hogyan számolhatom ki a binomiális eloszlásból származtatott p varianciáját? Mondjuk, hogy n érmét megfordítok és k fejet kapok. Meg tudom becsülni a p-t k / n-ként, de hogyan számolhatom ki a becslés szórását?
Ez érdekel, hogy tudjam a varianciakontroll az aránybecsléseimben, amikor “összehasonlítom a különböző próbaszámmal rendelkező pontokat.” Biztosabb vagyok a p becslésében, ha n nagyobb, ezért szeretném modellezni, hogy mennyire megbízható a becslés.
Előre is köszönöm!
példa:
- 40/100. A p MLE értéke 0,4 lenne, de mekkora a szórás a p-ben?
- 4/10. Az MLE továbbra is 0,4 lenne, de a becslés kevésbé megbízható, ezért nagyobb eltérésnek kell lennie a p-ben.
Válasz
Ha $ X $ $ \ text {Binomial} (n, p) $, akkor MLE $ p $ értéke $ \ hat {p} = X / n $.
A binomiális változó felfogható $ n $ Bernoulli véletlen változó összegeként. $ X = \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i $ ahol $ Y_i \ sim \ text {Bernoulli} (p) $.
így kiszámíthatjuk az MLE $ \ hat {p} $ varianciáját, mint
$$ \ begin {align *} \ text {Var} [\ hat {p} ] & = \ text {Var} \ left [\ dfrac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n Y_i \ right] \\ & = \ dfrac {1} {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ n Var [Y_i] \\ & = \ dfrac {1 } {n ^ 2} \ sum_ {i = 1} ^ np (1-p) \\ & = \ dfrac {p (1-p)} {n} \ end {align *} $$
Tehát láthatja, hogy az MLE varianciája kisebb lesz nagy $ n $ esetén, és kisebb $ p $ esetén is, közel 0 vagy 1 értékre. p $ akkor maximalizálódik, ha $ p = 0,5 $.
Bizonyos konfidencia intervallumok esetén megtekintheti a binomiális bizalmi intervallumokat
megjegyzések
- Úgy gondolom, hogy a link hasonló ahhoz, amit ' keresek, de szeretnék egy olyan értéket, amely egyenértékű a p varianciájával. Hogyan érhetem el ezt a konfidenciaintervallumból?
- Az eredeti válaszomat úgy szerkesztettem, hogy jobban megválaszoljam a kérdését.
- Hogyan bánik azzal, hogy a variancia képletéhez p szükséges, csak p becslése van?
- Fontolja meg egy varianciastabilizáló transzformáció, például a $ arcsin (\ sqrt {\ hat {p}}) $ alkalmazását, és ekkor megkapja, hogy a transzformált változó varianciája $ \ tfrac {1} {4n} $