Mit értünk “ dolgok alatt ”?

A könyv nagyon régi: 1903. 2. kiadás; 1. kiadás: 1890.

Amint az a 131. lábjegyzetből kitűnik, Cantort és Dedekind “érdekes közreműködésként említik a téma irodalmában” …

Így nem lehet arra számítanak, hogy az elején definíció nélkül bevezetett fogalmak t, amelyeket primitívként használtak a következő kezelés “tisztázására”, pontosan át lehet alakítani modern (iepost-1930) halmazelméleti fogalmakká.

Úgy gondolom, hogy:

csoport véges objektumok gyűjteményét kell jelentenie (dolgok)

és ez:

dolgok száma egy csoportban „egyértelműen” (a vitából származik) a modern kardinalitás ekvivalense ( véges gyűjteményekre korlátozódik), és a a gyűjtemény (csoport).

Értelmezésem szerint a dolgok “egyedi”, konkrétak vagy elvontak (ha vannak). Természetesen könnyű konkrét tárgyként gondolni rájuk, mint például zsebben levő zsinórra vagy katonára egy csapatban.

A csapat a katonák és a a dolgok száma a században az azt alkotó katonák száma.

Ennek az értelmezésnek van értelme a kiegészítés nek következő meghatározása tekintetében is (lásd: CoolHandLouis “válasza”.

Felhívjuk figyelmét, hogy itt a csoport a gyűjtemény vagy összesítés “általános” jelentéssel bír; semmi köze a csoportelmélet .

Amikor “elvonatkoztatunk” az egyes dolgok “karaktereitől” (azaz megformáljuk azok egyedi tulajdonságait, például színüket, méretüket, alakjukat a gömbök összecsapásához) és a gyűjteményben lévő objektumok sorrendjéből (ez megegyezik a “modern” set koncepcióval: {A, B, C} “ugyanaz” halmaz, mint {C, B, A} ) amit a csoportban lévő dolgok “számával” kapunk (a gyűjtemény tagjainak száma).

Remembe r, hogy Cantor eredeti jelölése az A halmaz bíboros számának jelölésére “kettős overbar” volt A fölött:

a halmaz szimbóluma, amely egyetlen A sáv fölött van jelölve egy A jelzéssel ezért a halmaz rendelés típusát jelentette. Ezután az A fölött lévő kettős sáv jelezte a sorrendnek a halmazról való eltávolítását, és ezáltal a halmaz számát.

Megjegyzések

• Mit értünk dolgok száma kifejezés alatt általában angolul?
• @Anupam – sajnálom, de én ‘ nem vagyok anyanyelvi angolul beszélő.

Előszó

Kettőt adtam meg válaszok erre a kérdésre:

• A másik válasz a jobb válasz és az elsődleges válaszom. Azt sugallja, Mr. Fine naiv halmazelméletre hivatkozik.

• Azért adtam meg ezt a választ , mert az OP ragaszkodott ahhoz, hogy {A, A, A} három különböző elemet tartalmazó “és fejdíjat tett közzé. Egyébként egyáltalán nem volt meggyőző OP, akkor miért nem csak beleegyezik és megkapja a fejdíjat? 🙂

  A két válasz valójában kiegészíti egymást, mivel megmutatják, hogyan lehet ugyanazokat a matematikai jelenségeket leírni az axiómák, definíciók és szabályok különböző helyeken történő megváltoztatásával. Azt mondod, hogy TOE MAY TOE, azt mondom, TOE MAH TOE. Mint kiderült, ez a válasz egy aranyos” matematikai bizonyítékot “tartalmaz arról, hogy Mr. Fine gondolata, hogy {A, A, A} három külön elemet képvisel”. De kérjük, olvassa el nyugodtan ebben a nyelvben beszélő szemléletet válasz.

Anupam,

igazad van Mr. Fine úgy ítéli meg, hogy {A, A, A} = 3.

Újabb választ adok be, mert ezt kitaláltam, de a régi válaszomat el akartam hagyni. a történelem kedvéért. Igazad van! Henry Burchard Fine három konkrét dolgot jelentett, így {A, A, A} háromnak számít. Megállapítása nem lehet hiba, mert elsődleges előfeltétele az egész számtani – egész könyvének alapja – alátámasztása, kezdve az összeadással:

Kiegészítés: Ha két vagy több dologcsoportot hoznak össze úgy, hogy egyetlen csoportot alkossanak, akkor ennek a csoportnak a szimbólumát a különálló csoportok számainak összegének nevezzük.

Ha az összeg s és az abc stb. csoportok száma, illetve a köztük lévő kapcsolat szimbolikusan a s = a + b + c + etc egyenlettel fejeződik ki, ahol az összegcsoport állítólag úgy jön létre, hogy csatlakozik a második csoporthoz, amelyhez b tartozik. először a harmadik csoport, amelyhez c tartozik a kapott csoporthoz, és így tovább.

Az s megtalálásának művelete, amikor az abc stb. ismertek, az Összeadás rövidített számlálás.

6 Kiegészítés Ha két vagy több csoport a dolgokat úgy kell összefogni, hogy egyetlen csoportot alkossanak, ennek a csoportnak a szimbólumát nevezzük a különálló csoportok számainak összegének. Ha az összeg s és az egyes csoportok abc stb. a sab c + stb egyenlettel fejezzük ki, ahol az összegcsoportot úgy kell kialakítani, hogy csatlakozik a második csoporthoz, amelyhez b tartozik az elsőhöz, a harmadik csoporthoz, amelyhez c tartozik a kapott csoporthoz, és így tovább. ismertek az összeadás Az összeadás rövidített számlálás

• Adott a, b, c jelentése “csoportok / halmazok”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Legyen d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Összeg (d) = Összeg (a) + Összeg (b) + Összeg (c)

• Most adja meg a csoportokat / halmazokat az alábbiak szerint:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Összeg (d ) = Összeg (a) + Összeg (b) + Összeg (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Ezért Mr. Fine “unió operátorának” d = {A, A, A} és összeg ({A, A, A}) = 3 értéket kell létrehoznia.

• Ha Mr. Fine “unió operátora” normál beállítási jelölés volt, akkor d = {A}, és ebből semmiképpen sem lehet “3” -ot kapni.

Ezért Mr. Mr. {A, A, A} = 3-nak tartja.

Ez az eset áll fenn, amikor A különálló konkrét tárgyakat képvisel, például 3 érmét. zsebben.

Hozzászólások

• Nem gondolom, hogy ez a helyes következtetés.

Az a munka, amely először eszembe jut Edmund Husserl számtani filozófiája . Részletesen foglalkozik a szám nyilvánvaló nehézségével: hogy a megszámolt dolgok megszámlálásához mindkettőnek különbözőnek kell lennie (tehát több is lehet) és ugyanazok (bizonyos dolgokat számolsz). Amikor azt mondom, hogy “három alma”, mindegyikük egyforma egy értelemben (ők “almák”), és mindegyik más a másikban (három van, térbeli különbséggel megkülönböztetve). kapcsolat, ha más nem)

Egyidejűleg létezik “sokaság” és “egység”. Ez arra a kérdésre vezet, hogy “ugyanaz, milyen módon, és más módon, más módon”.

A dologra, amelyre a legjobban emlékszem ebből a könyvből, a különbözőségről és a megkülönböztetésről beszélünk. Két dolog, amiről érdemes beszélni. Két kifejezés áll egymással szemben: “különböző”, “megkülönböztethető”.

• A két dolog megkülönböztetéséhez meg kell tennünk ítélet
• A különbözõ szükségtelen, de nem elegendõ feltétel a dolgok megkülönböztetéséhez

A matematikában mindent megkülönböztetnek, és különbözõ dolgok összességét veszi figyelembe. Ezzel elkerülhető a bonyolult rész: az emberi megítélés.

Ez az ítélet gyakran könnyű számunkra. Világos, hogy sok mindent különállónak érzékelünk, és hogy a világ tárgyakká “kristályosodik”. Bár ez a felfogás nem mindig minden, ami a dolgok megkülönböztetéséhez szükséges, a legtöbb napi helyzetben elegendő.Csak szélső esetekben van szükség arra, hogy túllépjünk a térben elkülönített tárgyak megjelenésén és valamilyen más megítélési módot alkalmazzunk.

A dolgok megkülönböztetésének képessége a pszichofizika tudományos területének fő témája, amely valóban az 1890-es évek körül haladt és a mai napig tart. Sok filozófiai írás született róla, ez az emberi képesség is, valójában úgy vélem, hogy ez a filozófia fő kérdése (mások talán nem értenek egyet).

Hogy közvetlenül válaszoljon a kérdésére: a matematika kizárja az emberi megítélést, ezért egy formális rendszer felépítésekor el kell kezdeni az ítélet meghozatalát követően úgy tesszük, hogy feltételezzük, hogy objektumai mind megkülönböztethetők egymástól. Ha a matematika tárgyai nem különböztethetők meg, akkor azonosnak tekintjük őket. Ez nem igaz a valós dolgokra, amelyek különbözhetnek, de nem különböztethetők meg.

Megjegyzés: Az aritmetika elvonatkoztatásának részleteit az emberi ítéletekről Husserl könyvének többi részében tárgyaljuk. Nem igazán vagyok képes itt megfogalmazni. Úgy gondolom, hogy a legújabb tudományos kutatások fényében “sokaság” fényében lehetnek vele problémák. Nem még biztos.

Hozzászólások

• A ” egy-sok problémája ” Platónig nyúlik vissza; lásd: Harmadik ember érvelése , de kevés betekintést enged abba, hogy mik a számok és hogyan támogatják az ” emberi folyamatot ” számolás. A matematika számokat mint primitíveket állíthat, vagy megpróbálhatja ” kifejezni ” ezeket halmazelméleten keresztül, a fogalmak használatával. levelezés (sarkszámok) és rend (sorszámok). De a probléma továbbra is fennáll: mik a számok és miért vagyunk képesek ” alkalmazni őket ” a külső valóságra?
• @MauroALLEGRANZA Igen, ez ‘ s régi, ez a ‘ s a fő kérdés;) Husserl többi része ‘ könyv az absztrakt számtan és a világ viszonyáról szól, ezért ‘ emlegetem, mint bármi mást. ‘ nem részleteztem, mert 1) meglehetősen technikai (fő oka) 2) esetleg hibás, és 3) nem volt szükségem a magyarázatra ” Miért korlátozta Mr. Fine ezt a kifejezést csak azokra a csoportokra, amelyek rendelkeznek az összes különálló elemmel. ”
• I ‘ m nem azt állítva, hogy Husserl tévedett … Saját személyes megértésem szerint ez a Finom (1890!) megpróbálta ” tisztázni ” a szám fogalmát, elkerülve a ” platonist ” aroma, elkerülve minden hivatkozást az ” absztrakt ” objektumokra. Nem ‘ nem vagyok meggyőződve arról, hogy Platónnak igaza van … de én ‘ meg vagyok győződve arról, hogy eddig nem hangos argumentum a ” kifejezésre, amely elmagyarázza ” milyen számokat talált, amelyek elkerülik a ” abstract ” objektumok vagy fogalmak.
• @MauroALLEGRANZA Nem akartam ‘ azt mondani, hogy az vagy. Husserl meglehetősen kritikusan gondolja azt az elképzelést, miszerint a számokat fizikai tárgyakra (konkrétan Millre) kell korlátozni, szerinte ” puszta utalás pszichés cselekedetekre vagy állapotokra amely biztosan éppúgy megszámolható, mint a fizikai tartalom, cáfolja ezt [div] = div id = “2b22048b23”>

Előszó

Két választ adtam erre a kérdésre:

• Ez a válasz a jobb válasz, és azt sugallja, Mr. Fine naiv halmazelméletre hivatkozik. Ezenkívül itt nincs nagy szigorú kísérlet, és Mr. Fine egyszerűen előreugrik érdeklődési témája felé. Ez a válasz az elsődleges válaszom.

• Megadtam egy másik válasz ugyanez a szál, mert az OP ragaszkodott ahhoz, hogy {A, A, A} tartalmat “három különálló elem” és jót tett. Egyébként egyáltalán nem volt meggyőző OP, akkor miért nem csak beleegyezik és megkapja a fejdíjat? 🙂

  A két válasz valójában kiegészíti egymást, mivel megmutatják, hogyan lehet ugyanazokat a matematikai jelenségeket leírni az axiómák, definíciók és szabályok különböző helyeken történő megváltoztatásával. Azt mondod, hogy TOE MAY TOE, én azt mondom, TOE MAH TOE. Mint kiderült, a másik válasz egy aranyos “matematikai bizonyítékot” tartalmaz, amely Mr. Fine gondolat: {A, A, A} három különálló elemet képvisel. Érdekes lehet látni, hogyan védtem meg egy ilyen javaslatot.

1. A könyv naiv halmazelméletre hivatkozik

A következő Google Könyvek link könnyebben hivatkozható: Az algebra számrendszere: elméletileg és történelmileg kezelve “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Published 1907). Az alábbiakban bemutatjuk az 1907-es könyv kérdéses részletét:

>

1. kérdés: Mivel $ A $ és $ A $ nem különböznek egymástól, csak $ A $ és A $ B $ megkülönböztethető (hacsak nem rabulisztikus és megkülönbözteti “az első $ A $ -ot képező festékfoltot” a “$ A $ -ot alkotó második festékfolttól”, de ez lehetetlenné teszi a megemlítést ezeknek a $ A $ s-nek a helye, mivel a betű (tintafolt) $ A $ egy adott betűt (tintafolt) szokott megemlíteni. A $ A $ a szándékkal ellentétben automatikusan eltér a tinta foltjától. ezekben az esetekben a $ A $ “ötletéről” beszélünk, vagyis a “$ A $” bármely példánya a szövegben ugyanarra az objektumra utal, amelyet önmagában a szövegen kívül kell gondolni (hogy az első hely, ahol a “$ A $” -ot használhatjuk, hogy $ A $ -ról beszéljünk. Csak ebben az értelemben: $ A = A $ (mert a papír festékeinek betonfoltjaiként eltérő a helyzetük, ettől eltérőek) és a két $ A $ A “$ A, B, A $” s-eknél nincs megkülönböztethetőség. A csoportod tehát megegyezik azzal, amelyiknek $ A, B $ (vagy ha tetszik) $ B, A $ elemei vannak, vagyis a szám $ 2 $.

2. kérdés: Még mindig nem azonosak az objektumokkal. Például. Felteheti az elsőt, a másodikat pedig a szekrényébe, miközben a harmadikat forró vasalással látja el; nyugodtan észrevenné az iit, ha valójában forrón vasalná a ugyanazt a inget, mint amit visel. Az ingeket nem lehet megkülönböztetni a “color” tulajdonságtól (ahogy azt megelőzően már nem lehetett megkülönböztetni például a “size” tulajdonságtól, feltételezem), de mégis megkülönböztethetők a “térbeli helyzet” tulajdonságával. Érdekes módon ez azt a problémát hagy bennünk, hogy nehézségekbe ütközünk, hogyan lehet azonosítani a mai ingeket a tegnapi ingekkel. Egy darabig el kell gondolkodni azon, hogy mit jelent a “különálló” (szemben a perhával a “megkülönböztethető”) és az “ugyanaz”.

3. kérdés: Az elemek megkülönböztetése (amely megengedheti az azonos színű ingeket) elengedhetetlen, mivel nem akarja újra megszámolni az ugyanazt a tárgyat (ezzel gazdag emberré válna, csak egyetlen érmével a zsebében). Teljesen (?) Eltérő megközelítés a “szám” meghatározása a halmazok ekvivalenciaosztályaként (és úgy tűnik, hogy a “finom” “csoport” az, amit ma “halmaznak” neveznénk) az “egyenlő számozhatóság” (azaz egy bijekció megléte) alatt. Így a 2 vagy a Két-ness fogalma megfelel (vagy valójában) az összes $ X $ halmaz osztályának, így létezik egy $ X $ bijection forma bármely meghatározott halmazhoz ) két elem, például $ \ {\ emptyyset, \ {\ emptyyset \} \} $. Ha (megfelelő) osztályokról van horrorod, észrevehetjük, hogy minden ilyen ekvivalenciaosztály tartalmaz egy speciális “egyszerű” halmazt, egy sorszám (legalábbis véges esetben, és általában a választott axióma feltételezésével).

Megjegyzések

• Mit értünk ez alatt dolgok száma ? Miért mondjuk az 1. negyedévben, hogy a G csoport: {A, A, B} 2 dolgot tartalmaz, miért ne 3-at, mert annak lennie kell, mert a G-csoportban 3 dolog van , még a G csoportban lévő két dolog is megegyezik, de léteznek, és számolnunk kell velük o. A dolgok száma kifejezést másként használjuk-e a matematikában, mint a szokásos életben? a számlálás primitív fogalma nem zavarja a különböző dolgok megkülönböztetését egy csoportban, miközben kiszámítja a csoportban lévő dolgok számát. Miért tettük a matematikában a no kifejezés ilyen jellegű szokatlan meghatározását. a dolgok ból.
• Uram, a kérdésemet közvetlenebbre szerkesztettem. Legalább megmagyarázná, mit értünk dolgok száma alatt.

“A dolgok száma” általában angolul: Csak a kifejezésben nincs elég információ ahhoz, hogy egy választ adhasson.

A probléma a “dolgok” kifejezés. Általában angolul ez néhányra utal a már meghatározott elrendezés, például egy dobozban lévő azonos színű vagy tojásszámú elemek száma, vagy egy telefonszámban szereplő “3” számjegy.

Enélkül a “szám” jelentése A dolgok sokszorosai – ez az objektumok száma bármilyen típusú és méretű tárolóban, bármilyen módszer szerint osztályozva.

Megjegyzések

• Tegyük fel, hogy van egy {A, A, A} csoport. Kérdezem, hány betű van ebben a csoportban ? Mi legyen a válasz.
• Kérjük, olvassa el a Típusok és tokenek
• @MauroALLEGRANZA linket adott elég érdekes. Úgy tűnik, hogy ” típus ” = ” Absztrakt objektum ” és ” Token ” = ” Konkrét “. A Me.Fine az outsaet könyvben így szól: ” Bizonyos különálló dolgokról azt mondjuk, hogy ezek csoportot alkotnak ” ” Dolog ” = ” konkrét ” = ” Token ” igazam van?
• @Mauro, sajnálom, de nektek visszafelé van. A ” dolog ” szó nem azt vezeti le, hogy ‘ jelentése ” Típus / Token filozófia “. A google.com/search?q=definition+thing definíciója a következőt tartalmazza: ” absztrakt entitás vagy fogalom: ‘ a gyász és a depresszió nem ugyanaz a dolog ‘. szinonimák: jellegzetes, minőség, attribútum, tulajdonság, tulajdonság, jellemző, pont, aspektus, aspektus, furcsa …
• @Mauro, ” véges a gyűjtemény ” nem utal konkrét dolgokra. Íme néhány absztrakt dolgok / elemek véges gyűjteménye: {1,2,3,4,5}, {szerelem, háború, béke}. Több mint valószínű, hogy elkerülte a végtelen halmazokat, mert azok akkoriban nagyon ellentmondásosak voltak: hu.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_elmélet .

Javaslom, hogy hasonlítsa össze a Finom definíciót az alábbiakkal vita, RL Goodstein, Rekurzív számelmélet (1957) :

A “Mi a matematikai entitás természete?” kérdés, amely több mint kétezer éve érdekli a gondolkodókat, és nagyon nehezen válaszolható meg. Még ezeknek az entitásoknak az első és legfontosabb, a természetes szám, megfoghatatlan a akarat-akarat, amikor a wc megpróbálja meghatározni azt. a körülöttünk lévő világban, amikor a szám definícióját keressük. A hét szám például nem különösebb gyűjtemény hét tárgyból, mivel ha lenne, akkor egyetlen másik gyűjtemény sem mondható hét tagúnak; mert ha a hétéves tulajdonságot azonosítjuk egy adott gyűjtemény tulajdonságaival, akkor a hétéves lét olyan tulajdonság, amellyel más gyűjtemény nem rendelkezhet. A hét szám meghatározásának ésszerűbb kísérlete az lenne, ha azt mondanánk, hogy a hétéves tulajdonság az a tulajdonság, amely hét tárgy összes gyűjteményében közös. Ennek a definíciónak a nehézségét az jelenti, hogy pontosan azt mondjam el, hogy a hét tárgyból álló összes gyűjtemény valóban közös (még akkor is, ha úgy teszünk, mintha valaha megismerkedhetnénk mind a hét tárgyból álló gyűjteményrel). Természetesen a gyűjtemény száma nem annak a tulajdonsága abban az értelemben, hogy az ajtó színe az ajtó tulajdonsága, mert megváltoztathatjuk az ajtó színét, de nem változtathatjuk meg a gyűjtemény számát anélkül, hogy megváltoztatnánk a gyűjteményt maga. Teljesen jó értelme azt mondani, hogy a korábban piros és most zöld ajtó ugyanaz az ajtó, de ostobaság azt mondani néhány gyöngyből álló kollekcióról, hogy ez ugyanaz a gyűjtemény, mint egy nyolc gyöngyből álló kollekció. Ha egy gyűjtemény száma egy gyűjtemény tulajdonsága, akkor ez a gyűjtemény meghatározó tulajdonsága, lényeges jellemző.

Ezzel azonban nem jutunk közelebb a válaszhoz a következő kérdésre: “Mi az, ami mind a hét tárgyból álló gyűjteményben közös?” Egy ilyen kérdés előrehaladásának jó módja az, ha feltesszük magunknak a kérdést: “Honnan tudjuk, hogy egy gyűjteménynek hét tagja van?” mert erre a kérdésre adott válasznak mindenképpen napvilágot kell hoznia, amely hét tárgyból álló gyűjteményben közös. Nyilvánvaló válasz, hogy a gyűjtemény számát a gyűjtemény megszámlálásával tudjuk meg, de ez a válasz úgy tűnik, hogy nem segít bennünket, mert amikor egy gyűjteményt számolunk, úgy tűnik, hogy nem teszünk többet, mint hogy a címkével ellátjuk a gyűjtemény minden egyes tagját egy szám. (Gondoljunk csak egy sor katonára, amely megszámlálódik.) Nyilvánvalóan nem adja meg a szám definícióját, hogy azt mondhassuk, hogy a szám egy gyűjtemény olyan tulajdonsága, amelyet úgy találunk meg, hogy számokat rendelünk a gyűjtemény tagjaihoz.

A gyűjtemény minden tagjának számmal történő felcímkézése, ahogyan a számlálás során tesszük, valójában két gyűjtemény tagjai, a megszámlálandó objektumok és a természetes számok közötti levelezés létrehozását jelenti. . Például egy hét objektumból álló gyűjtemény megszámlálásakor megfelelőséget alakítottunk ki a megszámlált objektumok és az egytől hétig terjedő számok között. Minden objektumhoz egyedi számot rendelünk, és mindegyik számot (egytől hétig) a gyűjtemény valamely objektumához rendeljük. Ha azt mondjuk, hogy két gyűjtemény hasonló, amikor mindegyiknek egyedi társultja van a másikban, akkor a gyűjtemény számlálásával elmondható, hogy meghatározzuk a megszámlált gyűjteményhez hasonló számok gyűjteményét.

A definíció gyengesége a levelezés ezen fogalmában rejlik. Honnan tudjuk, hogy két elem megfelel?A csészealjakban álló csészegyűjtemény csészéinek és csészealjainak nyilvánvaló a kapcsolata, de mi a kapcsolat mondjuk a bolygók és a Múzsák között? Hiába mondjuk, hogy ha nincs is szabadalmi levelezés a bolygók és a Múzsák között, könnyen létrehozhatunk egyet, mert honnan tudjuk ezt, és ami még fontosabb, milyen levelezést engedünk meg? A szám hasonlóság szempontjából történő meghatározásakor csupán a szám megfoghatatlan fogalmát helyettesítettük a levelezés ugyanolyan megfoghatatlan fogalmával.

Néhány matematikus megkísérelte elkerülni a számok meghatározásának nehézségeit, a számokat számokkal azonosítva. Az első számot az 1-es, a ketteset a 11-es, a hármat 111-gyel stb. De ez a kísérlet kudarcot vall, amint észreveszi, hogy a számok tulajdonságai nem a számok tulajdonságai. A számok lehetnek kékek vagy pirosak, nyomtatottak vagy kézzel írottak, elveszettek és megtalálhatók, de nincs értelme ezeket a tulajdonságokat a számoknak tulajdonítani, és fordítva, a számok lehetnek párosak vagy páratlanok, elsődlegesek vagy összetettek, de ezek nem a számok tulajdonságai.

A “szám” és a “szám” ellentéte a nyelvben gyakori, és talán legismertebb példája a “propositió” és a “mondat” kifejezéspárban található. A mondat a javaslat valamilyen fizikai ábrázolása, de nem azonosítható a javaslattal, mivel a különböző mondatok (például különböző nyelveken) ugyanazt a javaslatot fejezhetik ki. [lásd: típusok és zsetonok ]

A sakkjáték, amint azt gyakran megfigyelték, kiváló párhuzamot kínál a matematikával (vagy ami azt illeti, magával a nyelvvel). A számokkal megegyeznek a sakkfigurák, az aritmetikai műveletekkel pedig a játék mozdulatai.

Végül itt találjuk meg a választ a számok jellegének problémájára. Először azt látjuk, hogy a számok jelentésének megértéséhez a számok által játszott “játékra” kell figyelnünk, vagyis számtanra. A számok, az egyik, a kettő, a három és így tovább, az aritmetikai játék karakterei, az ezeket a karaktereket játszó darabok a számok, és ami az előjelet egy adott szám számjegyévé teszi, az a rész, amelyet játszik mondhatjuk a szövegkörnyezethez jobban illeszkedő szavak formájában, hogy egy adott szám előjele a jel átalakulásának szabályai. Ebből következik, hogy a tanulmány célja NEM SZÁM, DE A SZÁMJELEK ÁTALAKÍTÁSI SZABÁLYAI .

Interseting, de vitatható …

Több mint 60 évvel ezelőtt a Frege alredy bírálta ezt a nézetet; lásd Gottlob Frege, Számtani alaptörvények (1893), Philip Ebert új angol fordítását & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, xiii. Oldal:

[széles körben elterjedt tendencia, hogy csak azt fogadják el, ami érzékelhető. […] Most a számtani tárgyak, a számok észrevehetetlenek; hogyan lehet ezzel megbékélni? Nagyon egyszerű! Nyilvánítsa a számjeleket számoknak. […] Időnként úgy tűnik, hogy a számjeleket sakkfigurának tekintik, az úgynevezett definíciókat pedig játékszabályoknak. Ebben az esetben a jel nem jelöl semmit, hanem inkább maga a dolog. Egy apró részlet természetesen figyelmen kívül marad mindebben; nevezetesen, hogy egy gondolatot “3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2” kifejezéssel fejeznek ki, míg a sakkfigurák konfigurációja nem mond semmit.

Megjegyzések

• Emlékszem az izgalomra, amelyet akkor éreztem, amikor először olvastam Goodstein ‘ s bevezetését. ‘ nincs Frege-je, de ‘ nagyon jó, ha világos nézetet mondunk el, így ha valaki nem ért egyet, akkor pontosan mit mondjon.

A dolog száma “, ami egészen más a ” modern ” halmazelméleti megközelítés szerintem hasznos lehet a XIX. századi brit empricizmus filozófiai hagyományára utalni.

Különösen a filozófus John Stuart Mill munkájának egy részét A logikai, ratinocinatív és induktív rendszer (1843) szentelte az aritmetika alapjainak megvitatására.

Íme néhány rész, amelyek – remélem – tisztázhatják a Fine definícióját:

Három kavics két külön parcellában, és egy csomagban három kavics, nem teszik ugyanazt a benyomást az érzékeinkre, – és az az állítás, hogy ugyanazokat a kavicsokat a hely és az elrendezés megváltoztatásával el lehet hozni, hogy vagy az egyik, vagy a másik érzéskészlet létrejöjjön, bár nagyon ismerős felvetés, nem azonos. […]

Ennek a tudománynak [a számok tudományának] alapvető igazságai mind az érzék bizonyítékain nyugszanak – bizonyítják, hogy szemünknek mutatják és az ujjainkat, hogy tetszőleges számú tárgy, például tíz golyó, elválasztással és átrendezéssel érzékeink számára megmutathatja az összes különböző számkészletet, amelynek összege egyenlő tízzel. ( CW VII, 256-57)

Így amikor azt mondjuk, hogy a 12-es kocka 1782, akkor ezt megerősítjük: ha megfelelő mennyiségű kavics vagy bármilyen más tárgy birtokában összerakjuk őket, th egy bizonyos fajta parcellák vagy aggregátumok, amelyeket tizenkettőnek nevezünk; és ezeket maguk gyűjtsék össze hasonló gyűjteményekbe, – és végül tizenkettőt alkossanak ezekből a legnagyobb parcellákból: az így kialakult összesítés olyan lesz, amelyet 1728-nak hívunk; nevezetesen az, ami (hogy kialakulási módjai közül a legismertebbek legyenek) az ezer kavicsnak, a hétszáz kavicsnak, a húsz kavicsnak és a nyolc kavicsnak nevezett csomag összekapcsolásával készülhet el. ( CW VII: 611-12)

Mill naturalisztikus megközelítése a az aritmetika a ” alap ” csatlakozási és elválasztási folyamatokon alapszik, amelyek előidézik és lebontják ” összesíti ” fizikai objektumokat.

Mill empirikus nézetét élesen bírálta Gottlob Frege alapvető Die Grundlagen der Arithmetik jében ( A számtan alapjai ) (1884).

Mill matematika-filozófiájának bemutatásához lásd Philip Kitcher, a Mill, a matematika és a naturalista hagyomány t John Skorupski (szerkesztő), Cambridge Companion to Mill (1998), 57. oldal.

Hozzászólások

• Uram, köszönöm ezt az újabb nagyon hasznos választ . Időbe telik, mire ennyi kapcsolódó szöveget elolvasok (jelenleg azokat a könyveket vizsgálom, amelyeket Ön és mások korábban említettek). Van-e egy végleges könyv, amelyet teljesen a számtan történetének szenteltek? Egy könyv, amely a történelemtől kezdve elmagyarázza a dolgokat, majd elmozdulva elmagyarázza, hogyan alakult ki a modern számtan. Egy könyv, amely elmagyarázza az összes kapcsolódó dolgot, azaz ki, hogyan, mikor, miért a számtan. Egy hónap múlva két nagyon filozófiai (és technikai) kérdést teszek fel az aritmetikával kapcsolatban: pingeljek-e.
• A ” modern ” aritmetika filozófiája Kanttól kezdve (de JSMillről nem esik szó) láthatja Michael Potter, oka ‘ s Legközelebbi kin: A számtan filozófiái Kanttól Carnapig (2002).

A könyvben a “dolgok száma” gyakorlatilag elkülönül az ábrázolásuktól. Tegyük fel, hogy vannak olyan vendégei, akiket meghívnak egy partira. Mennyi a meghívott vendégek száma?

Ha 5 barátot hívsz meg, Johnnak, Frednek, Marynek, Jillnek és Barney-nak hívjuk őket. 5 vendég-barát- olyan dolgok, amelyeket meghívsz a buliba.

De most mi van, ha a buli álarcosbál, és mindannyian álruhában vannak. John szellemnek, Fred koboldnak, Mary boszorkánynak, Jill töknek és Barney dinoszaurusznak öltözött. Csak azért, mert ők most szellemek, koboldok, boszorkányok, tökök és dinoszauruszok nem változtatják meg a vendég-barát-dolgok számát, amelyeket meghívtak a bulira. Jellemzőik megváltoztak – már nem hasonlítanak a barátaidra, hanem mint álruháik.

Mi van, ha öten megkülönböztethetetlen szellemekbe öltözve jönnek. Ez azt jelenti, hogy azt mondjuk, hogy csak egy szellem érkezett a pártjára? Nem, mert még mindig megkülönböztethetők térbeli hely, érkezési idő, magasság, súly, lepedő színe stb.

Mi lenne, ha pontosan ugyanazt a jelmezt viselnék, és soha nem látnál többet egynél – olyan, hogy nem határoztak meg elválasztó tulajdonságokat nem biztos, hogy hány vendég-barát-dolog volt a partiján. EZ az átalakítás megsemmisítette azt a megkülönböztetést, amely ezt megelőzően elválasztotta őket, így ez nem megfelelő átalakítás a dolgok számának felsorolásához.

A “dolgok száma” ötlete a meghívásaival kapcsolatban kifejezetten a csoport tulajdonsága, így bármilyen változás (újraszámolás, újraszámozás, átrendezés, de NEM duplikálás, eltávolítás) , vagy az alkészletek számlálása), amelyek megőrzik az elemek megkülönböztetését, fenntartják ezt a tulajdonságot. Nem foglalkozik azzal, hogy az ingatlan értéke 1, 5 vagy egymilliárd milliárd, csak az, hogy a “dolgok száma” véges érték, amely megőrzi ezt a tulajdonságot.

a sima angol nyelvre a dolgok száma csak … az érdeklődő elemek száma. Ennél egyszerűbb nem lesz, és mivel ilyen egyszerű fogalom, nagyon nehéz olyan pontos definíciót írni, amely nem okoz problémát a lehetséges köznyelvi kifejezésekben.

Ez a kérdés (és sok kérdés, ami azt illeti) figyelmen kívül hagyja a matematikai elmélet célját, amely az axiómák adottként való kezelése. van egy (például) megkülönböztetés fogalmunk, majd vizsgáljuk meg ennek a fogalomnak a következményeit.

Más szóval lehetetlen feltenni a kérdést: “Hány elem van a $ \ halmazban {{ A, A, B \} $? “Anélkül, hogy először axiómákat adna a $ A $ és $ B $ értékekről. A szokásos matematikai szintaxis szerint ezt a kérdést valójában csak a $ \ {A, A”, B új címkézése után szabad feltennünk \} $ az összetévesztés elkerülése érdekében, de ez a kommunikáció és a praktikum kérdése, nem dogma és minden bizonnyal nem valamiféle igazság a halmazokról.

A matematika Roberto Unger szavai szerint “látomásos felfedezés”a világ szimulakruma “. Ha nem értesz egyet valakinek a jövőképével, az teljesen rendben van. De ha úgy gondolja, hogy problémája van magával a matematikával kapcsolatban, akkor valószínű, hogy a nyelvével való visszaéléssel saját ellentmondásait generálja. Ha tisztában van azzal, hogy a megkülönböztetés fogalmának milyen tulajdonságokkal kell rendelkeznie, akkor a halmazelmélet érvényesül , csak az a kérdés, hogyan. Nem a megkülönböztetés egy meghatározott formáját írja elő, hanem a megkülönböztetés minden formája közötti közös vonásokat tárja fel.

Úgy tűnik, hogy a kérdésedre adott válasz erősen összefonódik azzal, hogy mi a “dolog”. Lehet, hogy tisztában van azzal, hogy elvont kérdésként a fizikus közösségben többször is feltették a kvantumtérelmélet és a kvantummechanika alapjai kapcsán (lásd például Paul Teller és Chris Isham). Az egyik következtetés az, hogy el kell utasítani egy dolog, mint lényeg lényegét, amelyhez a tulajdonságok “ragaszkodnak”. Ezt írja Teller a “címkézett tenzortermék Hilbert-űrformalizmusának” problémaként, mivel ez összeegyeztethetetlen a ténylegesen megfigyelt fizikai viselkedéssel. Tehát, ha a “dolgok száma” egyetemes definícióját akarja, akkor nem kerülheti el ezeket a megfontolásokat azzal kapcsolatban, hogy mi a dolog és mi a megkülönböztethetőség fizikai szempontból. nem a miénk).

Csak azért, hogy egy példát mondjak, mondjuk azt, hogy egy foton van a jobb kezében és egy a bal kezében. Megkülönböztetheti őket, hivatkozva arra, hogy melyik kézben vannak. Tehát “a zsebükbe helyezés módjainak száma 2” (először a bal, majd a jobb vagy fordítva) . Azonban, miután a zsebükbe kerülnek, fizikailag megkülönböztethetetlenné válnak, és “a kiszedés módjainak száma” 1 (kijön az egyik, majd a másik). “comments”>