Mi az út integrálja? [zárt]

Matematikailag az út integrálja egy többdimenziós általánosítása integrál. A szokásos $ N $ -dimenziós integrálokban a $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ egy $ N \ -dimenziós integrál $ {\ mathbb R} ^ N $ alterületére integrálódik. A pályaintegrál egy végtelen dimenziós integrál $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ a $ y $ változó összes lehetséges $ f (y) $ funkciója felett amely lehet valós szám vagy vektor. Az $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ stb. Függvények értéke ugyanazt a szerepet tölti be, mint a $ x_1 $, $ x_2 $ stb. Változók a szokásos többdimenziós integrálban .

Mivel a $ x_i $ $ i $ index értékeket vett fel a $ 1,2, \ dots N $ véges halmazban, és most a $ y $ folytonos változó váltja fel, az út integrálja egy végtelen dimenziós integrál.

A szigorú matematikusok sok problémát látnak abban, hogy megakadályozzák az embert abban, hogy meghatározza a végtelen dimenziós útintegrált a mértékelmélet segítségével. De a fizikusok tudják, hogy hasonló integrálokkal lehet foglalkozni. Van néhány “ultraibolya divergencia” stb., Amelyet tapasztalhat, amikor megpróbálja kiszámítani őket, de lehet, hogy foglalkoznak velük. Lényegében az összes természetes szabályt fel akarja használni, amely a véges dimenziós integrálokra vonatkozik. Például két függvény összegének (út) integrálja két (út) integrál összege, és így tovább.

Az út integráljainak két legfontosabb alkalmazása a fizikában Feynman megközelítésében található. a kvantummechanikára, különösen a kvantumtérelméletre és a statisztikai mechanikára.

A (klasszikus) statisztikai mechanikában a partíció összegét $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ akarjuk kiszámítani. a fizikai rendszer $ c $ összes konfigurációjánál. De mivel a konfigurációkat gyakran egész függvények jelölik $ f (y) $ – végtelen sok érték az $ y $ argumentum összes megengedett értékénél – az összeg nem “igazán” összeg”. Ez nem is egy véges dimenziós integrál. Ez egy út-integrál.

A kvantummechanikában a komplex valószínűségi amplitúdókat stb. Kiszámítják: $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ azaz a $ \ phi (y) $ változók összes konfigurációjának elérési útjának integrálja. Az integrandum egy fázis – egy szám, amelynek abszolút értéke egy -, és a fázisszög a lehetséges történettől függ, amelyet a lehetséges előzmények $ \ phi (y) $ alapján értékeltek. A $ i, f $ kezdő és végső állapotokat integrálásával építjük be. azokon a konfigurációkon a “köztes időkben”, amelyek megfelelnek a megfelelő peremfeltételeknek.

A kvantumtérelmélet szinte egésze kifejezhető néhány útintegrál számításaként. Tehát ebben az értelemben a “mindent” megismerni egy pályaintegrál egyenértékű a kvantummechanika és a kvantumtérelmélet szinte teljes elsajátításával, amely félév és 10 év közötti intenzív tanulmányokat igényelhet, attól függően, hogy milyen mélyre akarsz jutni. Biztosan nem fedhető le egy megengedett méretű válasz ezen a szerveren.

Az út integráljainak kiszámítása a Gaussian $ $ exp ({\ rm bilinear}) $ integrandummal, esetleg polinommal Az integrációs változók prefaktorai talán a legfontosabb vagy “legegyszerűbb” példák egy nem triviális útintegrálra, amelyre a fizikában valójában szükségünk van.

A kvantummechanikában az útintegrál reprezentálja a kifejezett végső képletet minden Valószínűség amplitúdója. A $ | i \ rangle $ állapotból a $ | f \ rangle $ állapotba történő bármely átmenet amplitúdója közvetlenül kifejezhető útintegrálként, és a valószínűség a valószínűség amplitúdójának abszolút értéke négyzetben. A kvantummechanika lehetővé teszi a valószínűség számítását – tehát az útintegrál “mindent” képvisel a kvantummechanikában. (Ezt a bekezdést eredetileg hozzászólásként tettem közzé, és a szerkesztést javasló felhasználónak jó oka volt erre.)

Megjegyzések

• +1, de nem mondanám el ' a függvények értékeit, $ f (0), f (1) $ stb. szerepet játszanak a $ x_1, x_2 $ stb. szerepében. Mivel a funkció a teljes függvényt számokhoz rendeli, ' s egy teljes $ f $ függvény, amely helyettesíti az $ x_1, x_2, $ stb. értékének szerepét.
• Nem értem, @JamalS, ami: nagyon diplomáciai módon azt mondják, hogy azt hiszem, hogy nem érti meg '. 😉 Csak egy teljes függvény van $ f $, de sok változó van $ x_1, x_2 $. A függvény még több (végtelenül több) információt hordoz, mint több $ x_1, \ dots, x_N $ szám. Az utolsó mondatban mi a kötőszó a $ x_1, x_2 $ között? Ha ez ' s " vagy ", akkor ' s helytelen, mert meg kell adni az összes $ x_i $ összes értékét, hogy az integrandról beszéljünk. Ha ' s " és ", akkor OK, de akkor csak próbálkozik hogy elhomályosítsam azt a tényt, hogy a befelé vezető út többdimenziós.
• Kifogásom csak csak a véges dimenziós eset és az integrál út közötti analógia ellen. Ahogyan ' írta, ' újra elmondja az $ f $ függvény értékeit különböző pontokon " ugyanazt a szerepet tölti be, mint az $ x_1, x_2 $ stb. változók. > s csak egy függvény $ f $, és összes lehetséges funkciót összefoglalunk. Tehát az a véleményem, hogy ' azok a különféle funkciók, amelyek analógak a skaláris változó, $ x $ különböző értékeinek összegzésével. Nem ' nem látom, hogy ' hogyan tudta extrapolálni, azt hiszem, egyetlen kommentemből csak a sima függvények járulnak hozzá …
• Csak azt írtam, hogy $ \ int D \ phi (y) $ meghatározható a $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01) többdimenziós integrál folytonosságának határaként ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ dots $ 0,01 $ értékre nullára küldve. Nem hiszem, hogy ' nem hiszem, hogy bármi vitatható lehet ebben az állításban. ' valóban a válasz lényege. Ha csak azt mondja, hogy " ez a funkció minden értékének szerves része mindenhol ", akkor egy epsilon nem a válaszadással mozog az OP által feltett kérdést, és elmagyarázza, mi is valójában egy " integrál a " függvények felett. Az integrál, az út előtti-integrál értelemben, mindig véges-dimenziós.
• Kedves @TAbraham, ez minden valószínűségi amplitúdó kifejezett végső képletét képviseli. A " i " állapotból a " f " közvetlenül kifejezhető útintegrálként, és a valószínűség a valószínűség amplitúdójának négyzetes abszolút értéke. Minden, amire a kvantummechanika lehetővé teszi a számítást, ezekhez a valószínűségekhez vezet – tehát az útintegrál " mindent képvisel " a kvantummechanikában. >