Un campione di un processo casuale è dato come:
$$ x (t) = A \ cos (2 \ pi f_0t) + Bw (t) $$
dove $ w (t) $ è un processo di rumore bianco con $ 0 $ media e una densità spettrale di potenza di $ \ frac {N_0} {2 } $ e $ f_0 $, $ A $ e $ B $ sono costanti. Trova la funzione di correlazione automatica.
Ecco il mio tentativo di una soluzione:
Siano $ a = 2 \ pi f_0t $ e $ b = 2 \ pi f_0 (t + \ tau) $
\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x (t) & = E \ left \ {x (t) x ( t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ sinistra \ {\ sinistra (A \ cos (a) + Bw (t) \ destra) \ sinistra (LA \ cos (b) + Bw (t + \ tau) \ right) \ right \} \\ & = E \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) + AB \ cos (a) w (t + \ tau) + AB \ cos (b) (wt) \\ & \ quad + B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \} \\ & = E \ sinistra \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ destra \} + E \ sinistra \ {AB \ cos (a) w (t + \ tau) \ right \} + E \ left \ {AB \ cos (b) (wt) \ right \} \\ & \ quad + E \ left \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ destra \} + E \ sinistra \ {B ^ 2w (t) w (t + \ tau) \ right \} \\ & = E \ sinistra \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (R_w (\ tau) \ right) \\ & = E \ sinistra \ {A ^ 2 \ cos (a) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ sinistra (\ frac {N_0} {2} \ right) ( \ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
I termini di aspettativa con il rumore in essi sono tutti uguali a $ 0 $ (lultimo è solo lauto correlazione del rumore bianco … da qui la semplificazione sopra. Utilizzo di identità trigonometriche: $$ \ cos (a) \ cos (b) = \ frac 12 \ left [\ cos (a + b) + \ cos (a – b) \ right] $$
abbiamo:
\ begin {align} \ text {Autocorrelation of} x (t) & = E \ left \ {A ^ 2 \ cos (a ) \ cos (b) \ right \} + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = E \ sinistra \ {\ sinistra (A ^ 2 \ destra) \ frac 12 \ sinistra [\ cos (a + b) + \ cos (ab) \ destra] \ destra \} + B ^ 2 \ sinistra (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ & = \ left (\ frac {A ^ 2} {2} \ right) \ sinistra [E \ {\ cos (a + b) \} + E \ {\ cos (ab) \} \ right] + B ^ 2 \ left (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) \\ \ end {align}
Abbiamo a che fare con termini costanti, quindi il termine di aspettativa scompare e sommando le nostre condizioni iniziali otteniamo: $$ \ frac {A ^ 2} 2 \ sinistra [\ cos (2 \ pi f_o (2t + \ tau) + \ cos (2 \ pi f_o \ tau) \ right] + B ^ 2 \ sinistra (\ frac {N_0} {2} \ right) (\ delta (\ tau)) $$
Per qualche ragione non posso fare a meno di pensare di aver fatto qualcosa di sbagliato nel calcolare quellautocorrelazione … dovrebbe essere una funzione di $ \ tau $, ma ha a $ t $ è lì dentro … Apprezzerei molto se qualcuno potesse indicarmi la giusta direzione o spiegare cosa ho sbagliato. Non so se sia importante, ma in questa classe abbiamo a che fare solo con processi stazionari a senso ampio.
Commenti
- A meno che tu non lo sia certo che il processo casuale $ x (t) $ è WSS, non dovresti aspettarti che il suo ACF sia una funzione di $ \ tau $ da solo. Pertanto sembra corretto qui includere i termini di tempo $ t $. Ma penso che il termine coseno allinterno di $ x (t) $ potrebbe includere unampiezza casuale o una fase casuale che ti dimentichi di digitare, quindi potresti avere la possibilità di sbarazzarti dellelemento tempo $ t $ se lo desideri così tanto quindi …
- Il processo $ \ {A \ cos (2 \ pi f_0t) \} $ è un processo ciclostazionario (soddisfa i requisiti di stazionarietà per quegli scarti di tempo che sono multipli di $ (2 \ pi f_0) ^ {- 1} $) e non sono affatto un processo WSS. Nota, ad esempio, che anche la funzione media $ E [x (t)] $ non è una costante come dovrebbe essere per un processo WSS. Come dice @ Fat32 (+1), potresti aver dimenticato di includere una fase casuale $ \ Theta $ nella tua definizione $ x (t) $ (la proprietà necessaria per la stazionarietà WS è quella $ E [\ cos (2 \ Theta) ] = E [\ sin (2 \ Theta)] = 0 $ che vale per $ \ Theta \ sim U (0,2 \ pi) $ o $ P \ {\ Theta = n \ pi / 2 \} = \ frac 14 $ per $ n = 0,1,2,3 $).
Risposta
Immagino tu “Ho fatto quasi tutto bene, ma ho un problema nel calcolo del valore di aspettativa per quanto riguarda $ t $. Dovresti calcolare il valore di aspettativa della funzione coseno. Purtroppo, non si limita a” sparire “come hai scritto.
Dai unocchiata alla pagina di Wikipedia . Qui puoi trovare unaltra formula, più esplicita, per la funzione di autocorrelazione di una funzione $ f (t) $:
$ R _ {\ textrm {ff}} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (t + \ tau) \ bar {f} ( t) \, \ textrm {d} t $.
(Nota, che rispetto alla pagina di Wikipedia, mi sono preso la libertà di usare la variabile $ t $ nellintegrazione invece di $ u $, whi ch sarebbe la versione matematicamente più accurata.)
Come puoi vedere da questa equazione, “integri” la dipendenza da t, e in effetti dovresti rimanere con una funzione che è indipendente da $ t $.
Si noti che esiste anche una versione che non va a infinite volte, ma è vincolata a un periodo $ T $. Forse questa versione è più appropriata nel tuo caso.Tuttavia, lo stesso vale per questa versione: $ t $ è integrato e non dovrebbe essere una variabile nella formula risultante.
Commenti
- Tu stai confondendo due diverse nozioni quando scrivi ” Come puoi vedere da questa equazione, ” integra ” la dipendenza da $ t $, e in effetti dovresti avere una funzione indipendente da $ t $ ”
- Puoi prendi anche la formula dalla pagina di Wikipedia senza $ t $ e scrivi $ R_ \ textrm {ff} (\ tau) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ \ infty f (u + \ tau) \ bar {f} ( u) \, \ textrm {d} u $. La cosa importante qui è che in entrambi i casi largomento della funzione $ f $ è te è integrato – quindi non hai più $ t $ nel risultato finale, ma solo $ \ tau $.
- @Dilip Potresti anche dare unocchiata qui ocw.mit.edu/courses/mechanical-engineering/… – questo è fondamentalmente il primo risultato dopo una semplice ricerca su Google. Lì, a pagina 22-2 (pagina 3 nel PDF) è un esempio per una funzione di autocorrelazione, che è stata calcolata da questa formula ed è indipendente da $ t $. Inoltre puoi trovare la notazione integrale matematicamente non così solida nella pagina precedente.
- Lungi da me mettere in dubbio la validità di una formula che secondo te può essere trovata su Wikipedia o viene insegnato in un corso online del MIT, ma mi sembra che in \ begin {align} 2 \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0t) \ cos (2 \ pi f_0 (t + \ tau)) dt & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) + \ cos (2 \ pi f_0 \ tau ) dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ cos (2 \ pi f_0 (2t + \ tau)) dt + \ int _ {- \ infty} \ infty \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) dt \ end {align} quel secondo integrale su quella seconda riga (il cui integrando è una costante rispetto a $ t $) diverge a meno che $ \ tau $ non abbia un valore tale che $ \ cos (2 \ pi f_0 \ tau) = 0 $.
- @Dilip Hai ragione, questo integrale diverge. Nemmeno il primo integrale è significativo, poiché non converge. Per questo motivo, cè lultimo paragrafo nella mia risposta.