszorosító kifejezést. Mi a sokaság nem szakkifejezésben? Ha egy $ x $ pont egy olyan gömbhöz tartozik, amelynek dimenzióját csökkenteni akarom, és ha zaj van, akkor $ y $ és $ x $ és $ y $ nincsenek korrelálva, akkor a tényleges $ x $ pontok egymástól messze elkülönülnek más a zaj miatt. Ezért zajszűrésre lenne szükség. Tehát a dimenziócsökkentést a $ z = x + y $ értéken hajtják végre. Ezért itt a $ x $ és a $ y $ különböző elosztókhoz tartozik?
Pontfelhő-adatokon dolgozom, amelyeket gyakran használnak a robotlátásban; a pontfelhők zajosak a felvételi zaj miatt, és a dimenziócsökkentés előtt csökkentenem kell a zajt. Ellenkező esetben helytelen méretcsökkentést kapok. Tehát mi itt a sokszorosító, és a zaj ugyanannak a sokaságnak a része, amelyhez $ x $ tartozik?
Megjegyzések
- Ez ‘ nem igazán lehet helyesen használni a kifejezést anélkül, hogy matematikailag pontos lenne
Válasz
Nem szakkifejezésben az elosztó egy folytonos geometriai szerkezet, amelynek véges mérete van: egy vonal, egy görbe, egy sík, egy felület, egy gömb, egy labda, egy henger, egy tórusz, egy “folt” … ilyesmi: 
Ez egy általános kifejezés, amelyet a matematikusok “görbét” (1. dimenzió) vagy “felület” (2. dimenzió), vagy 3D-s objektumot (3. dimenzió) mondanak … minden lehetséges véges dimenzióhoz $ n $. Az egydimenziós sokaság egyszerűen görbe (vonal, kör …). A kétdimenziós elosztó egyszerűen egy felület (sík, gömb, tórusz, henger …). A háromdimenziós elosztó egy “teljes tárgy” (gömb, teljes kocka, a körülöttünk lévő 3D tér …).
A sokaságot gyakran egy egyenlet írja le: A $ (x, y) $ pontok halmaza, például $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ egydimenziós sokaság (kör).
Egy elosztónak mindenütt ugyanaz a dimenziója. Például, ha egy vonalat (1. dimenzió) hozzáfűz egy gömbhöz (2. dimenzió), akkor a kapott geometriai szerkezet nem sokaság.
A metrikus tér vagy a topológiai tér általánosabb fogalmaival ellentétben, amelyek a folyamatos ponthalmaz természetes megérzésének leírására szolgálnak, a sokaságot lokálisan egyszerűnek kell lennie: mint egy véges dimenziós vektortér: $ \ mathbb {R} ^ n $. Ez kizárja az absztrakt tereket (például a végtelen dimenziós tereket), amelyeknek gyakran nincs geometriai konkrét jelentése.
A vektorterekkel ellentétben a sokaságok különböző formájúak lehetnek. Néhány elosztó könnyen láthatóvá tehető (gömb, labda …), némelyik nehezen látható, például a Klein palack vagy az valódi vetítősík .
A statisztikákban, a gépi tanulásban vagy általában az alkalmazott matematikában a “sokszorosító” szót gyakran használják arra, hogy “mint egy lineáris altér”, de esetleg ívelt . Bármikor olyan lineáris egyenletet írsz, mint: $ 3x + 2y-4z = 1 $, kapsz egy lineáris (affin) alteret (itt egy sík). Általában, ha az egyenlet nem lineáris, mint például $ x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 7 $, ez egy sokaság (itt egy kifeszített gömb).
Például a “ sokszoros hipotézise “szerint” a nagydimenziós adatok alacsony dimenziós sokaságban lévő pontok, nagy dimenziós zajjal “. El lehet képzelni egy 1D kör pontjait, némi 2D zaj hozzáadásával. Bár a pontok nincsenek pontosan a körön, statisztikailag kielégítik a $ x ^ 2 + y ^ 2 = 1 $ egyenletet. A kör az alapul szolgáló sokrétű: 
Megjegyzések
- @RiaGeorge A képen a felület az, ami sokrétű. ‘ folytonos, mert megszakítás nélkül szabadon mozoghat, és soha nem kell le ugrania a felületről, hogy bármely két hely között eljusson. Azok a lyukak, amelyekre utaltok, fontosak annak leírásában, hogy hogyan hogyan lehet a legegyszerűbb módon megkerülni a két pont közötti felületet, és ezek megszámlálása fontos technika a sokaságok tanulmányozásában.
- A topológia megmagyarázása túl széles kérdés lenne ennél a webhelynél, és kissé eltekintene a témától. A matematikai veremcserében keresnék információkat erről. A sokaság és a topológia nem szinonimák: a sokaságok matematikai objektumok, amelyeket a topológia technikáival tanulmányoznak, a topológia a matematika egyik altárgya.
- Ez nagyon jó magyarázatnak tűnik annak, aki először ismeri meg a koncepciót időben, jól megválasztott, konkrét példákkal. (Bár nem tudom ‘, bár tudom, hogy már korábban is találkoztam ezzel a fogalommal.) Kisebb szóváltásként azt javaslom, hogy az utolsó mondatot kevésbé abszolútnak kell átfogalmazni (” Bármikor az egyenlet nem lineáris, mint például …”): amint most meg van írva, valójában nem igaz. Ezen a kisebb civakodáson kívül nagyon jól meg tudom ezt találni.
- A válasz hiányzik minden alapvető szempontból, ami sokrétűvé teszi ezt, én nem ‘ nem kapok hogy van annyi előszavazása. A topológiát, a diagramokat és a simaságot nem is említik, és a válasz alapvetően azt a benyomást kelti, hogy a sokaság egy felület, ami nem .
- Műszaki pont, a az egyenletrendszernek nem kell sokfélének lennie. Ez ‘ egy változatosság, tehát ‘ többnyire sokrétű, de lehetnek olyan önmetszési pontjai, ahol a sokaság tulajdonság meghiúsul.
Válasz
Az (topológiai) elosztó egy $ M $ szóköz, amely a következő:
(1) “lokálisan” “egyenértékű” a $ \ mathbb {R} ^ n $ -val néhány $ n $ esetében.
“Helyileg” az “ekvivalencia” kifejezhető $ n $ koordinátafüggvényekkel, $ c_i: M \ to \ mathbb {R} $, amelyek együtt egy “struktúrát megőrző” függvényt alkotnak, $ c: M \ to \ mathbb {R} ^ n $, az úgynevezett diagram .
(2) “szerkezetmegőrző” módon valósítható meg a $ \ mathbb {R} ^ N $ néhány $ N \ ge n $ esetén. (1) (2)
Vegye figyelembe, hogy hogy a “szerkezet” itt pontos legyen, meg kell értenie a topológia ( def. ), amely lehetővé teszi az “helyi” viselkedés pontos megfogalmazását, és így “lokálisan” . Amikor azt mondom, hogy “egyenértékű”, akkor egyenértékű topológiai struktúrára gondolok ( homeomorf ), és amikor “szerkezetmegőrző” -re mondom, ugyanazt értem (ekvivalenst hoz létre) topológiai felépítés).
Vegye figyelembe azt is, hogy a sokaságokon történő számításhoz további feltételre van szükség, amely nem következik a két feltétel felett, amely alapvetően valami olyasmit mond, hogy “a diagramok elég jól viselkednek ahhoz, hogy számításokat végezhessünk”. Ezeket a gyakorlatban leggyakrabban használt sokaságokat alkalmazzuk. Az általános topológiától eltérően sokaságok , a számítás mellett lehetővé teszik a háromszögeléseket is, ami nagyon fontos az olyan alkalmazásokban, mint a tiéd felhőalapú adatokat tartalmaz .
Ne feledje, hogy nem mindenki használja ugyanazt a meghatározást egy (topológiai) sokasághoz. Több szerző fogja meghatározni mint csak kielégítő feltétel (1) abo ve, nem feltétlenül (2) is. Az (1) és (2) szempontokat egyaránt kielégítő definíció azonban sokkal jobban viselkedik, ezért hasznosabb a gyakorlók számára. Valószínűleg intuitívan elvárható, hogy az (1) magában foglalja a (2) -t, de valójában nem “t”.
SZERKESZTÉS: Ha érdekelne egy “topológia” pontos megismerése, a topológia legfontosabb megértendő példája a $ euklideszi topológia mathbb {R} ^ n $. Ezt minden (jó) bevezető könyvben részletesen tárgyaljuk a “valós elemzésről” .
Megjegyzések
- Köszönöm a válaszát: El tudná magyarázni, mi is a topológia az úgynevezett technikai kifejezésben? A topológia és sokszorosító kifejezést felcserélhető módon használják? A dimenziónak egész számnak kell lennie. Mi ez a valós szám, akkor azt gondolom, hogy a szerkezetet fraktálnak nevezzük, ha a teljes struktúra minden alrészből áll, önismétlő.
- @RiaGeorge $ n A $ természetes számot (egész szám \ \ ge 1 $) jelent, csakúgy, mint a $ N $. Lehet, hogy fejlettebb elmélet létezik a tört / r eal-értékű dimenziók, de nem ‘ fordul elő olyan gyakran. ” Topológia ” és ” elosztó ” két nagyon különböző dolgot jelent, tehát nem felcserélhető kifejezések. Egy ” sokaság ” ” topológiájával rendelkezik “. A topológia területe olyan tereket vizsgál, amelyek ” topológiákkal rendelkeznek “, amelyek három szabálynak / feltételnek megfelelő halmazok gyűjteményei. A ” topológiák ” tanulmányozásának egyik célja a ” helyi ” viselkedés.
- @RiaGeorge A ” topológia megtalálható a Wikipedia oldalon: hu.wikipedia.org / wiki / General_topology # A_topology_on_a_set – vegye figyelembe, hogy az a link, amelyet a ” topológia (egyenértékű) definíciójához adtam Önnek / div> a szomszédság vonatkozásában valami hasonlóra mutatott, de nem ugyanarra, a válaszomat ennek megfelelően szerkesztettem: hu.wikipedia.org/wiki/… Ne feledje azonban, hogy a környezetek fogalommeghatározását nehezebb megérteni (elképzelhető, hogy jól megértem, de nem ‘ t zavarok is, mert én ‘ lusta vagyok
- így egyébként ‘ s személyes elfogult véleményem, hogy nem ‘ nem kell ismernie a topológia szomszédsági definícióját – csak azt kell tudnia, hogy az egyszerűbb meghatározás a szomszédság definíciójának ugyanolyan erejét adja a helyi viselkedés szigorú leírása szempontjából, mivel ezek egyenértékű). Egyébként, ha érdekelnek a fraktálok, talán érdekesnek találja ezeket a Wikipedia oldalakat – ennek ellenére nem tudok ‘ segíteni, mert nem ismerem mélyen a elmélet és a don ‘ nem ismeri vagy nem érti a definíciók többségét – csak a
- néhányról hallottam, és ez eddig az egyetlen válasz a globális objektum helyi adatokból való összeállításának modern matematikai elképzeléséhez. Sajnos nem ‘ nem eléggé eléri a ” nem technikai fiók.
Válasz
Ebben az összefüggésben az elosztó kifejezés pontos, de feleslegesen magasfalutin. Technikailag sokrétű bármely hely (topológiával rendelkező pontkészlet), amely kellően sima és folyamatos (oly módon, hogy némi erőfeszítéssel matematikailag jól definiálható legyen).
Képzelje el a teret az eredeti tényezők összes lehetséges értékéből. Dimenziós redukciós technika után az adott térben nem minden pont érhető el. Ehelyett csak a beágyazott résztér egyes pontjai érhetők el abban a térben. Ez a beágyazott résztér véletlenül teljesíti a sokaság matematikai meghatározását. Egy lineáris dimenziós redukciós technika, például a PCA esetében ez az altér csak egy lineáris résztér (pl. Hipersík), ami egy viszonylag triviális sokaság. De a nemlineáris dimenziós redukciós technika esetében ez az altér bonyolultabb lehet (például ívelt hiperfelület). Adatelemzési célból sokkal fontosabb megérteni, hogy ezek részterek, sokkal fontosabb, mint bármely következtetés, amelyet levonhatna, ha tudnánk, hogy ezek megfelelnek a sokaság definíciójának.
Megjegyzések
- ” Highfalutin ” … ma megtanult egy új szót!
- Matematikailag , sokrétűség bármely helyileg folytonos topológiai tér. Tetszik az ötlet, hogy megpróbálom a dolgokat egyszerű nyelven megmagyarázni, de ez a jellemzés valóban nem működik. Először is, a folytonosság mindig helyi tulajdonság, ezért ‘ nem vagyok biztos abban, hogy mit ért a helyi folytonosság alatt. Ezenkívül a definíciód nem zár ki sok olyan dolgot, amely nem ‘ t sokszorosító, például a racionális számegyeneset, vagy az euklideszi síkban két metsző vonal egyesülését.
- Egyetértek Bennel, technikailag ez ‘ s ” lokálisan euklideszi “. ‘ nem vagyok biztos benne, hogy van-e jó módszer arra, hogy ezt egyszerű angol nyelvre főzzük.
- Nekem is határozottan egyet kell értenem a fenti két megjegyzéssel. Valójában az alábbiakban írt válaszom eredetileg egy tisztázó megjegyzés volt a válaszhoz, amely túl hosszú lett. Nincs pontos fogalma a ” folytonos ” topológiai térnek (lásd itt: math.stackexchange.com/questions/1822769/… ). A sokaság meghatározása nem létező fogalmak alapján véleményem szerint hosszú távon inkább zavaró, mint tisztázó. Legalább azt javaslom, hogy az első mondat ” matematikailag ” szót cserélje le valami másra.
- Én ‘ felhasználom ezt a megjegyzést mint lehetőséget arra, hogy feltegyek egy kis kérdést … (Szerintem) megvan az ötlet a sokaságokról, de miért ” helyileg ” szükséges? Nincs ‘ t szóköz ” helyileg ” folytonos … egész egészében?
Válasz
Ahogy Bronstein és mások a Geometriai mélytanulásban fogalmazták meg: túllépve az euklideszi adatokkal ( Itt olvashatja el a cikket )
Nagyjából egy elosztó egy hely, amely euklideszi. Az egyik legegyszerűbb példa a bolygónkat modellező gömbfelület: egy pont körül síknak tűnik, ami emberek generációit késztette a Föld síkosságának hite elé. Formálisan nézve a (differenciálható) X d-dimenziós sokaság egy topológiai tér, ahol minden x pontnak van egy szomszédsága, amely topológiailag egyenértékű (homeomorf) egy dimenziós euklideszi térrel, amelyet tangens térnek nevezünk.
megjegyzések
- Az idézet önellentmondásos. Először Riemann-sokaságot ír le (” lokálisan euklideszi “), de a végén egy topológiai sokaságot ír le (a homeomorfizmusok nem, definíció szerint tiszteletben kell tartaniuk a differenciális struktúrát, ezért az tangens tér fogalma nem alkalmazható.