La sfera Bloch è meravigliosamente minimalista.

Convenzionalmente, un qubit ha quattro parametri reali; $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle. $ Tuttavia, alcune informazioni rapide rivelano che $ a $ -vs- $ b $ compromesso ha solo un grado di libertà a causa della normalizzazione $ a ^ 2 + b ^ 2 = 1 $ e qualche analisi più attenta rivela che, nel modo in cui costruiamo i valori delle aspettative in QM, non puoi osservare $ \ chi $ o $ \ phi $ stessi ma solo la differenza $ \ chi – \ phi $ , che è $ 2 \ pi $ -periodic. (Questo è trattato ulteriormente nei commenti di seguito ma brevemente: QM prevede solo le medie $ \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle $ e lo spostamento della fase generale di una funzione donda da parte di alcuni $ | \ psi \ rangle \ mapsto e ^ {i \ theta} | \ psi \ rangle $ quindi si annulla in ogni previsione.

Quindi, se pensi in modo più astratto a ciò di cui hai bisogno, traccia una linea da 0 a 1 che rappresenta il $ a $ -vs – $ b $ compromesso: quanto costa in uno di questi due stati? Poi ci disegnate dei cerchi attorno: quanto è la differenza di fase? Ciò che gli impedisce di essere un cilindro è che la differenza di fase cessa di avere importanza quando $ a = 1 $ o $ b = 1 $ , quindi i cerchi devono ridursi a punti. Et voilà , hai qualcosa che è topologicamente equivalente a una sfera. La sfera contiene tutte le informazioni necessarie per gli esperimenti e nientaltro.

È anche fisica, una vera sfera nello spazio 3D.

Questo è il fatto più scioccante. Data solo la semplice immagine sopra, potresti essere perdonato per aver pensato che questa fosse tutta matematica innocua: no! In effetti la quintessenza del qubit è un sistema spin- $ \ frac 12 $ , con le matrici di Pauli che indicano il modo in cui il sistema gira intorno alla $ x $ , $ y $ o $ z $ assi. Questo è un sistema in cui identifichiamo $ | 0 \ rangle $ con $ | \ uparrow \ rangle $ , $ | 1 \ rangle $ con $ | \ downarrow \ rangle $ e la differenza di fase arriva da scegliendo lasse $ + x $ tramite $ | {+ x} \ rangle = \ sqrt {\ frac 12} | 0 \ rangle + \ sqrt {\ frac 12} | 1 \ rangle. $

Le direzioni ortogonali dello spazio non sono ortogonali di Hilbert nel trattamento QM, perché non è così che la fisica di questo sistema funziona. Gli stati ortogonali di Hilbert sono incommensurabili: se ti trovi in questo stato, sicuramente non sei in quello.Ma questo sistema ha una rotazione con una magnitudine totale definita di $ \ sqrt {\ langle L ^ 2 \ rangle} = \ sqrt {3/4} \ hbar $ , ma solo $ \ hbar / 2 $ punta nella direzione in cui è “più puntato”, il che significa che deve essere distribuito su una sorta di “anello” in quella direzione. Di conseguenza, quando misuri che si trova nella $ + z $ -direzione, risulta che è anche una sorta di metà nella $ + x $ , metà nella direzione $ – x $ . (Qui “sort-of” significa: è, se segui una $ x $ -measurement.)

Quindi chiediamo ” in quale direzione gira di più lo spin- $ \ frac12 $ ? ” Ciò richiede la costruzione di un osservabile. Per fare un esempio, se la $ + z $ -direzione è più inserita da uno stato $ | \ uparrow \ rangle $ quindi losservabile per $ z $ -spin è la matrice di Pauli $ \ sigma_z = | \ uparrow \ rangle \ langle \ uparrow | – | \ downarrow \ rangle \ langle \ downarrow |, $ $ + 1 $ in quello stato, $ -1 $ nello stato perpendicolare di Hilbert $ \ langle \ downarrow | \ uparrow \ rangle = 0. $ Allo stesso modo se guardi $ \ sigma_x = | \ uparrow \ rangle \ langle \ downarrow | + | \ downarrow \ rangle \ langle \ uparrow | $ vedrai che lo stato $ | {+ x} \ rangle $ definito sopra è un autovettore con autovalore +1 e similmente dovrebbe esserci una $ | {-x} \ rangle \ propto | \ uparrow \ rangle – | \ downarrow \ rangle $ soddisfacente $ \ langle {+ x} | {-x} \ rangle = 0, $ e puoi recuperare $ \ sigma_x = | {+ x} \ rangle \ langle {+ x} | – | {-x} \ rangle \ langle {-x} |. $

Quindi lo stato ortogonale a $ | \ psi \ rangle = \ alpha | 0 \ rangle + \ beta | 1 \ rangle $ è $ | \ bar \ psi \ rangle = \ beta ^ * | 0 \ rangle – \ alpha ^ * | 1 \ rangle, $ quindi losservabile che è +1 in quello stato o -1 nello stato opposto è: $$ \ begin {align} | \ psi \ rangle \ langle \ psi | – | \ bar \ psi \ rangle \ langle \ bar \ psi | & = \ begin {bmatrix} \ alpha \\\ beta \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ alpha ^ * & \ beta ^ * \ end {bmatrix} – \ begin {bmatrix} \ beta ^ * \\ – \ alpha ^ * \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ beta & – \ alpha \ end {bmatrix} \\ & = \ begin {bmatrix} | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2 & 2 \ alpha \ beta ^ * \\ 2 \ alpha ^ * \ beta & | \ beta | ^ 2 – | \ alpha | ^ 2 \ end {bmatrix} \ end {align} $$ Scrivendolo come $ v_i \ sigma_i $ dove $ \ sigma_i $ sono le matrici di Pauli che otteniamo: $$ v_z = | \ alpha | ^ 2 – | \ beta | ^ 2, \\ v_x + i v_y = 2 \ alpha ^ * \ beta. $$ Ora lascia che $ \ alpha = \ cos (\ theta / 2) $ e $ \ beta = \ sin (\ theta / 2) e ^ {i \ phi} $ scopriamo che questi sono: $$ \ begin {align} v_z & = \ cos ^ 2 (\ theta / 2 ) – \ sin ^ 2 (\ theta / 2) & = & ~ \ cos \ theta, \\ v_x & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ cos (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ cos \ phi, \\ v_y & = 2 \ cos (\ theta / 2) \ sin (\ theta / 2) ~ \ sin (\ phi) & = & ~ \ sin \ theta ~ \ sin \ phi. \ end {align} $$ Quindi la ricetta Bloch usa un $ (\ theta, \ phi) $ che sono semplicemente le coordinate sferiche del punto la sfera che un tale $ | \ psi \ rangle $ è “più che gira nella direzione di”.

Quindi, invece di essere un puramente teorico visualizzazione, possiamo dire che il sistema spin- $ \ frac 12 $ , il prototipo di qubit, gira effettivamente nella direzione data dalle coordinate della sfera di Bloch! (Almeno, nella misura in cui un sistema spin-up gira.) È spietatamente fisico : vuoi sventolarlo in un angolo matematico e dice: “no, per i sistemi reali sono puntato in questa direzione nello spazio 3D reale e devi prestare attenzione a me. “

Come rispondono alle tue domande.

1. Sì, N e S sono spazialmente paralleli ma nello spazio di Hilbert sono ortogonali. Questa ortogonalità di Hilbert significa che un sistema non può essere sia spin-up che spin-down.Al contrario, la mancanza di ortogonalità di Hilbert tra, diciamo, le direzioni $ z $ e $ x $ significa che quando misuri il $ z $ -spin puoi ancora avere misurazioni diverse da zero dello spin nel $ x $ -direction, che è una caratteristica fondamentale di tali sistemi. È davvero un po confuso avere due diverse nozioni di “ortogonale”, una per lo spazio fisico e una per lo spazio di Hilbert, ma deriva dallavere due diversi spazi che stai guardando.

2. Un modo per vedere perché gli angoli sono fisicamente molto utili è fornito sopra. Ma come accennato nella prima sezione, puoi anche vederlo come un esercizio puramente matematico per cercare di descrivere lo spazio di configurazione con una sfera: quindi hai naturalmente langolo polare come differenza di fase, che è $ 2 \ pi $ -periodico, quindi questa è una coordinata naturalmente azimutale; quindi il modo in cui la coordinata giace lungo 0/1 dovrebbe essere una coordinata polare con $ 0 $ mappata a $ | 0 \ rangle $ e $ \ pi $ mappatura su $ | 1 \ rangle $ . Il modo più ovvio per farlo è con $ \ cos (\ theta / 2) $ mappatura da 1 a 0 lungo questo intervallo, come ampiezza per $ | 0 \ rangle $ stato; il fatto che $ \ cos ^ 2 + \ sin ^ 2 = 1 $ significa che $ | 1 \ rangle $ deve rilevare unampiezza $ \ sin (\ theta / 2) $ per corrispondere.

Commenti

• Ho una confusione simile per quanto riguarda la sfera di Bloch come OP. Potresti forse spiegare un po cosa intendi con ” e qualche analisi più attenta rivela che, nel modo in cui costruiamo i valori di aspettativa in QM, non puoi osservare $ \ chi $ e $ \ phi $ stessi ma solo la differenza $ \ chi – \ phi $, che è $ 2 \ pi $ -periodic “?
• @Moses: sicuro. tutte le previsioni di QM sono valori attesi nella forma $ \ langle A \ rangle = \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle. $ Calcola per $ ae ^ {i \ chi} | 0 \ rangle + be ^ {i \ phi} | 1 \ rangle $ con $ A_ {ij} = \ langle i | \ hat A | j \ rangle $ (quindi $ A_ {ij} = A_ {ji} ^ * $) per trovare $ \ langle A \ rangle = a ^ 2A_ {00} + b ^ 2A_ {11} + 2ab ~ \ text {Re} \ Big (A_ {10} e ^ {i (\ chi- \ phi)} \ Big). $ No il valore di aspettativa rivela quindi qualcosa su $ \ phi $ o $ \ chi $ stesso, ma solo potenzialmente $ \ delta = \ phi- \ chi $ tramite questo termine $ e ^ {i \ delta} $ che è ovviamente $ 2 \ pi $ – periodico in $ x $.
• Più in generale, la fase globale di una funzione donda non è osservabile; queste parentesi di aspettativa dicono che le aspettative nello stato $ | \ psi ‘ \ rangle = e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle $ devono essere $$ \ langle A \ rangle_ {\ psi ‘} = \ langle \ psi | e ^ {- i \ varphi} \ hat A e ^ {i \ varphi} | \ psi \ rangle = e ^ {- i \ varphi} e ^ {i \ varphi} \ cdot \ langle \ psi | \ hat A | \ psi \ rangle = 1 \ cdot \ langle A \ rangle _ {\ psi}. $$
• Potrebbe aiutare OP a interiorizzare la naturalezza di $ \ frac {\ theta} {2} $ per sottolineare che corrisponde al fatto che abbiamo a che fare con una particella di spin – $ \ frac {1} {2} $. Il mezzo giro fa sì che i generatori di rotazione non siano $ \ sigma $ ma piuttosto $ \ frac {\ sigma} {2} $ (per mantenere lautovalore $ \ pm \ frac {\ hbar} {2} $). Quindi, la trasformazione che agisce sullo stato per una rotazione fisica di $ \ theta $ diventa $ e ^ {- i \ hbar \ frac {\ theta} {2} \ sigma} $ – portando a una rotazione di $ \ frac {\ theta} {2} $ per lo stato.
• Perché abbiamo bisogno di una sfera 3D e non solo di un cerchio su un piano? Se immaginiamo il qubit come i 2 possibili valori dello spin di un atomo o della sua sovrapposizione … Qual è ‘ il significato fisico dellangolo azimutale ϕ?

Puoi associare punti sulla superficie di una sfera unitaria a stati di spin puro nel seguente modo semplice.

Un punto della sfera $ (n_x, n_y, n_z) $ è associato ad un autovettore delloperatore $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ con autovalore positivo e viceversa. Ciò include tutti gli stati di spin delle singole particelle di spin 1/2.

E questo non è casuale, né visualizzazione né matematica. Se hai un dispositivo Stern-Gerlach con una disomogeneità del campo magnetico che punta nella direzione $ (n_x, n_y, n_z) $, devierà costantemente quel raggio in una particolare direzione quando ha quello stato che è uguale a $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $

Ma non è molto confuso? Se si scelgono i poli nord e sud, entrambi gli stati sono sulla stessa riga e non più ortogonale,

Non crea confusione minimamente. La geometria è correlata allorientamento del dispositivo fisico nel laboratorio a cui il tuo stato fornisce risultati affidabili.Il dispositivo orientato in modo opposto fornisce anche risultati affidabili. Questo è comune per gli stati ortogonali che gli stati teono-ortogonali possono essere uguali allo stesso operatore.

Quindi punti diversi della sfera di Bloch identificano orientamenti diversi che danno il risultato “su” per stati diversi. Non confondere lorientamento del dispositivo di misurazione nello spazio 3D con la geometria degli stati nello spazio di rotazione.

quindi come si può scegliere un punto arbitrario $ p $ sulla superficie della sfera ed eventualmente scomporla in termini di $ 0,1 $ stati per trovare $ a $ e $ b $?

È il contrario. Come hai deciso di chiamare uno stato 0 e un altro 1? Hai scelto un orientamento casuale e lo hai chiamato z e hai orientato il tuo dispositivo in modo che il punto di disomogeneità del campo magnetico fosse in quel modo. Questo ti ha dato un su e un giù.

Ma ora possiamo specificare qualsiasi stato di rotazione. Hai lo stesso che hai un punto arbitrario $ (n_x, n_y, n_z) $ quindi trova il vettore autogeno di $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z. $ Con valore autovettura positivo. Chiamalo $ \ left | s \ right \ rangle, $ poi $$ \ left | s \ right \ rangle = \ langle 0 \ left | s \ right \ rangle \ left | 0 \ right \ rangle + \ langle 1 \ left | s \ right \ rangle \ left | 1 \ right \ rangle $$ quindi ci sono i tuoi $ a $ e $ b $ tranne per il fatto che non conosci la fase e lampiezza complessive ma uno stato di rotazione di una singola particella non ha uno di questi .

Questo significa che non si dovrebbe considerare la sfera di Bloch come una base valida per il nostro sistema e che è solo un aiuto per la visualizzazione?

No, significa che non dovresti confondere la geometria in laboratorio con la geometria dello spazio di Hilbert. La fisica è una scienza sperimentale, quindi sono decisamente correlate ma non sono la stessa cosa.

Se vuoi proiettare un vettore su un autospazio, non proiettare le etichette luna sullaltra. Puoi avere uno stato di rotazione e un altro stato di rotazione e quando ne metti uno attraverso un dispositivo Stern-Gerlach orientato per laltro, i gradi di libertà spaziali si dividono e si separano in uno che è in alto in quella direzione e uno che è spazialmente in basso da quello la direzione e lo stato di rotazione cambia letteralmente per puntare verso lalto nel raggio che è salito spazialmente e verso il basso nel raggio che è andato giù. Quindi lo spin di una particella si è impigliato nella sua stessa posizione.

La dimensione della proiezione di Hilbert ti dice la dimensione delle parti spaziali che sono state deviate e divise. Ma non hai nemmeno bisogno letteralmente per ricordare regole del genere. Se scrivi lequazione di Schrödinger per il dispositivo Stern-Gerlach, il raggio si divide e si separa nelle parti di dimensioni corrette e gli spin si allineano nelle due polarizzazioni e succede senza che tu gli dica di farlo.

Quindi allora lo stato di rotazione è chiaro. Ti sta dicendo la direzione in cui andrà in modo affidabile se gli dai una possibilità. E se lo metti in una Stern-Gerlach orientata diversamente, sarà costretto ad andare in una delle due direzioni consentite da quellorientamento e si dividerà e andrà in entrambe. Per ottenere le dimensioni di ogni parte si può evolvere lequazione di Schrödinger o calcolare gli autovettori delloperatore $ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z $ e punteggiarlo con lautovettore dellautovalore positivo ortogonale allaltro vettore.

E sì, ci sono modi più semplici per farlo e molto altro puoi uscirne. Ma si spera che tu veda laltra geometria.

Potresti mostrare come si ottengono $ cos \ theta / 2 $ e $ e ^ {i \ phi } $ terms?

Stavo usando gli operatori di spin di Pauli, se vuoi scegliere una base puoi scriverli come matrici (un operatoreèuna funzione su uno spazio vettoriale , una matrice sostituisce un operatore dopo aver selezionato una base; loperatore esiste ed è lo stesso indipendentemente da quale base puoi o meno selezionare in seguito). $$ n_x \ sigma_x + n_y \ sigma_y + n_z \ sigma_z = \ left (\ begin {matrix} n_z & n_x-in_y \\ n_x + in_y & -n_z \ end {matrix} \ right). $$

E lautovettore con autovalore positivo è $ \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right), $ a meno che $ n_z = 1 $ allora è $ \ left (\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix} \ right). $ Affrontiamo il caso di $ n_z = 1 $ prima, in questo caso $ a = 1 $ e $ b = 0 $ e $ \ theta = 0 $ quindi $ a = \ cos (\ theta / 2) $, $ b = e ^ {i \ phi} \ sin (\ theta / 2) $ tutto funziona.

Se vuoi scrivere lautovettore come vettore unitario ottieni $ \ frac {1} {\ sqrt {2-2n_z}} \ left (\ begin {matrix} -n_x + in_y \\ n_z-1 \ end {matrix} \ right). $ Se vuoi regolare la fase in modo che la prima coordinata sia reale e positiva, ottieni $ \ frac { 1} {\ sqrt {2-2n_z} \ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} \ left (\ begin {matrix} n_x ^ 2 + n_y ^ 2 \\ (n_x + in_y) (1-n_z) \ end {matrix} \ right). $

Il resto è trigometria, ad esempio $ \ frac {n_x + in_y} {\ sqrt {n_x ^ 2 + n_y ^ 2}} = e ^ {i \ phi }. $ Quindi dobbiamo solo mostrare che $ \ cos ( \ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} $ e $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1-n_z} { 2}}.$ La seconda è unidentità trigonometrica $ \ sin (\ theta / 2) = \ sqrt {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {2}}. $

La prima è $$ \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {n_x ^ 2 + n_y ^ 2 + n_z ^ 2-n_z ^ 2} {2-2n_z}} $ $ $$ = \ sqrt {\ frac {1-n_z ^ 2} {2-2n_z}} = \ sqrt {\ frac {(1-n_z) (1 + n_z)} {2-2n_z}} $$ $$ = \ sqrt {\ frac {1 + n_z} {2}} = \ sqrt {\ frac {1+ \ cos (\ theta)} {2}} = \ cos (\ theta / 2). $$

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• Perché abbiamo bisogno di una sfera 3D e non solo di un cerchio su un piano? Se immaginiamo il qubit come i 2 possibili valori dello spin di un atomo o della sua sovrapposizione … Qual è ‘ il significato fisico dellangolo azimutale ϕ?

A. Sistemi a due stati

Sia un sistema a due stati, gli stati sono indipendenti dalle coordinate spazio-temporali. In questo caso il sistema ha un nuovo grado di libertà . Un esempio classico è una particella con momento angolare di spin $ \: \ frac12 \ hbar \: $ .

Lascia che ai due stati corrisponda il stati di base \ begin {equation} \ vert u \ rangle = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {up state} \ ,, \ quad \ vert d \ rangle = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} \ equiv \ text {down state} \ tag {01} \ label {01} \ end {equation} denominato up e down rispettivamente.

Uno stato del sistema è espresso dal vettore di stato \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi \ vert u \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta \ vert d \ rangle \ quad \ text {dove} \: \: \: \ xi, \ eta \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta \ vert ^ {2} = 1 \ tag {02} \ label {02} \ end {equation} I numeri complessi $ \: \ xi, \ eta \: $ sono le ampiezze di probabilità e i reali non negativi $ \: \ vert \ xi \ vert ^ { 2}, \ vert \ eta \ vert ^ {2} \: $ le probabilità di essere il sistema nello stato $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ rispettivamente.

Lo spazio di Hilbert degli stati del sistema è per molti aspetti identico a (la sfera unitaria dello) spazio complesso $ \: \ mathbb {C} ^ {2} $ .

Un osservabile del sistema sarebbe rappresentato da un $ \: 2 \ times2 \: $ matrice hermitiana A nella forma \ begin {equation} A = \ begin {bmatrix} a_3 & a_1 \! \ boldsymbol {-} \! ia_2 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ a_1 \! \ boldsymbol {+} \! ia_2 & a_4 \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad \ text {con} \: \: \: \ left (a_1, a_2, a_3, a_4 \ right) \ in \ mathbb {R} ^ {4} \ tag {03} \ label {03} \ end {equation} quindi lo spazio lineare del $ \: 2 \ times2 \: $ le matrici hermitiane sono per molti aspetti identiche a $ \: \ mathbb {R} ^ {4} $ . Dalla solita base di $ \: \ mathbb {R} ^ {4} \: $ costruiamo una base per questo spazio di matrici \ begin {equation} E_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b} } \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: E_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b }} \\ 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad , \: \: \: E_4 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ Hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} { b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ v fantasma {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {04} \ label {04} \ end {equation}

Ora, se gli stati di base $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ dellequazione \ eqref {01} corrispondono agli autostati degli autovalori $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ rispettivamente di un osservabile, quindi questo osservabile sarebbe rappresentato dalla matrice
\ begin {equation} \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b} } \\ 0 & \! \! \ Boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {05} \ label {05} \ end {equation} non incluso in \ eqref {04}. Ma invece della base \ eqref {04} potremmo usare le seguenti combinazioni lineari di essi \ begin {align} E “_1 \! = \! E_1 \! = \! & \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac { a} {b}} \\ 1 & \! \!\ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad \ qquad \ quad \, E “_2 \! = \! E_2 \! = \! \ inizio {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ nonumber \\ E “_3 \! = \! \ left ( E_3 \! – \! E_4 \ right) \! = \! & \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ qquad E “_4 \! = \! \ left (E_3 + E_4 \ right) \! = \! \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {06} \ label {06} \ end {align} e cambiare i simboli e disposizione

\ begin {equation} I = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom { \ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_1 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 1 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_2 = \ begin {bmatrix} 0 & \! \! \ boldsymbol {-} i \ vphantom {\ tfrac {a} {b}} \\ i & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom { \ tfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ quad, \: \: \: \ sigma_3 = \ begin {bmatrix} 1 & \! \! \ hphantom {\ boldsymbol {-}} 0 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \\ 0 & \! \! \ boldsymbol {-} 1 \ vphantom {\ frac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {07} \ label {07} \ end {equation} dove $ \: \ boldsymbol {\ sigma } = \ left (\ sigma_1, \ sigma_2, \ sigma_3 \ right) \: $ le matrici di Pauli .

Ora, gli stati di base $ \: \ vert u \ rangle, \ vert d \ rangle \: $ dellequazione \ eqref {01} sono autostati di $ \: \ sigma_3 \: $ quindi è necessario che siano espressi con il pedice $ \: ” 3 “\: $ \ begin {equation} \ vert u_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac { a} {b}} \\ \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ ,, \ quad \ vert d_3 \ rangle = \ begin {bmatrix} \: \: 0 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} \ tag {08} \ label {08} \ end {equation} Deve essere fatto per le ampiezze di probabilità $ \: \ xi, \ eta \: $ anche \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ quad \ text {dove} \: \: \: \ xi_3, \ eta_3 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {09} \ label { 09} \ end {equation} La ragione di ciò è che possiamo usare come stati di base dello spazio di Hilbert altrettanto bene gli autostati $ \: \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle \: $ di autovalori $ \: \ boldsymbol {+} 1, \ boldsymbol {-} 1 \: $ rispettivamente di $ \: \ sigma_1 \: $ \ begin {equation} \ vert u_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2} } {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_1 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -1 \: \, \ vphantom { \ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {10} \ label {10} \ end {equation} in modo che \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ ve rt d_1 \ rangle \ quad \ text {dove} \: \: \: \ xi_1, \ eta_1 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_1 \ vert ^ { 2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {11} \ label {11} \ end {equation} o il relativo a $ \: \ sigma_2 \: $ \ begin {equation} \ vert u_2 \ rangle = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ begin { bmatrix} \: \: 1 \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ \: \: i \: \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \ end {bmatrix } = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ ,, \ quad \ vert d_2 \ rangle = \ frac { \ sqrt {2}} {2} \ begin {bmatrix} \: \: 1 \: \ vphantom {\ dfrac {a} {b}} \\ -i \: \, \ vphantom {\ dfrac {a} { b}} \ end {bmatrix} = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {-} i \ vert d_3 \ rangle \ right) \ tag {12} \ label {12} \ end {equation} in modo che \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle \ quad \ text {dove} \: \: \: \ xi_2, \ eta_2 \ in \ mathbb {C} \ quad \ text {e} \: \: \: \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} = 1 \ tag {13} \ label {13} \ end {equation} Gli autostati $ \ vert u_1 \ rangle, \ vert d_1 \ rangle, \ vert u_2 \ rangle, \ vert d_2 \ rangle $ sono mostrati schematicamente nella Figura 04.

Ora, \ begin {align} \ xi_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ right) \ tag {14a} \ label {14a} \\ \ eta_1 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} \ eta_3 \ right) \ tag {14b} \ label {14b} \ end {align} quindi \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag { 15a} \ label {15a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {15b} \ label {15b} \ end {align} Anche \ begin {align} \ xi_2 & = \ tfrac {\ sqr t {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {-} i \ eta_3 \ right) \ tag {16a} \ label {16a} \\ \ eta_2 & = \ tfrac {\ sqrt {2}} {2} \ left (\ xi_3 \ boldsymbol {+} i \ eta_3 \ right) \ tag {16b} \ label {16b} \ end {align} so \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ sinistra (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17a} \ label {17a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) \ tag {17b} \ label {17b} \ end {align} Nelle equazioni \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} di $ \: z ^ {\ boldsymbol {*} } \: $ indichiamo il complesso coniugato del numero complesso $ \: z \: $ e con $ \: \ mathrm {Re} \ left (z \ right), \ mathrm {Im} \ left (z \ right) \: $ le parti reali e immaginarie di $ \: z $ .

Poiché $ \: \ vert \ xi_3 \ vert ^ {2} \ boldsymbol {+} \ vert \ eta_3 \ vert ^ {2} = 1 \: $ impostiamo (vedi Figura 01) \ begin {align} \ xi_3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ alpha_3} \: \:, \ qquad 0 \ le \ omega_3 \ le \ frac {\ pi} {2} \ tag {18a} \ label {18a} \\ \ eta_3 & = \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {i \ beta_3} \ tag {18b} \ label {18b} \\ \ theta_3 & = 2 \ omega_3 = \ text {angolo polare rispetto a $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ theta_3 \ le \ pi \ tag {18c} \ label {18c} \ end {align} so \ begin {align} \ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 & = \ cos \ omega_3 \ cdot e ^ { i \ alpha_3} \ sin \ omega_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ beta_3} = \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ cdot \ sin \ left (\ dfrac { \ theta_3} {2} \ right) \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ left (\ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 \ right)} = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ tag {19a} \ label {19a} \\ \ phi_3 & = \ beta_3 \ boldsymbol {-} \ alpha_3 = \ text {angolo azimutale rispetto a $ x_3- $ axis} \: \:, \ qquad 0 \ le \ phi_3 \ le 2 \ pi \ tag { 19b} \ label {19b} \ end {align} In queste definizioni \ begin {align} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Re} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {- } i \ phi_3} \ right) = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 = \ rho_3 \ cos \ phi_3 \ tag {20a} \ label {20a} \\ \ mathrm {Im} \ sinistra (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) & = \ mathrm {Im} \ left (\ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ cdot e ^ {\ boldsymbol {-} i \ phi_3} \ right) = \ boldsymbol {-} \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 = \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 \ tag {20b} \ label {20b} \\ \ rho_3 & = \ vert \ xi_3 \ vert \ cdot \ vert \ eta_3 \ vert = \ cos \ omega_3 \ sin \ omega_3 = \ dfrac {1} {2} \ sin \ theta_3 \ tag {20c} \ label {20c} \ end {align} ed equazioni \ eqref {15a}, \ eqref {15b}, \ eqref {17a}, \ eqref {17b} fornisce le seguenti probabilità \ begin {align} \ vert \ xi_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Re} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21a} \ label {21a} \\ \ vert \ eta_1 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Re } \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ cos \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ cos \ phi_3 \ right) \ tag {21b} \ label {21b} \ end {align} \ begin {align} \ vert \ xi_2 \ vert ^ {2 } & = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ left (1 \ boldsymbol {+} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22a} \ label {22a} \\ \ vert \ eta_2 \ vert ^ {2} & = \ frac12 \ boldsymbol {+} \ mathrm {Im} \ left (\ xi_3 \ eta ^ {\ boldsymbol {*}} _ 3 \ right) = \ frac12 \ boldsymbol {-} \ rho_3 \ sin \ phi_3 = \ frac12 \ le ft (1 \ boldsymbol {-} \ sin \ theta_3 \ sin \ phi_3 \ right) \ tag {22b} \ label {22b} \ end {align}

Nota che lo stato $ \ vert \ psi \ rangle $ dellequazione \ eqref {09} potrebbe essere espresso come \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} e ^ {i \ alpha_3} \ left [\ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert d_3 \ rangle \ right] \ tag {23} \ label {23} \ end {equation} o ignorando la fase factor $ e ^ {i \ alpha_3} $ \ begin {equation} \ vert \ psi \ rangle \ boldsymbol {=} \ cos \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right) \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} e ^ {i \ phi_3} \ sin \ left (\ dfrac {\ theta_3} {2} \ right ) \ vert d_3 \ rangle \ tag {24} \ label {24} \ end {equation}

---

B. On Sphere – In Ball

Nella Figura 01 vediamo i dettagli delle definizioni \ eqref {18a}, \ eqref {18b} e \ eqref {18c}. Questa è una vista in piano da un punto sul piano del cerchio $ \: \ rm {K_3} \ Xi $ nella Figura 03. Nota che questa Figura 01 è valida se tutti gli indici $ \: “3” \: $ saranno sostituiti da $ \ : “1” \: $ o $ \: “2” $ . La definizione e il significato dei vari punti devono essere forniti di seguito.

Nella Figura 02 vediamo la geometria delle equazioni \ eqref {21a}, \ eqref {21b} e \ eqref {22a}, \ eqref {22b}. Questa è una vista in piano da un punto sui lati positivi dellasse $ \: x_3- $ .

Visualizza qui una vista 3D della Figura 03

Nella Figura 03 abbiamo una sfera di diametro 1 in uno spazio tridimensionale $ \: \ mathbb {R} ^ {3} \: $ non identico allo spazio fisico. Sulla sfera un punto $ \: \ Xi \: $ rappresenta uno stato del sistema \ begin {equation} \ psi = \ xi_1 \ vert u_1 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_1 \ vert d_1 \ rangle = \ xi_2 \ vert u_2 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_2 \ vert d_2 \ rangle = \ xi_3 \ vert u_3 \ rangle \ boldsymbol {+} \ eta_3 \ vert d_3 \ rangle \ tag {25} \ label {25} \ end {equation} Ora per $ \: \ jmath = 1,2 , 3 \: $ \ begin {align} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \ : \: su \: \: + 1/2 \: \: di \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: che rappresenta \: \: \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.01} \ label {26.01} \\ \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = point \: \: on \: \: – 1/2 \: \: di \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! axis \: \: che rappresenta \: \ : il \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.02} \ label {26.02} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = projec zione \: \: di \: \: \: \: stato \: \: punto \: \: \ Xi \: \: su \: \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! asse \ tag {26.03} \ label {26.03} \\ \ Xi \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = magnitude \: \: of \: \: probabilità \: \: amplitude \: \: of \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag { 26.04} \ label {26.04} \\ \ Xi \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert = grandezza \: \: of \: \: probabilità \: \: ampiezza \: \: di \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.05} \ label {26.05} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath }} \ vert ^ {2} = probabilità \: \: di \: \: \ vert d _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.06} \ label {26.06} \\ \ rm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert ^ { 2} = probabilità \: \: di \: \: \ vert u _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ rangle \: \: eigenstate \ tag {26.07} \ label {26.07} \\ \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ grassetto {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = polare \: angolo \: con \: rispetto \: a \: il \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.08} \ label {26.08} \\ \ phi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm O _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm A _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = azimutale \: angolo \: con \: rispetto \: a \: il \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \! asse \ tag {26.09} \ label {26.09} \\ \ omega _ {\ boldsymbol {\ jmath}} & = \ angle (\ Xi \ mathrm B _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ mathrm K _ {\ boldsymbol {\ jmath}}) = metà \: the \: polar \: angle \: \ theta _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ tag {26.10} \ label {26.10} \\ \ rm K_ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ Xi & = \ vert \ xi _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \ vert \ cdot \ vert \ eta _ {\ boldsymbol {\ jmath} } \ vert = \ rho _ {\ boldsymbol {\ jmath}} = raggio \: di \: \: cerchio, \: intersezione \: di \: \: sfera \ nonumber \\ & \ hphantom {=} \: \: con \: the \: plane \: through \: point \: \ Xi \: normal \: to \: the \: x _ {\ boldsymbol {\ jmath}} \! – \ ! axis \ tag {26.11} \ label {26.11} \ end {align}

Commenti

• come sempre figura fantastica.
• Non ‘ Non capisco quando dici che (05) non è ‘ t incluso in (04), non è ‘ è $ E_3 $? Inoltre, ‘ non capisco come $ E_3 – E_4 $ non ‘ abbia tutti zeri e -2
• @ gary69: Benvenuto in PSE. Grazie per la vostra attenzione. Era un errore di battitura nellequazione $ \ eqref {04} $ ho modificato a destra. Quando, in futuro, guadagnando reputazione sarai in grado di vedere la cronologia delle modifiche della mia risposta, noterai che questo errore di battitura è stato fatto nella 7a modifica del 25 agosto 2020.

Un semplice commento esteso che semplifica la bella risposta di @Timaeus in una forma più facile da ricordare.

Il vettore di stato
$$ | \ psi \ rangle = \ begin {pmatrix} \ cos \ theta / 2 \\ e ^ {i \ phi} \ sin \ theta / 2 \ end {pmatrix} $$ definisce una matrice di densità di stato puro tramite il suo operatore di proiezione, $$ \ bbox [yellow] {| \ psi \ rangle \ langle \ psi | = \ begin {pmatrix} \ cos ^ 2 \ theta / 2 & \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {- i \ phi} \\ \ sin \ theta / 2 ~ \ cos \ theta / 2 ~ e ^ {i \ phi} & \ sin ^ 2 \ theta / 2 \ end {pmatrix} = \ rho} ~.$$ Notare linvarianza del manifesto sotto la riformulazione globale di $ | \ psi \ rangle $ .

Lespressione principi generali “ di questa matrice di densità eremitica idempotente è anche, evidentemente, $ $ \ rho = \ frac {1} {2} (1 \! \! 1 + \ hat n \ cdot \ vec \ sigma), $$ con $ \ hat n = (\ sin \ theta \ cos \ phi, \; \ sin \ theta \ sin \ phi, \; \ cos \ theta) ^ T. $

Cioè, il Lasse $ \ hat z $ ruota sullasse $ \ hat n $ di angoli di rotazione completi (aggiunti) , specificando unespressione di operatore di mezzo angolo (spinore, fondamentale).

Pensa allo spin del fotone

Pensare a questo caso più concreto mi ha aiutato a ottenere alcune immagini utili nella mia testa. analogo orientato allottica che vale la pena tenere a mente: la Poincaré Sphere .

Photon spin è un sistema quantistico a due stati , che come Frobenius menziona , è ciò che i modelli della sfera di Bloch.

Anche lo spin dei fotoni è facile per comprendere / visualizzare / manipolare sperimentalmente.

Filtri polarizzatori fisici

Primo pensiamo alla cosa più concreta possibile: i filtri polarizzatori.

Ci sono due tipi di filtri polarizzatori a cui potresti pensare:

• polarizzatore lineare, con qualsiasi angolo compreso tra -90 e 90.

  Ad es qui “è uno a 90 gradi:

  

  e qui uno a 45 gradi:

  

  e qui uno a 0 gradi:

  

  Sorgente

  Wikipedia descrive alcuni modi per creare tali filtri e le immagini sopra sono filtri Polariod , che vengono utilizzati negli occhiali da sole e nella fotografia e quindi facilmente disponibili .

  Dal punto di vista della meccanica quantistica, gli orientamenti di 90 e 0 gradi fanno la stessa misura: lunica differenza è che uno lascia passare il fotone ma laltro lo blocca. Ma possiamo usarli entrambi allo stesso modo per determinare il livello di polarizzazione verticale lineare del fotone: devi solo prendere il complemento val ue.

  E poiché ogni misura corrisponde a una matrice Hermitiana , possiamo rappresentare sia 0 che 90 con una singola matrice:

  $$ M_0 = \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \ end {bmatrix} $$

  E la matrice per 45 gradi è:

  $ $ M_ + = \ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

• polarizzatore circolare, che come spiega Wikipedia è solitamente realizzato con una lastra a quarto donda + un lineare polarizzatore:

  

  Sorgente .

  La matrice corrispondente è:

  $$ M_i = \ begin {bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \\ \ end {bmatrix} $$

Le matrici sopra sono le cosiddette matrici Pauli .

Alcuni vettori di stato interessanti

Ora diamo un nome a 6 poli che rappresentano 6 possibili stati interessanti di fotoni sulla sfera di Bloch e cerca di capire come interagiscono con i filtri.

Sorgente .

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ vert 0 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 90 °} \\ & \ vert 1 \ rangle & & = & & \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text { lineare 0 °} \\ & \ vert + \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear 45 °} \\ & \ vert – \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – 1 \ end {bmatrix} & & = \ text {linear -45 °} \\ & \ vert i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix } 1 \\ i \ end {bmatrix} & & = \ text {circular clockwise} \\ & \ vert -i \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} & & \ begin {bmatrix} 1 \\ – i \ end {bmatrix} & & = \ text {circolare antiorario} \\ \ end {alignat *} $$

La prima cosa che notiamo è che quanto segue le coppie sono tutte basi:

• $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $
• $ \ v ert + \ rangle $ e $ \ vert – \ rangle $
• $ \ vert i \ rangle $ e $ \ vert -i \ rangle $

Ad esempio, potremmo rappresentare:

$$ \ begin {alignat *} {3} & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & + \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle & & – \ vert – \ rangle) \\ & \ vert 0 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert i \ rangle & & -i \ vert -i \ rangle) \\ & \ vert 1 \ rangle & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (- i \ vert i \ rangle & & + i \ vert -i \ rangle) \ end {alignat *} $$

E poi, osserviamo anche che:

• $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ sono autovettori di $ M_0 $
• $ \ vert + \ rangle $ e $ \ vert – \ rangle $ sono autovettori di $ M _ + $
• $ \ vert i \ rangle $ e $ \ vert -i \ rangle $ sono autovettori di $ M_i $

Se ricordiamo che il risultato di una misura in meccanica quantistica è lautovettore di un autovalore, con probabilità proporzionale alla proiezione, otteniamo le seguenti probabilità campione per questi esperimenti:

• $ \ vert 0 \ rangle $ dichiara su:

  • polarizzatore lineare 90 °: passaggio 100%

  • polarizzatore lineare 0 °: passaggio 0%

  • polarizzatore lineare 45 °: passaggio 45%, perché:

    $$ \ vert 0 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} (\ vert + \ rangle + \ vert – \ rangle) $$

  • polarizzatore lineare -45 °: passaggio 45%

  • polarizzatore circolare: passaggio 45%.Questo perché uno stato lineare 0 può essere scomposto in due polarizzazioni circolari:

    $$ \ vert 1 \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2 }} (- i \ vert i \ rangle + i \ vert -i \ rangle) $$

• $ \ vert 1 \ rangle $ :
  • lineare 90 °: passaggio 0%
  • lineare 0 °: passaggio 100%
  • lineare 45 °: passaggio 45%
  • lineare -45 °: passaggio 45%
  • circolare: passaggio 45%
• $ \ vert + \ rangle $ :
  • lineare 90 °: passaggio 45%
  • lineare 0 °: passaggio 45%
  • lineare 45 °: passaggio 100%
  • lineare -45 °: passaggio 0%
  • polarizzatori circolari: passaggio 45%
• $ \ vert i \ rangle $ :
  • lineare 90 °: passaggio 45%
  • lineare 0 ° : Passaggio 45%
  • 45 ° lineare: passaggio 45%
  • lineare -45 °: passaggio 45%
  • circolare in senso orario: passaggio 100%
  • circolare in senso antiorario: passaggio 0%

Fase relativa

Unintuizione semiclassica importante da ricordare è che:

circolare polarizzazione == due polarizzazioni lineari ortogonali sfasate di 90 gradi:

Sorgente .

Ad esempio in :

$$ \ vert i \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end { bmatrix} + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $$

abbiamo una fase relativa di 90 gradi a causa del $ i $ differenza di fase relativa tra $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ frac {i} {\ sqrt {2}} \ vert 1 \ rangle $ .

Ma in quella diagonale, sono in fase rispetto a $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ :

$$ \ vert + \ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} + \ frac {i} { \ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ vert 0 \ rangle + \ frac {1} {\ sqrt {2} } \ vert 1 \ rangle $$

quindi la fase relativa è 0 per quella.

Cammina la sfera

Un modo comune per rappresentare uno stato nella sfera di Bloch è fornire solo i due $ \ theta $ e $ \ phi $ angoli come mostrato di seguito:

Sorgente .

Poiché una sfera non è euclidea, un buon modo per visualizzarla è percorrere alcuni sentieri di facile comprensione attorno ad essa. Nellimmagine seguente facciamo due percorsi:

• inizia da 0, passa per +, 1, – e torna a 0
• inizia da 0, passa per i , 1, -i e torna a 0

Sorgente .

Camminando da + attraverso i, -, -i e ritorno a + viene lasciato come esercizio: il cerchio diventerebbe uneclissi obliqua e si assottiglia sempre di più in una linea di 45 gradi.

Questo porta a una chiara interpretazione degli angoli:

• $ \ theta $ : più è grande, più è probabile $ \ vert 1 \ rangle $ viene confrontato con $ \ vert 0 \ rangle $
• $ \ phi $ : la fase relativa tra $ \ vert 0 \ rangle $ e $ \ vert 1 \ rangle $ . Questa fase relativa non può essere rilevata da un polarizzatore verticale o orizzontale

Come possiamo scendere da 4 numeri reali a solo 2 nello stato ?

Sulla sfera di Bloch, possiamo rappresentare lo stato con solo 2 parametri reali: gli angoli $ \ theta $ e $ \ phi $

Ma nei vettori a stato completo più espliciti, sembrano esserci 2 numeri complessi e quindi 4 numeri reali:

$$ \ begin {alignat *} {4} & \ begin {bmatrix} a + ib \\ c + id \ end {bmatrix} \\ \ end {alignat *} $$

Perché uno dei numeri deve essere rimosso è facile: la probabilità totale deve essere 1, quindi:

$$ a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 1 $$

quindi a quel punto siamo già limitati a una 3 sfere .

Il secondo è più interessante: possiamo rimuovere un altro parametro perché la fase globale dello stato non può essere rilevata da nessun esperimento e così siamo liberi di sceglierlo arbitrariamente.

Una fase globale è un numero immaginario. Il modulo di quel numero deve essere 1 per mantenere la probabilità totale. Gli esperimenti non sono in grado di rilevare gli sfasamenti globali perché i risultati della misurazione:

$$ k_0 \ vert 0 \ rangle + k_1 \ vert 0 \ rangle $$

su uno qualsiasi dei filtri è uguale a quello di misurazione:

$$ \ text {phase} \ times k_0 \ vert 0 \ rangle + \ text {phase} \ times k_1 \ vert 0 \ rangle $$

perché $ | \ text {phase} | = 1 $ .

Una scelta naturale è quindi quella di scegliere una fase globale che ruota lo stato in modo tale che il moltiplicatore di $ \ vert 0 \ rangle $ diventa un numero reale, ovvero impostando $ b = 0 $ .

Quindi, ad esempio, moltiplicando per un numero immaginario, potremmo mappare stati più generali in stati più limitati come

$$ \ begin {alignat *} {2} & \ begin {bmatrix} i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times -i & & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} -i \\ 0 \ end {bmatrix} \ times i & & = \ begin {bmatrix } 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ begin {bmatrix} 0 \\ – 1 \ end {bmatrix} \ times -1 & = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} & & = \ vert 0 \ rangle \\ & \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix} i \\ i \ end {bmatrix}) \ times -i & & = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ begin {bmatrix } 1 \\ 1 \ end {bmatrix} & & = \ vert + \ rangle \\ \ end {alignat *} $$

Perché ci sono esattamente tre matrici Pauli?

Penso che ci siano ragioni matematiche profonde e chiare che spiegano questo, collegate al fatto che sono una base dello spazio della matrice hermitiana 2×2 come menzionato in: https://physics.stackexchange.com/a/415228/31891 e https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere#Pure_states ed è il nocciolo della questione del perché la sfera di Bloch è usato, ma non lho compreso appieno.

Ma in termini più pratici: i tre dispositivi di misurazione citate sono le uniche tre possibilità (fino alle rotazioni globali) tali che dopo averne attraversata una, si perdono tutte le informazioni sugli altri due (50% di probabilità sugli altri due esperimenti).

Pertanto sono ortogonali in un certo senso, e al massimo in quanto non esiste nessun altro esperimento che potremmo aggiungere a quella serie di esperimenti tale che questa proprietà sia valida.

Gioca con Quirk

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Questo è un altro suggerimento utile. Fai clic su quelle immagini finché tutto ha un senso.