Miért nulla az elektromos tér ott, ahol az ekvipotenciális felületek keresztezik egymást?

Először tisztítsuk meg a levegőt egy egyszerű példával, amely bemutatja a kívánt viselkedést (és amely lényegében izomorf a legtöbb nem triviális eset esetében). különösen a következő állítás:

A $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ potenciál tökéletesen érvényes elektrosztatikus potenciál, és nagyon természetesen kétféle ekvipotenciális felülettel (az $ yz $ sík és az $ xz $ sík) tekinthető, amelyek egy vonal mentén metszenek.

Ez a példa elvetheti a szokásos intuíciót, miszerint az ekvipotenciális felületek, mint a terepi vonalak, soha nem keresztezik egymást, de tökéletesen érvényesül – és összhangban áll professzorának állításával, miszerint az elektromos mező, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van mossa a $ x = y = 0 $ kereszteződését.

(Azok számára, akik szeretnék még egy kicsit meghosszabbítani a borítékot: ez természetesen általánosít minden ekvipotenciális felület $ n $ számának metszéspontjára egy sort egyszerűen megváltoztatva a $ n $ -poláris potenciálra $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ igaz] \ mathclose {} $.)

Tehát mi folyik, vagy hogyan adunk valódi matematikai húst a szóban forgó állításhoz?

Nos, kezdjük ekvipotenciális felületek definiálásával: egy $ S felület: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ a $ V elektrosztatikus potenciál ekvipotenciálja : \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ állandó az összes $ (u, v) \ esetében D $ -ban. Sőt, tudjuk, hogy bármikor $ \ mathbf r = S (u, v) $ a felszínen, a $ \ mathbf E = – \ nabla V $ elektromos mező nulla belső szorzattal rendelkezik minden olyan vektorral, amely a $ TS_ \ mathbf r $ érintő síkban helyezkedik el. felület $ \ mathbf r $ -nál, az $ \ gamma: (a, b) \ – D $ görbék felvétele és az $ V (S (\ (gamma (t)))) állandósági reláció megkülönböztetése következtében a $ t $ paraméterhez, megadva a $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ összes vektorot $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Mivel ez a sík kétdimenziós, a tér pedig háromdimenziós, arra következtetünk, hogy a felszínre egyedi normális irányú $ \ hat {\ mathbf n} $ van, és hogy $ \ mathbf E $ párhuzamosnak kell lennie azzal a normálissal (vagy esetleg nullával), de a legfontosabb eredmény az, hogy a $ \ mathbf E $ komponensnek az érintősík belsejében lévő bármely irányban el kell tűnnie.

OK, ezért most engedjük fel az antét, és vegyünk fontolóra két különböző felületet $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, amelyek egy bizonyos ponton metszik egymást: $ \ mathbf r_0 $, és írjuk le azt is, hogy mindkét felület ekvipotenciális értéke $ V $.

Mindjárt arra következtethetünk, hogy a mindkét felület minden pontján a potenciálnak meg kell egyeznie ugyanazzal az állandóval, mert a $ V = V (\ mathbf r) $ egy (egyszeres értékű) ) funkció. Ha megegyezik $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ értékkel a $ \ mathbf r_0 \ esetében S_1 $ értékben, akkor a $ S_1 $ értékével meg kell egyeznie a $ V_1 $ értékkel – de a $ \ mathbf r_0 $ is szerepel $ S_2 $ értékben, tehát $ A V $ -nak a $ S_2 $ egészében meg kell egyeznie a $ V_1 $ értékkel. Valószínűleg erről beszélt professzora abban az állításban, hogy Ön jelentése:

Azt is állította, hogy két ekvipotenciális felület nem keresztezheti egymást, mivel ez két különböző potenciált adna ugyanazon a ponton,

de valószínûleg sokkal közelebb áll a

két, eltérő potenciálú ekvipotenciális felület nem metszheti egymást, mivel ez két különböző potenciált adna ugyanabban a pontban.

Ez a legkönnyebb.Mondjunk most valami nem triviálisat: mi a helyzet a kereszteződésben lévő elektromos térrel?

Kezdjük mégis először a könnyű esettel, és tegyük fel, hogy az ekvipotenciáloknak megfelelő dimenzió-egy metszéspontja van egy görbe, ami azt jelenti, hogy a metszéspont mentén a $ \ mathbf r $ bármely pontján a két felület érintõsíkjai metszõdnek egy vonalon, és mindegyiknek külön, lineárisan független iránya lesz, amely nem tartozik a másikhoz. sík.

Ez lehetővé teszi számunkra a korábban kifejlesztett eszközök bevitelét: tudjuk, hogy $ \ mathbf E $ -nak el kell tűnnie egy eltűnő belső szorzatnak bármilyen vektorral, amely bármelyik tangens síkban található, kivéve, hogy most mi három lineárisan független $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ és $ \ mathbf e_3 $ vektorral kell eltűnni, az egyik a kereszteződés mentén, a másik pedig a független vektor az egyes síkok mentén. Az egyetlen mód, amellyel a $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ vektor kielégítheti a $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ lineárisan független $ \ mathbf e_i esetén, $ a $ \ mathbf v = 0 $ . Innen származik professzorának követelése.

Végül foglalkozzunk azzal a kissé patológiásabb esettel, amelyet a kérdés végén megemlít:

Miért nem lehet csak két, azonos potenciállal rendelkező, ekvipotenciális felület, amelyet […] megérintenek?

Ez nem “nagyon rossz kérdés, és a válasz lényegében az, hogy ez megtörténhet , de a körülmények, amelyekben megtörténik, olyan kórosak, hogy többnyire készek vagyunk kidobni azt a babát fürdővíz. Amikor azt mondjuk, hogy “két felület metszi”, akkor általában azt értjük, hogy dimenzió-egy kereszteződésük van egy görbe mentén; ha meg akarjuk engedni, hogy a felületek érintkezzenek, vagy hasonlóan kóros viselkedésűek vagyunk, akkor kifejezetten megjegyezzük, hogy . (A matematikusok egy kicsit óvatosabbak a nyelvükkel, de a fizikusok megint több érdekes dolgot csinálnak, és nem lehet időt vesztegetni apróbb részleteken.)

Mindenesetre, ha két potenciálra van szüksége, érintse meg egyetlen ponton, a legtisztább példa, amelyre gondolok, a $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ ahol a $ V (\ mathbf r) = 0 $ két kör alakú paraboloid, amelyek a csúcsukon érintkeznek. Ez nem a Laplace-egyenlet megoldása, ami azt jelenti, hogy ez nem ésszerű potenciál a szabad térben, de te csak beállíthatja a $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $ töltéssűrűséget, és ésszerű elosztást kap. Ha ezt szeretné megtakarítani, akkor jobb, ha a $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ értéket választja, amelynek töltési sűrűsége $ \ Az rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ rendkívül ésszerű, és amely kicseréli az egyik paraboloidot a $ z = 0 $ síkra.

Mindkét példa esetében Ön legyen egy elég nagy sorrendű polinom, mint potenciál, és az elektromos mező eltűnik az ekvipotenciálok kereszteződésénél. Ha azt akarja, hogy valami megható ekvipotenciál és egy nem nulla elektromos mező legyen ott, akkor a legközelebbi, amellyel tiszta módon előállok, az az, ha a fenti két példát egyesítem, így három ekvipotenciál (a két paraboloid és a $ xy $ sík) találkozik egy ponton $$ V (x, y, z) = \ balra (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ jobbra) z, $$ egy $ V-vel (0,0, z ) = z ^ 3 $ függőség a $ z $ tengely mentén, majd ezt figyelembe kell venni egy kocka gyökér felvételével, megadva a $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ amelynek ugyanazok a megható egyenértékű potenciáljai vannak, mint fent, de most állandó elektromos mezővel rendelkezik $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ az összes ponton $ (0,0, z) $ és $ z \ neq 0 $. Sajnos azonban “nem valóban arra a következtetésre lehet jutni, hogy az ottani elektromos mező nem nulla, mert a $ \ mathbf r \ to0 $ határértékei a $ z $ tengely mentén és a $ xy $ sík mentén “nem ingázik – és valóban, a $ \ nabla V $ mindenhol eltér a $ xy $ síkon.

Ide rajzolom az ekvipotenciális tájat, ha a $ xz $ sík mentén vágom. annak a kóros struktúrának a típusához, amelyre az ilyen típusú esetek figyelembevételével kerülhet sor:

^{Forrás: Importálás [“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

Az éles szikla a 3D-s nézet potenciálpotenciáljánál látható $ V (x, 0, z) $ egyértelmű jelzései annak a ténynek, hogy az elektromos mező mindenhol végtelen a $ V = 0 $ ekvipotenciálon, kivéve az origót, ha a $ z $ tengelyről közelítjük meg. / p>

Egyébként ez az a fajta ár, amelyet a havnak kell fizetnie Az ekvipotenciálok, amelyek anélkül érintkeznek, hogy az érintési pontban nulla elektromos mezőre lenne szükség, hogy minden szép és sima maradjon. Általában azonban csak úgy dobja ki ezeket az eseteket rendelettel, hogy szabályos kereszteződést igényel.

Elektromos mező meghatározása mint az elektrosztatikus potenciál (negatív) gradiense.Ezért nem lehet elektromos mező mentén az ekvipotenciál által meghatározott vonal / felület mentén.

Ez azt jelenti, hogy az potenciál egyetlen pontján megengedett elektromos mezőnek merőlegesnek kell lennie a ekvipotenciális felület, különben nem nulla összetevője lenne a felület mentén.

Ha két különböző metsző ekvipotenciál van, akkor az egyetlen érvényes elektromos mező nulla, mivel bármely nem nulla mezőnek nem -zér komponens legalább az egyik potenciálpotenciál mentén.

Kivételt jelenthet az az eset, amikor az ekvipotenciális felületek párhuzamosak a kereszteződésüknél.

Megjegyzések

• I ‘ megpróbáltam – és mindeddig nem sikerült – olyan potenciálokat létrehozni, amelyek egyenlő potenciálokkal rendelkeznek, amelyek egyetlen ponton érintkeznek párhuzamos normálokkal, és amelyek ennek ellenére nem nulla mező ott. Átlátja ezt?
• @ Rob megkarcolja ezt, találtam egy példát – de ez ‘ nem éppen a legegyszerűbb függvény, I ‘ valaha láttam. Gyanítom, hogy be lehet mutatni, hogy az ekvipotenciálok nem null elektromos térrel történő megérintéséhez ilyen kóros viselkedésre van szükség , de nem tudom, hogy ‘ nem látom, hogy ‘ d ezt bebizonyítja (vagy valóban, miért ‘ miért van elég gondja arra, hogy sok időt fordítson erre).

Két ekvipotenciális felület nem keresztezheti egymást. Az ekvipotenciális felület bármely pontján az elektromos tér iránya merőleges a Ha két ekvipotenciális felület metszi egymást, akkor a kereszteződési pontokban az elektromos mező merőleges lesz mind az első, mind a második felülettel ezeken a pontokon … más szóval, ha két ekvipotenciális felület metszheti egymást, akkor az elektromos mező két kereszteződési pontban két irányba mutat …. az egyik merőleges az első felületre, a másik merőleges a második felületre. Ez lehetetlen.

Megjegyzések

• Hacsak a mező nulla a metszéspontnál?
• A potenciális $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ tökéletesen érvényes elektrosztatikus potenciál, és nagyon természetes módon úgy tekinthetünk rá, mint két ekvipotenciális felületre (a $ yz $ és $ xz $ sík), amelyek metsznek egy vonal mentén.
• Nagyon érdekes … A hétvégén ‘ elő kell vennem a Griffith ‘ könyvet, és megcsinálom egy kis áttekintés … Haven ‘ nem tanult elektrosztatikát, mivel májusban diplomáztam.

Mert ha kereszteznék egymást, akkor az elektromos tér iránya kétértelmű, ezért nem lehetséges.

Megjegyzések

• Egyértelmű ? Miért ez a probléma?
• Igen, ez kétértelmű nem egyértelmű , ahogy a válaszod mondja.

Azt is állította, hogy két ekvipotenciális felület nem keresztezheti egymást, mivel ez két különböző potenciált adna egyszerre pont.

Vegye figyelembe az elektromos dipólus elektromos terét és potenciálfelületeit

Kép jóváírása

Az ekvipotenciális felületek egyike sem keresztezi egymást. Ezenkívül a felületek sűrűsége a legnagyobb a két töltés közötti és azon átmenő vonal mentén.

Most vegyük figyelembe ezeket az ekvipotenciális felületeket az ideális elektromos dipólus határában.

Kép jóváírása

Az állandó dipólusmomentumhoz a (plusz / mínusz) töltésnek növekednie kell, amikor az elválasztási távolság csökken, az ekvipotenciális felületek sűrűsége pedig a a felületnek különböznie kell a határértéktől; úgy tűnik, hogy az az összes potenciálfelület nek az ideális dipólus helyén kereszteznie kell egymást, és az elektromos mező ott egyedülálló. “>