Xi-nek egy első pont: Amikor $ \ sigma $ -algebras, mérhető halmazokról kérdezel, ezért sajnos minden válasznak a méréselméletre kell összpontosítania. Ennek ellenére megpróbálok enyhén felépíteni.

A megszámlálhatatlan halmazok összes részhalmazának befogadásának valószínűségi elmélete megtöri a matematikát

Vizsgálja meg ezt a példát. Tegyük fel, hogy egységnyi négyzeted van a $ \ mathbb {R} ^ 2 $ mappában, és érdekli a valószínűsége, hogy véletlenszerűen kiválaszt egy pontot, amely egy adott halmaz tagja az egységnégyzetben . Számos esetben erre a különböző halmazok területeinek összehasonlítása alapján könnyen lehet választ adni. Például rajzolhatunk néhány kört, megmérhetjük azok területét, majd a valószínűséget a körbe eső négyzet töredékének tekinthetjük. Nagyon egyszerű.

De mi van akkor, ha az érdeklődés halmazának területe nincs jól meghatározva?

Ha a terület nincs pontosan meghatározva, akkor két különböző okra hivatkozhatunk, de teljesen érvényes (bizonyos értelemben) következtetések arról, hogy mi a terület. Tehát egyrészt $ P (A) = 1 $ és $ P (A) = 0 $ másrészt, ami $ 0 = 1 $ -ot jelent. Ez javíthatja az egész matematikát. Most már bizonyíthat $ 5 < 0 $ és még számos más, elnyomó dolgot. Nyilvánvaló, hogy ez “nem túl hasznos.

$ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebras a javítás, amely javítja a matematikát

Mi pontosan a $ \ sigma $ -algebra? Ez valójában nem annyira ijesztő. Csak annak meghatározása, hogy mely halmazok tekinthetők eseménynek. A $ \ mathscr {F} $ dimenzióban nem szereplő elemeknek egyszerűen nincs meghatározott valószínűségi mértékük. Alapvetően $ \ sigma $ -algebrák a ” javítás “, amelyek segítségével elkerülhetünk néhányat a matematika kóros viselkedése, nevezetesen nem mérhető halmazok.

A $ \ sigma $ mező három követelménye annak tekinthető következménynek, valószínűséggel szeretnénk megtenni: A $ \ sigma $ -field egy olyan készlet, amelynek három tulajdonsága van:

1. Bezárás számlálható alatt szakszervezetek.
2. Bezárás megszámlálható kereszteződések alatt.
3. Bezárás kiegészítések alatt.

A megszámlálható szakszervezetek és a megszámlálható kereszteződések összetevői a nem mérhető halmazkérdés. A komplementerek alatti záródás a Kolmogorov-axiómák következménye: ha $ P (A) = 2/3 $ , $ P (A ^ c) $ értéknek $ 1/3 $ . De (3) nélkül előfordulhat, hogy a $ P (A ^ c) $ nincs meghatározva. Furcsa lenne. A zárás a kiegészítések alatt, és a Kolmogorov-axiómák lehetővé teszik, hogy olyan dolgokat mondjunk, mint $ P (A \ cup A ^ c) = P (A) + 1-P (A) = 1 $ .

Végül a $ \ Omega $ vonatkozásában mérlegeljük az eseményeket, ezért megköveteljük a $ \ Omega \ in \ mathscr {F} $

Jó hír: $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -algebrákra szigorúan csak megszámlálhatatlan halmazok esetén van szükség

De! Van itt egy jó hír is. Vagy legalábbis módja a probléma eldöntésének. Csak $ \ sigma $ -algebrasokra van szükségünk, ha éppen dolgozunk megszámlálhatatlan kardinalitású készlet. Ha megszámlálható halmazokra szorítkozunk, akkor a $ \ mathscr {F} = 2 ^ \ Omega $ a $ \ Omega $ és nem fogunk felmerülni ezek a problémák, mert a megszámlálható $ \ Omega $ , $ 2 ^ \ Omega $ csak mérhető halmazokból áll. (Erre utalunk Xi második megjegyzésében.) Észre fogod venni, hogy egyes tankönyvek itt valóban finom kézilabdát követnek el. , és csak a valószínűségi terek tárgyalásakor vegye figyelembe a megszámlálható halmazokat.

Ezenkívül a $ \ mathbb {R} ^ n $ geometriai feladatoknál azt ” s tökéletesen elegendő csak a $ \ sigma $ -algebrákat figyelembe venni, amelyek olyan halmazokból állnak, amelyekhez a $ \ mathcal {L} ^ n $ mértéke meg van határozva. Ennek valamivel szilárdabb megalapozásához $ \ mathcal {L} ^ n $ a $ n = 1,2 , 3 $ megfelel a hossz, terület és térfogat szokásos elképzeléseinek.Tehát azt mondom az előző példában, hogy a halmaznak jól definiált területtel kell rendelkeznie ahhoz, hogy geometriai valószínűség legyen hozzárendelve. És ennek az az oka: ha nem mérhető halmazokat fogadunk el, akkor olyan helyzetekbe kerülnek, ahol valamilyen bizonyíték alapján 1-es valószínűséget rendelhetünk valamilyen eseményhez, valamilyen más bizonyíték alapján pedig 0-s valószínűséget ugyanahhoz az eseményhez .

De ne ” hagyja, hogy a megszámlálhatatlan halmazokkal való kapcsolat megzavarjon! Gyakori tévhit, miszerint a $ \ sigma $ -algebras megszámlálható halmazok. Valójában megszámlálhatóak vagy megszámlálhatatlanok lehetnek. Vegye figyelembe ezt az ábrát: mint korábban, itt is van egy egység négyzet. Határozza meg a $$ \ mathscr {F} = \ text {Az egység négyzet összes részhalmazát definiált $ \ mathcal {L} ^ 2 $ intézkedéssel}. $$ rajzolj egy négyzetet $ B $ oldalhosszal $ s $ az összes $ s \ -ban (0,1) $ , és egy sarokkal a $ (0,0) $ helyen. Világosnak kell lennie, hogy ez a négyzet az egység négyzet részhalmaza. Sőt, ezeknek a négyzeteknek van egy meghatározott területe, így ezek a négyzetek a $ \ mathscr {F} $ elemei. De annak is világosnak kell lennie, hogy megszámlálhatatlanul sok négyzet van $ B $ : az ilyen négyzetek száma megszámlálhatatlan, és mindegyik négyzet meghatározta a Lebesgue-mértéket.

Gyakorlati szempontból tehát a megfigyelés egyszerű elvégzése gyakran elegendő ahhoz a megfigyeléshez, hogy Ön csak a Lebesgue-mérhető halmazokat tekinti előrelépésnek az érdeklődés problémájával szemben.

De várjon, mi van nem mérhető készlet?

Attól tartok, hogy én magam is csak egy kis fényt tudok erre vetni. De a Banach-Tarski paradoxon (néha a ” nap és a borsó ” paradoxon) segíthet nekünk néhányban:

Ha egy háromdimenziós térben egy szilárd gömb van, akkor a labda véges számra bomlik. diszjunkt részhalmazok, amelyeket aztán más módon lehet újra összerakni, így az eredeti golyó két egyforma példánya lesz. Valójában az újraszerelési folyamat csak a darabok mozgatását és elforgatását jelenti anélkül, hogy megváltoztatná az alakjukat. Maguk a darabok azonban nem a szokásos értelemben vett ” szilárd anyagok “, hanem a pontok végtelen szétszóródása. A rekonstrukció akár öt darabbal is működhet.

A tétel erősebb formája azt jelenti, hogy bármelyik két ” ésszerű ” szilárd tárgyak (például egy kis gömb és egy hatalmas golyó), bármelyik újraszerelhető a másikba. Ezt gyakran informálisan állítják, mivel ” egy borsót fel lehet darabolni és összerakni a Napba “, és a ” borsó és a Nap paradoxon “. 1

Tehát ha a $ \ mathbb {R} ^ 3 $ valószínűséggel dolgozik, és a geometriai valószínűséget használja mérni (a mennyiségek arányát), ki szeretné dolgozni valamilyen esemény valószínűségét. De azért fog küzdeni, hogy pontosan meghatározza ezt a valószínűséget, mert átrendezheti a terének halmazait a hangerő megváltoztatásához! Ha a valószínűség a hangerőtől függ, és a készlet hangerejét megváltoztathatja a nap vagy a nap méretére. borsó, akkor a valószínűség is változni fog. Tehát egyetlen eseménynek sem lesz egyetlen tulajdonítható valószínűsége. Sőt, ami még rosszabb, a $ S \ -t \ Omega $ -ban átrendezheti hogy a $ S $ kötet $ V (S) > V (\ Omega) $ , ami azt jelenti, hogy a geometriai valószínűségmérő $ P (S) > 1 $ , a Kolmogorov-axiómák kirívó megsértésével, amelyek megkövetelik a valószínűség 1. mértékét.

Ennek a paradoxonnak a feloldásához a következő négy engedmény egyikét tehetnénk:

1. egy halmaz térfogata változhat, ha elforgatják.
2. Két diszjunkció egyesülésének hangereje a halmazok eltérhetnek a térfogatuk összegétől.
3. Lehet, hogy módosítani kell a Zermelo – Fraenkel halmazelmélet axiómáit a Choice axiómájával (ZFC).
4. Egyes halmazok címkéje ” nem mérhető “, és ellenőrizni kell, hogy egy halmaz ” mérhető “, mielőtt beszélnénk a mennyiségéről.

Az (1) opció nem segít a valószínűségek meghatározásában, ezért ki van kapcsolva. A (2) opció megsérti a második Kolmogorov-axiómát, ezért kialszik. A (3) opció szörnyű ötletnek tűnik, mert a ZFC sokkal több problémát orvosol, mint amennyit létrehoz.De a (4) lehetőség vonzónak tűnik: ha kidolgozunk egy elméletet arról, ami mérhető és nem, akkor jól definiált valószínűséggel fogunk élni ebben a problémában! Ez visszavezet minket az elmélet mérésére, és barátunk a $ \ sigma $ -algebra.

Megjegyzések

• Köszönöm válaszát. A $ \ mathcal {L} $ jelentése mérhető Lebesque? Én ‘ ll + 1 válaszom a hitre, de én ‘ nagyon megköszönöm, ha a matematikai szintet több résszel le tudnád vinni. .. 🙂
• (+1) Jó pontok! Azt is hozzáteszem, hogy mérték és $ \ sigma $ algebrák nélkül a megszámlálhatatlan tereken végzett kondicionálás és a feltételes eloszlások meglehetősen szőrösek lesznek, amint azt a Borel-Kolmogorov paradoxon is mutatja. .
• @Xi ‘ an Köszönöm a kedves szavakat! Ez valóban sokat jelent, tőled származik. Jelen írásomban nem ismertem a Borel-Kolmogorov-paradoxont, de ‘ olvasok, és meglátom, sikerül-e hasznos eredményeket kiegészítenem a megállapításaimmal.
• @ Student001: Azt hiszem, itt szőrszálakat hasítunk. Abban igazad van, hogy a ” intézkedés ” (bármilyen mérték) általános definícióját a sigma-algebrák fogalmával adják meg. Azonban az a véleményem, hogy a ” sigma-algebra ” szó vagy fogalom nincs a Lebesgue-intézkedés definíciójában. az első linkem. Más szavakkal, meghatározhatom az első linkemhez tartozó Lebesgue-mértéket, de aztán be kell mutatnunk, hogy ez egy mérték és ‘ s a kemény része. Egyetértek azzal, hogy mégis le kell állítanunk ezt a vitát.
• Nagyon szerettem olvasni a válaszodat. Nem ‘ nem tudom, hogyan köszönjem meg, de ‘ sokat tisztáztál! Én ‘ soha nem tanultam valódi elemzést, és nem volt megfelelő bevezetésem a matematikába. Villamosmérnöki háttérből származott, amely nagy hangsúlyt fektetett a gyakorlati megvalósításra. ‘ azt írtad, hogy olyan egyszerű szavakkal, hogy egy hozzám hasonló bloke megértheti. Nagyon értékelem a válaszodat és az általad ‘ nyújtott egyszerűséget. Köszönet a @Xi ‘ an-nak is a tömör megjegyzésekért!

Az alapötlet (nagyon praktikus értelemben) egyszerű. Tegyük fel, hogy statisztikus vagy, és valamilyen felméréssel dolgozik. Tegyük fel, hogy a felmérésnek van néhány kérdése az életkorral kapcsolatban, de csak arra kérje meg a válaszadót, hogy bizonyos időközönként azonosítsa az életkorát, például $ [0,18), [18, 25), [25,34], \ pont $. Felejtsük el a többi kérdést. Ez a kérdőív meghatározza az “eseményteret”, a $ (\ Omega, F) $ értéket. A $ F $ szigma algebra kódolja az összes információt, amely a kérdőívből megszerezhető, tehát a kor kérdésére (és jelenleg nem veszünk figyelembe minden más kérdést) tartalmazni fogja a $ [18,25) $ intervallumot, de más intervallumokat nem. mint a $ [20,30) $, mivel a kérdőív által nyert információk alapján nem tudunk olyan kérdésre válaszolni, hogy: a válaszadók életkora $ [20,30) $ -hoz tartozik-e vagy sem? Általánosságban elmondható, hogy egy halmaz csak akkor esemény (a $ F $ -hoz tartozik), ha el tudjuk dönteni, hogy egy mintapont tartozik e halmazhoz vagy sem.

Most definiáljunk véletlenszerű változókat az értékekkel a második eseménytérben, $ (\ Omega “, F”) $. Példaként vegyük ezt a szokásos (Borel) szigma-algebra valódi vonalává. Ezután egy (nem érdekes) függvény, amely nem véletlen változó, a $ f: $ “a válaszadók életkora egy prímszám”, ezt 1-ként kódolva, ha az életkor elsődleges, 0 mást. Nem, $ f ^ {- 1} (1) $ nem tartozik a $ F $ -hoz, tehát $ f $ nem véletlen változó. Az ok egyszerű, a kérdőívben szereplő információk alapján nem tudjuk eldönteni, hogy a válaszadó életkora elsődleges-e vagy sem! Most több érdekes példát is hozhat maga.

Miért követeljük meg, hogy $ F $ legyen szigma algebra? Tegyük fel, hogy két kérdést akarunk feltenni az adatokra: “a 3. válaszadó 18 éves vagy annál idősebb”, “a 3. válaszadó nő”. Hadd határozzanak meg két kérdést ($ F $ -ba állítva) $ A $ és $ B $, a mintapontok halmaza “igen” választ ad erre a kérdésre. Most tegyük fel a két kérdés együttesét: “3 válaszol egy 18 éves vagy annál idősebb nő”. Most ezt a kérdést a beállított metszéspont $ A \ cap B $. A disszjunkciókat hasonló módon a $ A \ cup B $ unió reprezentálja. Most, ha megszámlálható kereszteződésekhez és szakszervezetekhez zárt állapotot igényelünk, számolandó kötőszavakat vagy diszjunkciókat tehetünk fel. Ez egy szigma-algebra.

Ezt a fajta bevezetést láttam először a nagyon jó Peter Whittle könyve “Valószínűség a várakozáson keresztül” (Springer).

SZERKESZTÉS

Megpróbálja megválaszolni a whubers kérdését egy megjegyzésben: “Kicsit megdöbbentem a végén, amikor találkoztam ezzel az állítással:” zártságot igényel a megszámlálható kereszteződéseknél és a szakszervezetek számtalan kötőszót vagy disjunkciót kérhetnek. “Úgy tűnik, ez jut a kérdés középpontjába: miért akarna bárki ilyen végtelenül bonyolult eseményt felépíteni?” Nos, miért? Most szűkítsük le magunkat diszkrét valószínűséggel, mondjuk “kényelem kedvéért” az érme feldobásával. Az érme véges számú dobása esetén minden esemény, amelyet az érme segítségével leírhatunk, a “fej a dobásra $ i $” típusú eseményeken keresztül fejezhető ki. “,” farok a dobásnál $ i $, és véges számú “és” vagy “vagy”. Tehát ebben a helyzetben nincs szükségünk $ \ sigma $ -algebrákra, a halmazok algebrai elégek. Tehát van ebben a helyzetben olyan helyzet, ahol a $ \ sigma $ -algebras felmerül? A gyakorlatban még akkor is, ha a kockát csak véges sokszor dobhatjuk el, a valószínűségekhez való közelítést fejlesztjük ki korláttételek segítségével, amikor $ n $, a dobások száma, kötöttség nélkül növekszik. Vessen egy pillantást az esetre vonatkozó központi határtétel, a Laplace-de Moivre-tétel bizonyítására. Csak algebrák segítségével közelítésekkel igazolhatjuk, nincs szükség $ \ sigma $ -algebrára. A nagy számok gyenge törvénye a csebisevi egyenlőtlenségen keresztül bizonyítható, és ehhez csak véges $ n $ esetekre van szükségünk variancia kiszámítására. De erős törvényhez nagy számok , az általunk bizonyított esemény valószínűsége csak egy számtalanul végtelen számú “és” és “vagy” “” s kifejezéssel fejezhető ki, tehát a nagy számok erős törvényének megfelelően szükségünk van $ \ sigma $ -algebrasra.

De valóban szükségünk van a nagy számok erős törvényére? egy válasz itt , talán nem.

Bizonyos értelemben ez nagyon nagy fogalmi különbségre mutat az erős és a gyenge törvény között: Az erős törvénynek nincs közvetlenül empirikus értelme, mivel a tényleges konvergenciáról szól, ami soha nem lehet empirikusan igazolt. A gyenge törvény viszont arról szól, hogy a közelítés minősége növekszik a $ n $ értékkel, a véges $ n $ számjellegű határokkal, tehát empirikusan értelmesebb.

Tehát, a diszkrét gyakorlati használata a valószínűség megteheti a $ \ sigma $ -algebrasokat. A folyamatos esetet illetően nem vagyok annyira biztos.

Megjegyzések

• Nem hiszem, hogy ‘ szerintem ez a válasz bizonyítja, hogy miért vannak a $ \ sigma $ -mezők szükséges. A $ P (A) \ megválaszolásának kényelme a [20,30) $ értékben nem ‘ t matematika által megkövetelt. Kissé szerencsésen azt mondhatjuk, hogy a matematika nem ‘ nem érdekli, hogy mi a ‘ a statisztikusok számára. Valójában tudjuk, hogy $ P (A) \ a [20,30] \ le P (A) \ -ban [18,34) $, ami jól meg van határozva , tehát ‘ nem is világos, hogy ez a példa jól szemlélteti, hogy mit szeretne.
• Nem szükséges a ‘ “ed8e644875”>

Miért van szükségük a valószínűségvédőknek $ \ boldsymbol { \ sigma} $ -algebra?

A $ \ sigma $ -algebras axiómáit természetesen a valószínűség motiválja. Meg akarja tudni mérni az összes Venn-diagram régiót, például $ A \ cup B $ , $ (A \ cup B) \ cap C $ . Idézni ezt az emlékezetes választ :

Az első axióma az, hogy $ \ oslash, X \ in \ sigma $ . Nos, MINDIG tudja, hogy semmi sem történik ( $ 0 $ ) vagy valami történik ( $ 1 $ ).

A második axióma a kiegészítések alatt zárva van. Hadd mondjak egy hülye példát. Ismét fontoljon meg egy érmefeldobást $ X = \ {H, T \} $ . Úgy teszek, mintha azt mondanám, hogy a $ \ sigma $ algebra ehhez a fliphez $ \ {\ oslash, X, \ {H \} \} $ . Vagyis ismerem annak a valószínűségét, hogy SEMMI sem történik meg, VALAMI megtörténik, és hogy van egy fejem, de NEM TUDOM a farok valószínűségét. Joggal hívnál idiótának. Mert ha ismered a fejek valószínűségét, akkor automatikusan tudja a farok valószínűségét! Ha ismeri valaminek a valószínűségét, akkor annak a valószínűségét, hogy NEM fog bekövetkezni (a kiegészítés)!

Az utolsó axióma megszámlálható szakszervezetek alatt zárva van. Hadd adjam meg egy másik hülye példa. Tekintsük egy kockadobás vagy a $ X = \ {1,2,3,4,5,6 \} $ tekercsét. Mi lenne, ha én lennék a $ \ sigma $ algebra ehhez $ \ {\ oslash, X, \ {1 \}, \ {2 \} \} $ . Vagyis tudom a $ 1 $ vagy a $ 2 $ , de nem tudom egy $ 1 $ vagy egy $ 2 $ gurulásának valószínűségét. . Megint megalapozottan idiótának neveznél (remélem, hogy világos az ok). Ami akkor történik, ha a halmazok nem szét vannak választva, és ami a megszámlálhatatlan szakszervezetekkel történik, kissé zavarba ejtő, de remélem, megpróbálhat néhány példát kitalálni. Miért van szükség a véges $ \ boldsymbol {\ sigma} $ -addositivitás helyett megszámlálhatóra?

Nos, ez nem teljesen tiszta- kivágott eset, de van néhány szilárd ok, amiért .

Miért van szükségük a valószínűségeseknek intézkedésekre?

Ezen a ponton , már megvan az összes axióma egy méréshez. A $ \ sigma $ -additivitás, nem negativitás, null üres halmaz és a $ \ sigma $ tartomány span> -algebra. Azt is megkövetelheti, hogy a $ P $ legyen mérték. A méréselmélet már indokolt .

Az emberek hozzák Vitali készletét és Banach-Tarskit, hogy elmagyarázzák, miért van szükséged a méréselméletre, de szerintem ez megtévesztő . Vitali készlete csak (nem triviális) mérésekre vonatkozik, amelyek fordításinvariánsak, amelyekre a valószínűségi terek nem rendelkeznek. Banach-Tarski pedig rotáció-változatlanságot igényel. Az elemző emberek törődnek velük, de a valószínűségi tagok valójában nem .

A létjogosultság A valószínűségelméletben a méréselmélet dêtre célja, hogy egyesítse a diszkrét és folyamatos RV-k kezelését, és lehetővé tegye vegyes RV-k és egyszerűen RV-k egyikét sem.

Megjegyzések

• Úgy gondolom, hogy ez a válasz remekül kiegészítheti ezt a szálat, ha kicsit továbbdolgozza. A jelenlegi állapotában ‘ nehéz követni, mert nagy részei függenek a többi megjegyzésszálhoz vezető linkektől. Azt hiszem, ha alulról felfelé magyarázná, hogy a mértékek, a véges $ \ sigma $ -additive és a $ \ sigma $ -algebra miként illeszkednek a valószínűségi terek szükséges jellemzőiként, sokkal erősebb lenne. ‘ nagyon közel van, mert ‘ már különböző szegmensekre bontotta a választ, de úgy gondolom, hogy a szegmenseknek több indoklásra és érvelésre van szükségük hogy teljes mértékben támogatott legyen.

Mindig így értettem az egész történetet:

Kezdjük egy szóközzel, például a $ \ mathbb {R} $ valós sorral. Ennek a térnek a részhalmazaira szeretnénk alkalmazni a mértékünket , például a hosszúságot mérő Lebesgue-mérték alkalmazásával. Például a $ [0, 0,5] \ cup [0,75, 1] $ . Ebben a példában a válasz egyszerűen 0,5 USD + 0,25 = 0.75 $ , amelyet meglehetősen könnyen megszerezhetünk. Elkezdünk azon gondolkodni, hogy alkalmazhatjuk-e a Lebesgue-mértéket a valós vonal összes részhalmazára.

Sajnos ez nem működik. Vannak ezek a kóros halmazok, amelyek egyszerűen lebontják a matematikát . Ha ezekre a halmazokra alkalmazza a Lebesgue-mértéket, következetlen eredményeket fog kapni. E kóros halmazok egyikére példa, más néven nem mérhető halmazok, mivel szó szerint “nem mérhetők”, a Vitali halmazok.

Ezen őrült halmazok elkerülése érdekében meghatározzuk, hogy a mérték csak kisebb részhalmazok esetén működjön, az úgynevezett mérhető halmazoknak. Ezek azok a halmazok, amelyek következetesen viselkednek, amikor intézkedéseket alkalmazunk rájuk. Annak érdekében, hogy műveleteket hajtsunk végre ezekkel a halmazokkal, például kombinálva őket szakszervezetekkel, vagy véve a kiegészítőiket, megköveteljük, hogy ezek a mérhető halmazok sigma-algebrát alkossanak egymás között. A szigma-algebra kialakításával kialakítottunk egyfajta biztonságos menedéket ahhoz, hogy intézkedéseink belül működjenek, ugyanakkor lehetővé tették számunkra, hogy ésszerű manipulációkat hajtsunk végre, amire vágyunk, például szakszervezeteket és kiegészítőket. Ezért van szükségünk egy szigma-algebra, hogy ki lehessen rajzolni egy régiót, amelyen belül a mérés működhet, elkerülve a nem mérhető halmazokat. Figyeljük meg, hogy ha ezeknél a kóros részhalmazoknál nem fordul elő, akkor könnyen meghatározhatom azt a mértéket, amely a topológiai tér erőhalmazán belül fog működni. A teljesítménykészlet azonban mindenféle nem mérhető halmazt tartalmaz, és ezért van hogy kiválasszuk a mérhetőket, és szigma-algebrát alkossanak egymás között.

Mint láthatja, mivel a sigma-algebrákat a nem mérhető halmazok, a véges méretű halmazok elkerülésére használják. ” Valójában nincs szükség sigma algebrára. Mondjuk azt, hogy egy $ \ Omega = \ {1, 2, 3 \} $ mintaterülettel foglalkozik (ez legyen egy számítógép által generált véletlen szám összes lehetséges eredménye). Láthatja, hogy nagyjából lehetetlen ilyen mérési hellyel nem mérhető halmazokat előállítani. Az intézkedés (ebben az esetben egy valószínűségi mérték) jól definiálható a $ \ Omega $ bármely részhalmazára, amire csak gondolhat. De meg kell adnunk a szigma-algebrák meghatározását a nagyobb mintaterek, például a valós vonal számára, hogy elkerüljük a kóros részhalmazokat, amelyek lebontják az intézkedéseinket. Annak érdekében, hogy a valószínűség elméleti keretrendszerében konzisztenciát érjünk el, megköveteljük, hogy a véges mintatérek szintén sigma algebrákat alkossanak, ahol csak a valószínűség mértékét határozzák meg. A véges mintatérekben lévő sigma-algebrák technikusság, míg a nagyobb mintaterekben, például a valódi vonalon, a sigma-algebrák szükség ek.

Egy közös sigma-algebra, amelyet használunk az igazi vonal a Borel szigma-algebra. Minden lehetséges nyitott halmaz alkotja, majd felveszi a kiegészítéseket és az uniókat, amíg a sigma-algebra három feltételét el nem érik. Tegyük fel, hogy ha a $ \ mathbb {R} [0, 1] $ számára elkészítjük a Borel-szigma-algebrát, akkor ezt az összes lehetséges nyílt halmaz felsorolásával tegye meg. mint $ (0,5, 0,7), (0,03, 0,05), (0,2, 0,7), … $ és így tovább, és ahogy el lehet képzelni, végtelenül vannak sok lehetőséget felsorolhat, majd a kiegészítéseket és a szakszervezeteket veszi igénybe, amíg egy sigma-algebra nem jön létre. Ahogy el lehet képzelni, ez a sigma algebra egy BEAST. Elképzelhetetlenül hatalmas. De az a szép dolog benne, hogy kizár minden őrült kóros halmazok, amelyek lebontották a matematikát. Ezek az őrült halmazok nem szerepelnek a Borel szigma-algebrában. Ez a készlet is elég átfogó ahhoz, hogy szinte minden szükséges részhalmazot belefoglaljon. Nehéz elképzelni egy részhalmaz, amely nem található meg a Borel sigma-algebrában.

Tehát ez a történet, miért van szükségünk sigma-algebrákra, és a Borel sigma-algebrák általános módszerek ennek az ötletnek a megvalósításához.

Megjegyzések

• ‘ +1 ‘ nagyon olvasható. Úgy tűnik azonban, hogy ellentmond @Yatharth Agarwal válaszának, aki szerint ” Az emberek hozzák Vitali készletét és Banach-Tarskit, hogy megmagyarázzák, miért van szükséged a méréselméletre, de szerintem ez félrevezető. Vitali készlete csak (nem triviális) mérésekre vonatkozik, amelyek fordításinvariánsak, amelyekre a valószínűségi terek nem rendelkeznek. Banach-Tarski pedig rotáció-változatlanságot igényel. Az elemző emberek törődnek velük, de a valószínűségi szakemberek valójában nem. “. Talán van néhány gondolata erről?
• +1 (különösen a ” biztonságos menedék ” metafora esetében!) . @Stop Tekintettel arra, hogy az Ön által hivatkozott válasznak kevés tényleges tartalma van – csak néhány véleményt hangoztat -, ‘ nem érdemes sok megfontolásra vagy vitára, IMHO.