BEKK többváltozós GARCH modellt vizsgálok.
Egy szokásos GARCH modellben általában elvárjuk, hogy
$$ h_t = \ omega + \ alfa u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Az alfa ( $ \ alpha $ ) együttható lényegesen kisebb, mint a béta ( $ \ beta $ ), lásd például a Verbeeks “Útmutató a modern ökonometria című fejezete a GARCH-ról” c. kb. 0,1 alfa és 0,8 béta értékét.
Most többváltozós környezetbe lépek, egy BEKK-ba (1). ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {mátrix} \ jobb] = \ bal [\ begin {mátrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {mátrix} \ right] + \ balra [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {mátrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {mátrix} \ jobb] \ bal [\ begin {mátrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {mátrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {mátrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {mátrix} \ right] ^ \ prime $$
ie egy MV-ARCH (1),
Tudna valaki megfelelő paramétereket a $ A_ {ij} $ mátrixhoz, hivatkozással? És a BEKK (1,1) a GARCH kifejezéssel,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Megfelelő paraméterértékekre van szükségem (mint amire számíthatunk) A és B re . Tudom, hogy ez jelentősen megváltozik az adatkészletek stb. Között. De általában vannak olyan értékek, amelyekre számíthatunk?
Válasz
Sajnos vannak nincsenek közvetlen ellenőrzések a $ a_ {ij} $ “s és $ b_ {ij} $ ” s együtthatók a BEKK esetben, például $ \ alpha + \ beta < 1 $ biztosítják az állékonyságot és a gyenge időfüggést a GARCH-ban (1,1) eset. A feltételek a BEKK-ügyben kissé nyűgösebbek.
A folyamat helyhez kötött és gyengén időfüggő (abban az értelemben, hogy “geometrikusan ergodikus Harris visszatérő Markov-lánc”), ha a $ k ^ összes sajátértéke 2 \ alkalommal k ^ 2 $ mátrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ kevesebb, mint 1 és $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ pozitív, de ez mindig így lesz a $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , mivel konstrukciója pozitív. A $ \ otimes $ a Kronecker terméket jelöli.
2. tétel a Comte és Lieberman (2003) szerint ez a feltétel biztosítja, hogy a maximális valószínűség becslője következetes legyen, és ha azt is feltételezzük, hogy a folyamatnak véges hatodrendű momentuma van, a $ E \ bal \ | X ^ 6 \ jobb \ | < \ infty $ , majd a Hafner és Preminger (2009) 3. tétele megállapítja a az MLE.
Ismereteim szerint az irodalom nem ad egyenes előre paraméter-korlátozásokat, ami biztosítja a BEKK-folyamat véges hatodrendű momentumait. A Pedersen és Rahbek (2014) függelékében található C.1 tétel elegendő feltételeket biztosít a Gauss-féle BEKK-folyamat ARCH-verziójához ( $ B_ {11} = 0 $ ), $ E \ bal \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Ez a feltétel az, hogy a $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ összes sajátértékének kisebbnek kell lennie, mint $ 15 ^ {- 1/3} \ kb. 0,4055 $ .
- F. Comte és O. Lieberman. Aszimptotikus elmélet a többváltozós GARCH folyamatokhoz. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61 – 84, 2003.
- C. M. Hafner és A. Preminger. Az aszimptotikus elméletről a többváltozós GARCH modelleknél. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen és A. Rahbek. Többváltozós variancia célzás a bekk -garch modellben. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
megjegyzések
- Nem biztos benne, hogy ez vonatkozik-e az itt vizsgált BEKK bizonyos formájára, de McAleer " Amit nem árultak el a BEKK teljes feltételes algebrai (nem) létezéséről, matematikai (ir-) szabályszerűségéről és (nem) aszimptotikus tulajdonságairól a kovariancia modell " (2019) azt mutatja, hogy a BEKK lehet, hogy csak korlátozott körülmények között létezik, és a BEKK-ra hivatkozva 4500+ papír alól húzza a szőnyeget.
- @Duffau nagyszerű válasz, de van ötleted arról, hogy mi legyen a különbség A és B között?
- Köszönöm @FrancisOrigi! Ne feledje tehát, hogy A és B mátrixok, így nincs világos fogalma a " rés " fogalmának. Dinamikus rendszerekben, ahol a folyamatot mátrixok határozzák meg, gyakran valamilyen sajátérték határozza meg a rendszer stabilitását. A BEKK-hoz hasonlóan a stabilitást (stacionaritást és gyenge függőséget) a fent leírt transzformált mátrixok sajátértékei szabályozzák. Ha többet szeretne megtudni, megnézném a lineáris vektor autoregressziókat, ezek a legegyszerűbb típus többváltozós dinamikával. Ezek egyenértékűek az egyváltozós világ AR modelljeivel.