La domanda che mi è stata posta è:
Gli atomi dargento in un reticolo metallico riempiono solo $ 88 \, \% $ dello spazio ($ 12 \, \% $ è vuoto). La densità dellargento è $ 10,5 \ \ mathrm {g \ cdot cm ^ {- 3}} $. Supponendo che gli atomi dargento siano sfere dure ($ V = \ tfrac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 $, quando $ r $ è il raggio atomico), qual è il raggio di un atomo dargento? Fornisci la risposta in unità di $ 10 ^ {- 12} $ metri.
La massa atomica di $ \ ce {Ag} $ è 107,8682.
La mia soluzione:
$$ V = 0.88 \ times V $$
$$ V = \ frac {0.88 \ times10.5 \ times6.022 \ times10 ^ {23}} {107.8682} = 5.158 \ times10 ^ {22} \ \ mathrm {cm ^ 3} $$
$$ V = \ frac43 \ cdot \ pi \ cdot r ^ 3 \ Rightarrow r = \ left (\ frac34 \ cdot \ frac V \ pi \ right) ^ {1/3} $$
Poi sono passato ai $ 10 ^ {12} $ metri, il risultato è stato $ 4.953 \ times10 ^ {17 } $ e non è corretto. Cosa sto facendo di sbagliato?
Commenti
- Ho ' ho aggiunto le informazioni sulla massa atomica di $ \ ce {Ag} $ nel tentativo di chiarire a te e agli altri di quali informazioni ' avrai bisogno per risolvere il problema.
- in realtà Ag si cristallizza in FCC e le sfere si riempiono $$ \ dfrac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} \ approx 0.74048 $$
Risposta
Se avessi incluso le unità nel tuo calcolo, avresti notato perché la tua equazione non è corretta.
Massa molare $ M $ è definito come $$ M = \ frac mn \ tag1 $$ dove $ m $ è massa e $ n $ è quantità di sostanza.
Poiché la costante di Avogadro $ N_ \ mathrm A $ è $$ N_ \ mathrm A = \ frac Nn \ tag2 $$ dove $ N $ è il numero di particelle, la massa $ m $ di un atomo $ (N = 1) $ è $$ m = \ frac M {N_ \ mathrm A} \ tag3 $$
Densità $ \ rho $ è definito come $$ \ rho = \ frac mV \ tag4 $$ dove $ V $ è il volume.
Pertanto, il volume di un campione è $$ V = \ frac m \ rho \ tag5 $$ Using Equation $ \ text {(3)} $ , il volume $ V $ può essere calcolato per un singolo atomo: $$ V = \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag6 $$
Supponendo che una frazione di $ 88 \, \% $ del volume $ V $ è riempito con una sfera rigida, il volume $ V_ \ text {sphere} $ della sfera è $$ \ begin {align} V_ \ text {sphere} & = 0,88 \ times V \ tag7 \\ [6pt] & = 0,88 \ times \ frac M {N_ \ mathrm A \ cdot \ rho} \ tag8 \ end {align} $$
Poiché il volume di una sfera è $$ V_ \ text {sphere} = \ frac43 \ pi r ^ 3 \ tag9 $$ dove $ r $ è il raggio della sfera, il raggio $ r $ è $$ \ begin {align} r & = \ sqrt [3] {\ frac {3V_ \ text {sphere}} {4 \ pi}} \ tag {10} \\ [6pt] & = \ sqrt [3 ] {\ frac {3 \ times0.88 \ times M} {4 \ pi \ cdot N_ \ mathrm A \ cdot \ rho}} \ tag {11} \\ [6pt] & = \ sqrt [3] {\ frac {3 \ times0.88 \ times 107.86820 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}}} {4 \ pi \ times 6.02214076 \ times10 ^ {23} \ \ mathrm {mol ^ {- 1}} \ times 10.5 \ \ mathrm {g \ cm ^ {- 3}}}} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 8} \ \ mathrm {cm} \\ [6pt] & = 1.53 \ times10 ^ {- 10} \ \ mathrm m \\ [6pt] = 153 \ times10 ^ {- 12} \ \ mathrm m \\ \ end {align} $$