Ezt a kérdést azzal a céllal tettem, hogy kiszámítsam az elektromos mezőt egy gömb egy bizonyos pontján ($ r $ távolság a középponttól), ahol a töltés sűrűsége egyenlet adja. Amikor megnéztem ennek a kérdésnek a megoldását, azt mondta, hogy a $ dQ $ elemi töltetet kell kiszámítani a $ dV $ gömb elemi térfogatára, a töltéssűrűség egyenlet felhasználásával. Azt mondja, hogy a két gömbön belüli koncentrikus héj közötti térfogat a $ r $ és a $ r + dr $ távolságban
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Miért egyenlő ez a $ 4 \ pi r ^ 2dr $ értékkel?
Megjegyzések
- A számítás során alkalmazott heurisztika az, hogy , mivel a $ dr $ nagyon kicsi, négyzete vagy kockája sokkal kisebb. Ezért a $ 3rdr ^ 2 $ és a $ dr ^ 3 $ kifejezések elhanyagolhatóak és egyszerűen eldobhatók.
- Ennek semmi köze a fizikához! Kérdezzen meg egy matematikai q & webhelyet. Valójában a @sourisse adta meg a helyes választ.
- Úgy gondolom, hogy ez valójában a fizika szempontjából releváns, ez egy közelítés / módszer / eszköz, amelyet a fizikában sokat használnak, pl. elektrosztatika, gravitáció, szilárdtest stb stb stb.
- BTW a 4 $ \ pi r ^ 2 dr $ -ra is gondolhat, mint egy $ r $ sugarú és $ dr $ vastagságú gömbhéj térfogatára – csak a felszín terület szorozva vastagsággal
- @FraSchelle azt hiszem, ha ezt kérdezné a math.stackexchange oldalon, akkor ide irányítaná …
Válasz
Sourisse megjegyzése megválaszolja a kérdését, de a megjegyzés kedvéért itt Wiki válaszként kibővítem. Ne feledje, hogy ez egy fizikus válasza – a jelenlévő matematikusok bölcsek, ha elfordítják a tekintetüket.
Ne feledje, hogy amikor azt mondjuk, hogy a hangerő elem:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Arról a korlátról beszélünk, amelyben a $ dr \ rightarrow 0 $ értékre esik. Ha $ dr $ rendkívül kicsi, akkor $ dr ^ 2 $ rendkívül kicsi, a $ dr ^ 3 $ pedig rendkívül rendkívül kicsi. Tehát a $ dr \ rightarrow 0 $ határában egyszerűen figyelmen kívül hagyhatjuk a magasabb hatványokat, és teljes egyenlete az (1) egyenletgé válik.
Megjegyzések
- Uram, ez ugyanaz a dolog, amit megtanítottak nekünk, de van-e valamilyen módja a $ (dr) ^ 2 $ vagy magasabb szintű kifejezések használatának teljesítmény a számításban vagy az integrációban? Köszönöm sokat!
Válasz
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Különbség a $ r $ tekintetében
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
Megjegyzések
- pont! ez az a fajta elem a " trükk " túl gyakran feledésbe merül. Sajnálom, hogy ' nem tudja így megszerezni a $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ tényezőt $ 4 \ pi $ értékből.