Hadd emlékeztessem Önöket (vagy esetleg bemutatom) a kvantummechanika néhány aspektusát általában mint modellt f vagy fizikai rendszerek. Számomra úgy tűnik, hogy sok kérdésedre megválaszolhatók ezen általános szempontok jobb megértése, majd fellebbezés arra, hogy miként jelennek meg a spin rendszerek különleges eseteként.

Általános megjegyzések a kvantumállapotokról és a mérésről.

A kvantumrendszer állapotát egységnyi hosszúságú elemként modellezik $ | \ psi \ rangle $ egy bonyolult Hilbert-hely $ \ mathcal H $, egy speciális fajta vektortér, amelynek belső szorzata van. Minden megfigyelhető mennyiség (például lendület vagy spin), amely egy ilyen rendszerhez kapcsolódik, amelynek értékét érdemes mérni, egy önadjunkt operátor $ O $ képviseli ezen a téren. Ha egy eszközt épít egy ilyen megfigyelhetőség mérésére, és ha ezt az eszközt használja annak mérésére, hogy ez megfigyelhető legyen a rendszeren, akkor a gép kiadja a megfigyelhető sajátértékét $ \ lambda $. Sőt, ha a rendszer $ | \ psi \ rangle $ állapotban van, akkor annak a valószínűsége, hogy az adott mennyiség mérésének eredménye a megfigyelhető sajátértéke lesz, \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} ahol $ | \ lambda \ rangle $ a $ \ lambda $ sajátértéknek megfelelő normalizált sajátvektor.

Szakterület a rendszerek fonására.

Tegyük fel most, hogy az általunk figyelembe vett rendszer egy részecske spinjéből áll. A Hilbert-tér, amely a rendszer spin-állapotát modellezi spin $ s $ -val, egy $ 2s + 1 $ dimenziós Hilbert-tér. Ennek a vektortérnek az elemeit gyakran “spinoroknak” nevezik, de ne hagyja, hogy ez elvonja a figyelmét, csakúgy, mint bármely más Hilbert-térbeli vektor, amelynek feladata a rendszer kvantum állapotának modellezése. p> Azok az elsődleges megfigyelhető elemek, amelyek mérését általában a spin-rendszereknél tárgyalják, a rendszer spinjének derékszögű komponensei, vagyis három önadduktív operátor létezik, amelyeket hagyományosan $ S_x, S_y, S_z $ neveznek, amelyek sajátértékei a lehetséges értékek kaphat, ha valaki megméri a rendszer ezen komponenseinek egyik spinjét. Ezen operátorok spektruma (sajátérték-halmaza) megegyezik.A $ s $ spin-rendszer esetén mindegyik spektrumuk a következő értékekből áll: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} ahol a jelölésemben $ i = x, y, z $. Tehát például, ha épít egy gépet egy spin- $ 1 $ rendszer centrifugálásának $ z $ komponensének mérésére, akkor a gép megadja a $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar értékek egyikét \} $ minden alkalommal. Ezen sajátértékeknek megfelelõen minden spin-komponens operátornak van egy normalizált sajátvektora $ | S_i, m_i \ rangle $. Amint azt a fenti általános megjegyzések jelzik, ha a rendszer állapota $ | \ psi \ rangle $, és meg akarjuk tudni annak valószínűségét, hogy a $ S_i $ centrifugálási komponens mérése bizonyos értéket eredményez $ m_i \ hbar $ , akkor egyszerűen kiszámítja a \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2 parancsot. \ end {align} Például, ha a rendszer spin- $ 1 $ értékű, és ha valaki meg akarja tudni annak valószínűségét, hogy $ S_y $ mérése megadja a $ – \ hbar $ sajátértéket, akkor kiszámítja \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinorok.

A fenti összefüggésben a spinorok egyszerűen egy adott spinrendszer állapotainak mátrixábrázolása bizonyos rendezett alapon, a Pauli spin-mátrixok pedig normalizálásig a a spin komponens operátorok ezen az alapon kifejezetten egy spin- $ 1/2 $ rendszerhez. A mátrix reprezentációk gyakran megkönnyítik a számítást és a fogalmi megértést, ezért használjuk őket. B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $, amelyek a spin $ z $ komponensének normalizált sajátvektoraiból állnak, akkor a következő mátrix reprezentációkat találnánk ezen az alapon \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Figyelje meg ezek az ábrázolások pontosan a Pauli mátrixok az extra $ \ hbar / 2 $ faktorig. Ezenkívül a rendszer minden állapotát egy $ 2 \ 1x $ mátrix képviseli, vagy “spinor” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} Ezeket az ábrázolásokat felhasználhatja a fent említett számítások elvégzésére.

Megjegyzések

• Nagyon köszönöm; ez segített a megértésben. Csak az a szokás, hogy a negatív sajátértékeket visszaadó sajátállamok spin ‘ lefelé ‘ és pozitív spin ‘ fel ‘? Megértésem ellenőrzéséhez megpróbáltam kiszámolni a fenti példát: igaz, hogy egy spin-1 részecske, amelyet az x dimenzióban felfelé mérnek (sajátérték hbar) normalizált állapotban legyen < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > és az az dimenzió valószínűsége A mérés visszaküldése ekkor 1/4, a spin null értéke 1/2 és lefelé 1/4 lesz?
• +1 Különösen szeretem a ” gépeit ” az első bekezdésben – íze nagyon feynmani. Sok éven át küzdöttem azért, hogy ” megértsem ” QM: a matematika és a hazugságelmélet szokásom volt, de sok időbe telt nekem megérteni, hogy a ” operátorok ” nemcsak az operátorok, hanem külön receptet is kaptak, hogy miként értelmezhetők ” mérőgépek “. Sajnos ‘ nem tudom felidézni, hogy a Feynman előadások vagy Sakurai kapták-e át az üzenetet, vagy valóban a kettő keveréke volt-e a zuhany alatt vagy közben gyaloglás, de ezeket most ajánlom az embereknek.

A csoportok absztrakt matematikai struktúrák, meghatározottak topológiájukkal (folytonos (Lie) csoportok esetén) és a szorzási művelettel.

De elvont csoportokról szinte lehetetlen beszélni. Ezért általában a csoportok elemeit leképezzük valamilyen $ V $ vektortérre ható lineáris operátorokra:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

ahol G a csoport, a $ \ text {End} (V) $ a $ V $ endomorfizmusait (lineáris operátorok) jelenti, a $ \ rho (g) $ pedig a leképezést .Annak érdekében, hogy ez a leképezés értelmes legyen, megfelelően kell feltérképeznünk a csoportok szorzását:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Az inverz is hozzárendelve

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

és a csoport identitása csak

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Ezt hívjuk a $ G $ csoport reprezentációjának. A $ V $ átalakul a $ G $ csoport $ \ rho $ reprezentációja alatt.

Az Ön esetében az érdekelt csoport a három dimenzióban lévő forgatások csoportja, amelyet általában SO (3) -ként jelölünk. Célunk különböző forgatható objektumok megtalálása, azaz az SO (3) reprezentációi (és reprezentációs terei).

Az egyik ilyen reprezentáció a definiáló reprezentáció (amely az SO (3) definiálására szolgál) , vagy a vektorábrázolás. Ebben az esetben a $ V $ csak $ R ^ 3 $, és a $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ mátrixai derékszögű $ 3 \ szorzat 3 $ mátrixok egységdefinánssal:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Így a vektorok 3 dimenzióban forgathatók. A $ g \ in \ text {SO (3)} $ ilyen elforgatásának eredményét úgy határozzuk meg, hogy a kezdeti vektorra hatunk az $ \ rho (g) $ operátorral.

Egy másik ábrázolás a spinor reprezentáció. A vektortér most 2-dimenziós és összetett . Az ábrázolás képe egységes $ 2 \ 2-szeres egységből áll, egységdefinánssal:

$$ A ^ {\ tőr} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Ez az ábrázolás nem annyira nyilvánvaló, mint az előző, mivel a spinorok olyan dolgok, amelyeket általában nem látunk a mindennapi életben. De matematikailag bizonyítható, hogy ezek az ábrázolások izomorfak, ezért ugyanazon csoport két különböző ábrázolása. (valójában homomorfak, és a spinor reprezentáció a vektorábrázolás kettős burkolata).

Most a Pauli-mátrixokhoz. Van egy általános elv: minden $ G $ Lie-csoport esetében létezik egy megfelelő lineáris szóköz (Lie algebra) egy Lie-zárójelgel (a Jacobi-azonosságot kielégítő antikommutatív művelet), amely egyedülálló módon leképezi a $ G $ csoportegység néhány szomszédságát. Ezt a leképezést exponenciálisnak hívják.

Tehát írhat egy tetszőleges (elég közel az egységhez a globális topológiai problémák elkerülése érdekében) $ 2 \ szor 2 $ komplex mátrix fr om a spinor ábrázolása formában

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

ahol A $ \ alpha ^ a $ három olyan szám, amelyek paraméterezik a csoport elemet, amelynek ábrázolása $ A $, és az $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ a Lie algebra alapú, $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ alkalommal 2 $ Pauli mátrix. Ez az egyenlet nagyjából meghatározza, hogyan alakul át egy spinor egy tetszőleges forgatás alatt.

A vektorábrázolásban található egy Lie algebra alap is, amely 3 $ 3 \ szorzat 3 $ mátrixból áll.

A Pauli-mátrixoknak két másik értelmezése is hasznos lehet, bár csak azután, hogy megértette JoshPhysics kiváló fizikai leírása . Az alábbiak inkább ” funky trivia ” (at legalábbis érdekesnek találom őket) a Pauli-mátrixokról, nem pedig fizikai értelmezésről.

1. A $ \ mathfrak {su} (2) $

Az első értelmezést különbözőképpen tekintik (i) egység kvaternereknek, modulo jelváltozásnak és a matematikus definíciójának átrendezésének. ezek a vadállatok , (ii) a Lie algebra alapja $ \ mathfrak {su} (2) $ / $ SU (2) $ , amikor a mátrix exponenciálist használjuk a $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ – (iii) háromdimenziós általánosítása De Moivre tétel .

Általános, nyomon követhetetlen, $ 2 \ times2 $ ferde hermetikus mátrix $ H $ egyedülálló módon bontható fel:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

with $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Ez a mátrix teljesíti a karakterisztikus $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ egyenletet, ahol $ \ mathrm {id} $ a $ 2 \ times2 $ identitás és $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Tehát, ha az univerzálisan konvergens mátrix exponenciális Taylor-sorozatot telepítjük, majd a karakterisztikus egyenlettel a lineáris tagnál magasabb $ H $ összes hatványát csökkentjük, akkor a következőt kapjuk:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

amely a De általánosítása Moivre képlete a ” tiszta képzeletbeli ” egység

$$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

és a $ SU (2) $ összes tagját meg lehet valósítani egy olyan exponenciálissal, mint a (2) (de ne feledje, hogy a Lie algebra exponenciája, bár ebben az esetben a $ SU (2) $ egésze, nem mindig az egész Lie csoport, hacsak a lat ter (i) összekapcsolt és (ii) kompakt). Így a $ SU (2) $ minden tagja felbontható a Pauli-mátrixok ” egységhosszúságú egységeként identitásmátrix.

A $ \ theta / 2 $ definícióban szereplő 2-es tényező oka eddig rejtélyes: tanúskodjon arról, hogy a fentieket ugyanúgy megkönnyíthetjük a $ \ theta / 2 $ helyébe $ \ theta $ . Az ok a Pauli-mátrixok és az Égi szféra kapcsolatához kapcsolódik, amelyet később tárgyalok. A kvaternionok egy forgatótérképen keresztül mutatják az elfordulásokat ( DE , ahogy Joshphysics tanácsolja, ez a szó ne vonja el túlzottan a figyelmét); ha a 3 térbeli vektort a $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ alakzat tisztán képzelt kvaternionja képviseli , majd a képe $ \ theta $ szögelfordulás alatt egy koszinusz irányú tengely körül $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ adja meg:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ tőr; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Ez a spinor térkép a csoport példája $ SU (2) $ a saját Lie algebrájára hat a mellékábrázoláson keresztül. háromszög szabály két forgatás kompozícióinak kidolgozására, az alábbi diagramom vázlatain. Az egységgömbön lévő ívek egy olyan szögben történő elfordulást jelentenek, amely kétszer nagyobb, mint amit az ív az origónál meghúzott szög ad.

Ezt részletesen elmagyarázom a 1.4. példában. ” $ 2 \ times2 $ Unitary Group $ SU (2) $ ” a weblapomon ” Néhány példa a kapcsolódó hazugságcsoportokról ” itt .

Itt található az interaktív Mathematica bemutatóm is ” A $ SU (2) $ Spinor Map: Forgatás összetétele grafikus kvaternion háromszögek szerint ” a Wolfram bemutató webhelyén .

2. Az égi gömb

A Pauli-mátrixok szuperpozícióinak 3 dimenziós lineáris terének kibővítésével (amely megegyezik a traceless lineáris terével $ 2 \ times2 $ ferde-hermitita mátrixok) a Pauli-mátrixok és az azonosság-mátrixok által lefedett 4 dimenziós térre, majd a $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ a $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + alakú vektorokra hat z \, \ sigma_z $ ugyanazon spin-térképen, mint a (4) -ben. Ha ebben a térben vetítősugarakra szorítkozunk, akkor a $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ csoport a A Möbius-transzformációk ugyanúgy hatnak erre a sugártérre, mint a Möbius (frakcionális lineáris) transzformációk a Riemann-szférára. A $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ a Lorentz csoport kettős borítója, és kiszámíthatja, hogyan változik az űrutazó nézete, ahogy Lorentz átalakulásokon mennek keresztül. Lásd a ” Lorentz-átalakítások ” részt a Wikipédián a ” Möbius átalakítás ” oldal további részletekért.

Általános mechanikai magyarázat. A mezők és a hullámok hiperbolikus egyenleteket követnek (hullámegyenletek). Ezek a térben és az időben való előrehaladást jelentik, és mint ilyenek nem képviselhetik a tömeget, amelynek helyhez kötöttnek kell lennie, de lehet, hogy forog is. Ilyen mozgáshoz elliptikus egyenletre van szükség. Például a Kline-Gordon egyenlet hiperbolikus, míg a Dirac egyenlet elliptikus. Egy áramló folyadékban van egy párhuzamos példa. Örvények és turbulencia nem képződhet egy határ segítsége nélkül – hogy elterelje az áramlást a keringő állapotba való haladásról. Az első régió hiperbolikus, a második pedig elliptikus.

Most, hogy egy mezőből részecskét (forgó energiát) hozzunk létre (helyzetben mozogva), el kell terelnünk / el kell forgatnunk a mező irányát. Itt jönnek a Pauli-mátrixok segítségért, és megadják a szükséges ellipticitást. Ezért képzeletbeli számokat / forgatást használnak. Ha egy i-vel szorzunk egy mennyiséget, 90 fokkal elforgatjuk, egy általános szög esetén egy képzeletbeli mennyiség exponenciáját használjuk.

Később, amikor a hullámok és részecskék Lagrangianjait egy általánosabb modellben keverjük össze, vissza arra, hogy a Higgst használja ugyanazon energia átalakításának a másikra történő átalakításához – vagyis a mezőktől a részecskékig és fordítva.