Mit jelent Boltzmann entrópia-meghatározása?

Ennek a definíciónak két nyilvánvalóan kívánatos jellemzője a következő:

• Ha két rendszert egymás mellé helyezünk, egy rendszernek tekintve őket, akkor a lehetséges mikropozíciók teljes száma $ \ Omega_t $ megegyezik a két rendszer $ \ Omega $ s szorzatával, $ \ Omega_t = \ Omega_1 \ times \ Omega_2 $. De t rendszere az entrópia az entrópiák összege, jelezve az exponenciális definíció szükségességét.
• A $ \ ln $ függvénynek megvan az a tulajdonsága, hogy egy rendszer mikrovállalkozású $ entrópiájával (\ Omega = 1 ) $ nulla, ami kívánatos.

Ez a reláció megszerezhető az egyenlő a priori valószínűségek feltételezéséből, vagyis hogy az egyensúly megegyezik a makrostátumnak és a mikrostátumok maximális számának:

Tekintsünk két izolált rendszert, külön egyensúlyban, mindegyik makrostátussal $ E_i ^ {(0)}, V_i, N_i $ (energia, térfogat, részecskék száma). Mindegyiküknek összesen $ \ Omega_i (N_i, V_i, E_i ^ {(0)}) $ lehetséges mikropatikája van.

Most hőérintkezésbe hozzuk őket, hogy energiát cserélhessenek. Ezt követően “$ E_t = E_1” + E_2 “= \ text {konstans} $ lesz. Az egyes rendszerekhez tartozó $ N $ és $ V $ változatlanok maradnak. Az egyes rendszerek lehetséges mikropatjai összesen $ \ Omega_i (N_i, V_i, E_i “) $ és az összetett rendszerhez: $$ \ Omega = \ Omega_1 (N_1, V_1, E_1”) \ times \ Omega_2 (N_2, V_2, E_2 “) = \ Omega_1 (E_1”) \ Omega_2 (E_2 “) = $$ $$ \ Omega (E_t, E_1) $$

Az egyensúly feltételezése abban az esetben következik be, amikor a maximális $ \ Omega $ , megtaláljuk a $ E_1 ^ * $ (és ennélfogva a $ E_2 ^ * $) értékét, amely maximalizálja a $ \ Omega (E_t, E_1) $ értéket: $$ d \ Omega = 0 \ balra (\ frac {\ részleges \ Omega_1 (E_1)} {\ részleges E_1} \ jobb) _ {E_1 = E_1 ^ *} \ Omega_2 (E_2 ^ *) + \ Omega_1 (E_1 ^ *) \ bal (\ frac {\ részleges \ Omega_2 (E_2)} {\ részleges E_2} \ jobbra) _ {E_2 = E_2 ^ *} \ frac {\ részleges E_2} {\ részleges E_1} = 0 \ címke {1} $$ $$ \ frac {\ részleges E_2} {\ részleges E_1 } = – 1 \ – $$ $$ \ beta_1 = \ balra (\ frac {\ részleges \ ln \ Omega_1 (E_1)} {\ részleges E_1} \ jobbra) _ {E_1 = E_1 ^ *} = \ balra (\ frac {\ részleges \ ln \ Omega_2 (E_2)} {\ részleges E_2} \ jobb) _ {E_2 = E_2 ^ *} = \ beta_2 \ címke {2} $$

Természetesen elvárjuk t ezek a $ \ beta_1 $ és $ \ beta_2 $ mennyiségek a rendszerek hőmérsékletéhez kapcsolódnak. A termodinamikából tudjuk, hogy $$ \ left (\ frac {\ partitális S} {\ részleges E} \ jobb) _ {N, V} = \ frac {1} {T} \ tag {3} $$ $ (összehasonlítva) 2) $ és $ (3) $, arra a következtetésre juthatunk, hogy: $$ \ frac {\ részleges S} {\ részleges (\ ln \ Omega)} = k $$ vagy $$ \ Delta S = k \ ln \ Omega $$ ahol $ k $ állandó.

Megjegyzések

• Tehát a $ \ ln $ önkényes, igaz?
• @jinawee Miért önkényes? Nem eredményez ‘ t $ (1) $ $ \ ln $ eredményt?
• Felejtsd el, Shannonra gondoltam ‘ s entrópia: stats.stackexchange.com/a/87210/31711 .

Musztafa válasza a logaritmikus függőség egyik fontos okát adja: a mikrostátusok szaporodnak, míg mi “mint egy rendszer külső tulajdonsága, hogy additív legyen. Tehát egyszerűen szükségünk van egy izomorfizmusra, amely a szorzást összeadássá változtatja. Az egyetlen folytonos a “csúszószabály izomorfizmus”, más néven a logaritmus. A $ e $ alap tetszőleges, amint az Musztafa válaszából kiderül: használhat bármilyen pozitív bázist (1-től eltekintve!), És ahogy bázisállományt kell beállítania a Boltzmann $ k_B $ konstansra, hogy elnyelje a multiplikatív bázisváltozási tényezőt.

De a lehetséges mikropozíciók számának információelméleti vizsgálata más mély okokat is mutat a fenti. A Shannon zajmentes kódolási tétel igazolása megadja az információs entrópiának (logaritmikusnak is) a munka jelentését: ez a bitek minimális száma, ill. “igen-nem” válaszok száma, amelyekre meg kell válaszolnunk, hogy egyedileg azonosítsuk az adott mikrotestületet, feltéve, hogy mindegyik egyformán valószínű. Képzelje el az összes lehetséges mikrostátust valamilyen lexikográfiai sorrendben, majd képzelje el, hogy “fájlban” tartja őket egy adatbázisban, bináris fa: A bináris fán lefelé haladva megtalálja az adott mikrostátust, és az út során szükséges ágak számát (p a keresési és visszakeresési idővel arányos) $ \ log_2 \ Omega $.Vagy intuitív módon az entrópia annak a legrövidebb könyvnek a hossza, amelyet meg kell írnia, hogy leírja egy adott mikroszintet, adott rendszer makroszkopikus tulajdonságai alapján. Ez néhány könyv: ha csupán egy joule hőt adunk egy rendszerhez egy kelvin fokon (hidegebb, mint a kozmikus mikrohullámú sugárzás a mély űrben), akkor nagyobb könyv, mint az egész világháló 2013 végén , hogy leírja a rendszer mikropozícióját!

Mint mondtam, a $ \ log_e $ szót használhatja a $ \ log_2 $ helyett mindaddig, amíg nyomon követi a fizikai állandók alaptényezőjének multiplikatív változását ($ k_B $ és $ T $ meghatározása).

2. szakasz (figyelmesen olvassa el) és a cikk függeléke:

E. T. Jaynes: “Információelmélet és statisztikai mechanika” .

szintén szilárd motivációt ad a logaritmusra és az entrópia képletre, mivel ezek az egyedülálló függőség az összes a következő tulajdonságok:

1. Ez a mikropozíciók $ p_i $ valószínűségének folyamatos függvénye;
2. ha minden mikropozíció egyformán valószínű, akkor ez a $ \ Omega $;
3. Ha a mikrostátumok halmazát önkényesen felosztjuk tetszőleges részhalmazokra, majd ezeket az alhalmazokat egyetlen eseményként gondoljuk egy új “állapottérben” – az első “durva szemcséjű” változatával ahol maguk az új események entrópiákkal rendelkeznek $ H_i $ és az $ p_i $ valószínűségekkel, az eredeti állapottérből számítva, akkor dolgozzuk ki a teljes állapotterület entrópiáját, mint $ \ sum p_j \, H_j $, akkor ugyanazt a választ kapjuk az entrópiához, függetlenül attól, hogy feloszthatjuk-e a mikropozíciókat.

Ha belegondolunk, az utolsó (3) pont a th A “szorzás összeadássá válik” ötlet, amelyet Musztafa válaszában fejeznek ki.

Az entrópiával először a klasszikus termodinamikában találkoztak, és a következőképpen határozták meg:

$$ \ mathrm dS = \ frac { \ delta Q} {T} $$, ahol $ Q $ a termodinamika első törvényéből származik

$$ \ Delta U = Q- W $$

és $ T $ a hőmérséklet; $ W $ a rendszer által végzett munka.

Miután kísérleti úton megállapították, hogy az anyag mikro szinten diszkrét, azaz molekulákból áll, az anyag statisztikai viselkedése vált az alap keretrendszerévé, amelyből a klasszikus termodinamika kialakul.

Az első A törvény az energia megőrzése, amely szintén szigorú törvény a mikroszisztéma együtteseiben.

A statisztikai mechanikában megállapították, hogy a A részecskék átlagos kinetikus energiája összefügg a hőmérséklettel.

A klasszikus entrópia megjelenésének és a statisztikai mechanikai eredetű entrópiával való azonosításának módja nem egyszerű.

A statisztikai meghatározást Ludwig Boltzmann fejlesztette ki az 1870-es években a rendszer mikroszkopikus komponenseinek statisztikai viselkedésének elemzésével. Boltzmann kimutatta, hogy ez az entrópia definíció egyenértékű a termodinamikai entrópiával egy állandó számon belül, amelyet azóta Boltzmann állandójának neveznek. Összefoglalva, az entrópia termodinamikai meghatározása az entrópia kísérleti meghatározását adja meg, míg az entrópia statisztikai meghatározása kiterjeszti a koncepciót, magyarázatot adva és mélyebben megértve annak természetét.

Ez a cikk például bizonyítja (42. egyenlet), hogy a statisztikai mechanikai entrópia azonos a klasszikus termodinamika entrópiájával. A logaritmikus függőség az egyenértékűség bizonyításának matematikájából származik.