Egy szabályos pentagrammban (5-ágú csillag) az egyes pontok szöge 36 fok, tehát mind az öt pont szöge összeg 180 fokra:
Mi a helyzet egy szabálytalan pentagrammal, például a következőkkel?
Most már a szögek is különbözhetnek egymástól; a helyzet sokkal bonyolultabb. Be tudja bizonyítani, hogy az öt pont szögei még mindig 180 fokosak?
Korlátozások (annak tisztázása érdekében, hogy ez nem matematikai probléma [szemben a matematikai kirakóval], sem pedig a számítás vagy a fejlett euklideszi geometria gyakorlata):
- nem engedélyezett számtani műveletek (összeadás, szorzás, …)
- egy új vonalszakaszt rajzolhat a csillagra, de ennél többet nem
Kommentek
- Sajnálom rand, de szerintem ez csak egy újabb matematikai probléma … (” bizonyít “, ” szögek “, ” összeg “, ” 180 fok “)
- @MarkN A kanonikus metapost erről, a matematika puzzle jele a probléma -val szemben ea okos vagy elegáns megoldás, gyakran ” aha ” pillanat , váratlan problémamegállapítás , vagy váratlan vagy ellentmondásos eredmény . Az általam gondolt megoldásnak feltétlenül az első ilyen tulajdonságai vannak, az IMO-nak pedig az utolsó kettő is.
- Ez nem ‘ ta matematikai rejtvény – ez ‘ egy logikai puzzle. Ezt a logikát általában olyan embertől tanulja meg, aki matematikát is tanít.
Válasz
$ \ hskip 1.5in $ 
nem álmodozó?
Ez egy nyíl képe, amely végigsöpri az egyes szögeket a Csillag. Figyelje meg, hogy miután az összes $ 5 $ szöget nyomon követi, az iránya megfordul – vagyis $ 180 ^ {\ circ} $ értéket fordított, és ennek a szögek összegének kell lennie. Ugyanezt tehetjük az ábrán szereplő csillaggal, ergo, szöge is $ 180 ^ {\ circ} $ összegű.
Általánosítás:
Ugyanezt megtehetjük egy ilyen figurával is, amelynek szöge $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 itt: $ 
Háromszögre is megtehetjük. A fontos tulajdonság ez:
A csillagnak belső nek nem lehet csúcsa a kúpig, amelyet egy sugár áthalad. egy adott szöget.
Ennek a feltételnek eleget téve – ami alapvetően azt mondja, hogy soha nem kell “figyelmen kívül hagynunk” a csúcsokat, ehelyett csak elforgatjuk a nyilat és megnézzük, mi az találatok – azt tapasztaljuk, hogy a csúcsokat “óramutató járásával megegyező irányban” tudjuk megrendelni, így minden szögben a nyíl feje vagy farka a sorrendben a következő csúcshoz lép (és melyik váltakozik). Nyilvánvaló, hogy mind a fej, mind a farok teljes fordulatszámot fog elérni, ha a csúcsok kétszer annyi szöget követnek be, így a kívánt eredményt kapjuk.
(Feltételemet kifejezhetjük úgy is, hogy “a csúcsokhoz $ 1 $ számokat rendelünk keresztül $ 2n + 1 $ óramutató járásával megegyező sorrendben, a központi pontról nézve, meg kell, hogy $ 1 $ csatlakozzon a $ n $ és $ n + 1 $ dollárhoz, és az összes többi pont hasonlóan legyen összekapcsolva “)
Megjegyzések
- (Továbbá, mit ér ‘, nagyon tetszett ez a rejtvény, még akkor is, ha a válaszom nem az szándékolt – jó volt, ” Nos, hogy ‘ s nyilvánvaló ” pillanat, majd néhány órás intenzív fejkarmolás, megpróbálva kideríteni, miért nyilvánvaló, majd ” Aha! Ez volt nyilvánvaló! “)
- Véleményem szerint a megjegyzés erre a viccre utal ? =)
- Elfogadva, mert ‘ még szebb, mint az a válasz, amelyet szintén kerestem, és általánosítást is tartalmaz.
Válasz
Helyezze a ceruzát az 1. sorba.
Forgassa el a ceruzáját úgy, hogy egy vonalba kerüljön a 2. vonallal. Csak az óramutató járásával ellentétes irányba forgatta a pentagramma tetején lévő szöggel.
Most forgassa el ismét az óramutató járásával ellentétes irányba 3. Ezután ismét a 4., majd az 5. sorra, végül vissza az 1. sorra. Éppen egymás után forgatta ceruzáját a pentagramma mind az öt szögében.
És mi történt? A ceruza most ugyanazon a vonalon fekszik, ahonnan indult, és az ellenkező irányba mutat.Ha nyomon követi, hogy a ceruza melyik irányba mutat az egyes lépéseknél, láthatja, hogy összesen fél fordulattal az óramutató járásával ellentétes irányba forgatta. Innen $ 180 ^ \ circ $.
Megjegyzések
- Ez gyönyörű bizonyíték lesz, ha megcsípjük, hogy kizárjuk a lehetőség forgatását ceruzával áthúzza a $ 180 ^ \ circ $ más páratlan többszörösét. ezzel a heptagrammal a ceruza szintén az ellenkezője felé mutat, de 540 $ ^ \ circ $ értéket forgatott
- Folyamatos a referencia pentagramma bármely deformált pentagrammá. Így a forgatás nem ugrálhat 180∘ egyik többszöröséről a másikra.
- Alapvetően bármely $ \ {m: n \} $ – gramm, ahol $ n < \ frac m 2 $ elforgatja a $ 360-szor (\ frac m 2 – n) $ fokot.
- Szép magyarázat Lopsy … egyszerű, tiszta 🙂 Azt akartam mondani, hogy 4 szöget készítsen és vizuálisan kezdd el csökkenteni őket 0-ra .. gondolkodj el azon, hogy néz ki a csillag, mivel ez megtörténik … az 5. szög folyamatosan növekszik, hogy elhelyezkedhessen … amíg a 4 szög 0-ra nem válik, és az ötödik 180-ra (azaz egyenesre) ..: ) De nekem jobban tetszik a Lopsy ‘ magyarázata ..;)
- A válasz szépsége, hogy nem ‘ t matematikai bizonyítékként olvasható. Bárki megértheti.
Válasz
Itt van egy újabb bizonyíték.
Címke a pontokat az ábrán látható módon, és rajzolja meg a vonalas szegmens CD-jét. Az A, B, stb. használatával jelölje meg azokat a szögeket, amelyek összege megkérésre kerül. leírás itt
Most
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (szögek egy háromszögben)
Tehát elegendő bizonyítani, hogy
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Most
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ és $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Tehát elegendő bizonyítani, hogy
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
ami nyilvánvalóan igaz, mert
Az LHS a $ \ angle DFC $ , az RHS pedig a $ \ angle EFB $ kiegészítője , ahol a $ \ angle DFC $ és $ \ angle EFB $ egyenlő, mert függőlegesen ellentétes .
Megjegyzések
- Ezt a választ kerestem.
- Tehát nagyjából megdöntheti ezt a megoldást 2 szabályra: a háromszögekben lévő szögek = 180 és a 2 metsző egyenes ellentétes szögei egyenlőek.
- @randal ‘ thor Ez a megoldás kiegészítéssel is jár, tehát nem felel meg a korlátozásainak, vagy módosítania kell a korlátozásait.
- Igen, azt mondtam, hogy ez nem olyan, mint az, de az egyik legtöbb matek -is válaszok itt. Az aritmetika hiánya nem jelenti azt, hogy nem ‘ t matematika …
Válasz
Az ötszög belső szögeinek összege mindig 540 °.
Az egyes külső pontok szöge mindig a két szomszédos belső szög összege – 180 °. Mondhatjuk ezt, mivel adott belső A és B szögek esetén a háromszög szöge 180 – A, 180 – B, X. A háromszög szögeinek meghatározása alapján X egyenlő $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Az ötszög minden belső szögét kétszer használják, és 5 pont van, tehát $ (2 \ alkalommal 540) – (5 \ szor 180) = 180 ° $
Megjegyzések
- Úgy gondolom, hogy ez a 9. fokozatú geometria csúcsra emeli a fejét …
- Ez bonyolultabb, mint a bizonyítás, amelyre gondoltam. Szerkeszthetem a kérdést, hogy kicsit korlátozzam a lehetséges igazolásokat, de ‘ még mindig adok +1-et. Indokolni tudná a második mondatát? Azt sem értem, hogy ‘ mit ért a harmadik mondat.
- Ha hagyjuk, hogy A és B legyen az ötszög két szomszédos belső szöge, akkor a a háromszög pontja 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Szép bizonyíték, de jó lenne, ha használhatna képet vagy 2-t, vagy még egy gif is!
- szerintem ‘ lehetséges ezt a bizonyítást általánosítani annak bemutatására, hogy a szögek a bármely
n -gram összeg $ 180 ^ \ circ $ -ra, feltéve, hogy az alakzat összekapcsolja az egyes pontokat a n -gon két szomszédos pontjával.(Ne feledje, hogy az egynyomású hexagramm ‘ nem felel meg a kapcsolódási feltételnek; a két háromszögből kialakított hexagram sem felel meg; és a két unikurális heptagrammából csak az egyik felel meg. / ul>
Válasz
Itt van még egy tiszta bizonyíték, ezúttal indukcióval. A pentagrammát úgy tehetjük meg, hogy a normálissal kezdjük, és négy pont egymás utáni mozgatása. Tehát elegendő bizonyítani, hogy
egy pont áthelyezése egy pentagramban nem változtatja meg a szögek összegét a pontok
Hadd “s”
az A pontot áthelyezzék A-ba és hívjanak mind az A, mind az A szög “a felső szög
Ezt kapjuk:
Elegendő bizonyítani, hogy
a felső szög és a szög változásai A C-nél és D-nél nullára esnek az összegek.
Ezen az új diagramon
megmutatjuk
a felső szög változása, mint $ xw $, és a D és C változás, mint $ -y $ és $ z $,
és be kell bizonyítanunk, hogy
$ xw-y + z = 0 $, vagy más szavakkal, hogy $ x + z = w + y $,
ami nyilvánvaló, mint korábban, mert
LHS és Az RHS a függőlegesen ellentétes szögek kiegészítései a G-nél.
Válasz
Másik megközelítés:
A szokásos csillagtól kezdve tudjuk, hogy $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Most rajzoljunk “s” vonalszakaszt az ábrán látható módon.
Ne feledje, hogy $ B, D, E $ változatlanok maradnak! Megfigyeléseink alapján azt látjuk, hogy $ Y = C – X $ és $ Z = A + X $.
Így új csillagunk pontjainak összege $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Így folytathatjuk a szegmensek rajzolását és új csillagok létrehozását (és átméretezését) őket), amíg el nem érjük a kívánt alakot.
Megjegyzések
- Kedves, de tudnál valamit hozzáadni, hogy intuitívabbá tedd, hogy készíthetsz egy általános szabálytalan pentagramma az egyik ponton az adott ponton átmenő mozgások és az átméretezés sorozatával.
- Megpróbálhatnám, ha csak a geometria nem fájna az agyam annyira D:
válasz
Elkerülhetetlen, hogy néhány az aritmetikát el kell végezni – a tervezett következtetés végül is kvantitatív – tehát a kihívás nem lehet t o rejtse el a számtant, és ne is nevezze más néven, hanem azért, hogy nyilvánvalóvá és holtan egyszerűvé váljon. A következő érvelés arra szorítja az aritmetikát, hogy megfigyelje, hogy öt egy, több mint négy (és hogy az egész kétszer fele, a tényt átmenetileg használják).
A csillag kétszer kanyarog a középpontja körül, és ezért bárki, aki áthalad rajta, két teljes kört (négy fél kört) el kell fordítania. Minden fordulás csak a csúcsokon történik, ahol a maximális összeg a kör felének teljes arca. Öt csúcs esetén, amely öt félkör, vagy még egy fél kör lenne, mint amennyi el van fordítva: 180 fok. A maximális hiány és a ténylegesen végrehajtott kanyarodási mennyiség közötti hiány pontosan a belső szögek összege, QED.
Ezt a megközelítést alkalmazzák a modern (azaz a 18. század utáni) matematikában. A tetszőleges dimenziók tetszőleges, más ábrákon belül rajzolt alakjaira általánosít, amelyek maguk is görbülhetnek. Gauss-Bonnet tétel néven ismert.
Válasz
Van egy kör alapú tétel, amely kimondja: “A beírt szög mértéke az általa elfogott ív mértékének a fele.” Ez azt jelenti, hogy az x szög esetében az általa elfogott ív 2x lesz. 
Most, ha a csillagot körbe írja, ezt kapja:
Az előző rajzot felcímkézve ezt kapja;
Ezzel a tétellel tudjuk, hogy angle1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, és ∠ szög 5 = b / 2. Ha ezt elosztjuk, akkor kapunk ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 t. Továbbá, Mivel egy kör minden ívének mértéke összeadódik 360-ig, tudjuk, hogy a + b + c + d + e = 360 . Végül a helyettesítési tulajdonság használatával ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , vagy ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Így az összes szög összege 180.
Megjegyzések
- Van ‘ egy hibája az érvelésnek: nem minden pentagram írható be egy kört.
- @ThomasKwa Tudnál mondani egy példát?
- @ user1812 csak mozgasd a példád bármelyik pontját a körbe vagy a körből. Csak három pont szükséges egy kör meghatározásához, és egy pentagramma öt.
Válasz
Ez a bizonyíték egy értelem nem más, mint a szögek mértékének megszámlálása. 2 egyenes metszéspontjának szöge 360-ra esik, ahol az ellentétes szögek is egybevágnak.
Tekintsük a központi ötszög 5 pontját, azokat a pontokat, ahol 2 vonal metszéspontja történik. Ezen 5 pont körül 360 x 5 = 1800 fok összesen, és 5 x 4 = 20 szög számít.
A 20 szögből 5 az ötszögből áll, további 5 pedig egybevág azokkal. Tehát ez 540 + 540 = 1080 fokot jelent. Az 1800 – 1080 = 720 fok maradványai az 5 háromszög belsejéből származnak.
Az 5 háromszög 5 x 180 = 900 fokos belső szöget tartalmaz. Ebből a fokozatból 720 az ötszög / háromszög / kereszteződés sarkában található.
Ez a csillag csúcsainál 900 – 720 = 180 fok.
Szerkesztés: Az aritmetika itt egyszerűen a szög rövidítése. összeadás és kivonás, ugyanúgy, mint más válaszokban.
Válasz
A központi Pentagon A, B, C, D formában , E 540 FOKT tartalmaz
Összegezze az 5 PÁR kiegészítő szöget, azaz. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Ez a 720 fok jelenti az “alapot” az 5 háromszög szöge, amely összesen 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (az öt keresett szög.
A pontokban lévő három háromszög 5 * 180 = 900 összegű
Megjegyzések
- A kérdés kifejezetten azt kéri, hogy igazolja számtani műveletek használata nélkül.