In un pentagramma regolare (stella a 5 punte), langolo in ogni punto è di 36 gradi, quindi gli angoli in tutti e cinque i punti somma a 180 gradi:
Che ne dici di un pentagramma irregolare, come il seguente?
Ora gli angoli potrebbero essere tutti diversi luno dallaltro; la situazione è molto più complicata. Puoi dimostrare che gli angoli in tutti e cinque i punti ancora sommano a 180 gradi?
Restrizioni (per chiarire che questo non è né un problema di matematica [al contrario di un puzzle di matematica] né un esercizio di calcolo o geometria euclidea avanzata):
- nessuna operazione aritmetica consentita (addizione, moltiplicazione, …)
- puoi disegnare un nuovo segmento di linea sulla stella, ma non di più
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- Scusa rand, ma penso che questo sia solo un altro problema di matematica … (” prove “, ” angoli “, ” sum “, ” 180 gradi “)
- @MarkN Secondo meta post canonico su questo argomento, il segno di un rompicapo matematico in contrapposizione al problema è avere una soluzione intelligente o elegante, spesso un ” aha ” momento , una dichiarazione di problema imprevisto o un risultato inaspettato o controintuitivo . La soluzione che ho in mente ha sicuramente la prima di queste caratteristiche, e IMO anche le ultime due.
- Questo non è ‘ ta math puzzle – it ‘ un puzzle logico. Di solito impari questa logica da qualcuno che insegna anche matematica.
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$ \ hskip 1.5in $ 
è un sogno?
Questa è limmagine di una freccia che percorre ciascuno degli angoli successivi in la stella. Si noti che, dopo aver tracciato tutti gli angoli $ 5 $, il suo orientamento viene invertito, il che significa che ha ruotato $ 180 ^ {\ circ} $ e che questa deve essere la somma degli angoli. Possiamo fare la stessa cosa con la stella nella tua figura, ergo, anche i suoi angoli sommano $ 180 ^ {\ circ} $.
Una generalizzazione:
Possiamo fare la stessa cosa con una figura come questa, i cui angoli sommano a $ 180 ^ {\ circ} $: $ \ hskip 1.5 in $ 
Possiamo farlo anche su un triangolo. La proprietà importante è questa:
Non devono esserci vertici della stella interna al cono spazzato via da un raggio che attraversa un dato angolo.
Soddisfare questa condizione – che in pratica dice che non dobbiamo mai “ignorare” i vertici, ma invece basta ruotare la freccia e vedere cosa colpi – troviamo che possiamo ordinare i vertici in un modo “orario”, in modo che, ad ogni angolo, o la testa o la coda della freccia passi al vertice successivo nellordine (e alternano quale). Ovviamente, sia la testa che la coda faranno una rivoluzione completa quando saranno stati tracciati il doppio degli angoli dei vertici, ottenendo il risultato desiderato.
(Si potrebbe anche esprimere la mia condizione come “assegnando ai vertici i numeri $ 1 $ attraverso $ 2n + 1 $ in senso orario visto da un punto centrale, deve essere che $ 1 $ si collega a $ n $ e $ n + 1 $ e tutti gli altri punti sono collegati in modo analogo “)
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- (Inoltre, per quello che ‘ s, mi è piaciuto molto questo puzzle, anche se la mia risposta non è la ne avevo una buona, ” Beh, ‘ è ovvio ” momento, seguito da alcune ore di intenso grattarsi la testa, cercando di capire perché fosse ovvio, seguito da ” Aha! era ovvio! “)
- Immagino che il tuo commento sia un riferimento a questo scherzo ? =)
- Accettato perché ‘ è ancora più bello della risposta che stavo cercando e copre anche una generalizzazione.
Risposta
Posiziona la matita sulla riga 1.
Ruota la matita in modo che si allinei con la linea 2. Lhai appena ruotata in senso antiorario dellangolo in cima al pentagramma.
Ora ruotala di nuovo in senso antiorario sulla linea 3. Poi di nuovo sulla riga 4, poi 5 e infine di nuovo su 1. Hai appena ruotato la matita attraverso tutti e cinque gli angoli del pentagramma in sequenza.
E cosa è successo? La matita ora si trova sulla stessa linea da cui era iniziata, puntando nella direzione opposta.Se tieni traccia della direzione in cui punta la matita ad ogni passaggio, puoi vedere che in totale lhai ruotata in senso antiorario di mezzo giro. Quindi, $ 180 ^ \ circ $.
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- Questa sarà una bella prova se lo aggiusti per escludere la possibilità che tu abbia ruotato il traccia a matita un altro multiplo dispari di $ 180 ^ \ circ $. Con questo ettagramma anche la matita finisce per puntare nella direzione opposta ma ha ruotato di $ 540 ^ \ circ $
- Cè una deformazione continua da il pentagramma di riferimento a qualsiasi pentagramma deformato. Pertanto, la rotazione non può passare da un multiplo di 180∘ a un altro.
- Fondamentalmente, qualsiasi $ \ {m: n \} $ – gram dove $ n < \ frac m 2 $ ruota $ 360 \ volte (\ frac m 2 – n) $ gradi.
- Bella spiegazione Lopsy … semplice, pulita 🙂 Stavo per dire, prendi 4 angoli e visivamente inizia a ridurli a 0 .. pensa a come appare la stella mentre questo accade … il 5 ° angolo continua a crescere per adattarsi … fino a quando 4 angoli sono 0, e il 5 ° è 180 (cioè una linea retta) ..: ) Ma mi piace di più la spiegazione di Lopsy ‘ ..;)
- Il bello di questa risposta è che non ‘ t leggere come una dimostrazione matematica. Chiunque può capirlo.
Risposta
Ecco unaltra prova.
Etichetta i punti come mostrato e traccia il segmento di linea CD. Usa A, B, ecc. per indicare gli angoli di cui ci viene chiesto di trovare la somma.
Adesso
$ \ angle ADC + \ angle DCA + A = 180 ^ \ circ $ (angoli in un triangolo)
Quindi è sufficiente dimostrare che
$ \ angle ADC + \ angle DCA = B + C + D + E $
Adesso
$ \ angle ADC = D + \ angle BDC $ e $ \ angle DCA = C + \ angle ECD $
Quindi è sufficiente dimostrare che
$ \ angle BDC + \ angle E CD = B + E $
che è ovviamente vero perché
LHS è il supplemento di $ \ angle DFC $ e RHS è il supplemento di $ \ angle EFB $ , dove $ \ angle DFC $ e $ \ angle EFB $ sono uguali perché verticalmente opposti .
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- Questa è la risposta che stavo cercando.
- Quindi, praticamente, puoi distillare questa soluzione in 2 regole: gli angoli in triangoli = 180 e gli angoli opposti di 2 linee intersecanti sono uguali.
- @randal ‘ thor Questa soluzione implica anche laggiunta, quindi non rispetterebbe le tue restrizioni, o dovresti modificare le tue restrizioni.
- Sì, stavo per dire che questo non è come -il- ma uno dei più matematici -ish risposte qui. Lassenza di aritmetica non significa che non sia ‘ t matematica …
Risposta
La somma degli angoli interni di un pentagono è sempre 540 °.
Langolo di ogni punto esterno è sempre la somma dei due angoli interni adiacenti – 180 °. Possiamo dirlo poiché, dati gli angoli interni A e B, gli angoli del triangolo sono 180 – A, 180 – B, X. Per definizione degli angoli di un triangolo, X è uguale a $ 180 – (180 – A) – ( 180 – B) = A + B – 180 $.
Ogni angolo interno del pentagono viene usato due volte e ci sono 5 punti, quindi $ (2 \ volte 540) – (5 \ volte 180) = 180 ° $
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- Credo che questa sia una geometria di grado 9 che fa capolino …
- Questo è più complicato della dimostrazione a cui stavo pensando. Posso modificare la domanda per limitare un po di più le possibili prove, ma ‘ ti darò comunque un +1. Potresti giustificare la tua seconda frase? Inoltre non ‘ t capire cosa sta dicendo la terza frase.
- Se lasciamo che A e B siano due angoli interni adiacenti del pentagono, allora langolo di il punto nel triangolo è 180 – (180-A + 180-B) = A + B – 180
- +1 Bella dimostrazione, ma sarebbe bello se potessi usare una foto o 2, o anche una gif!
- Penso che ‘ sia possibile generalizzare questa dimostrazione per mostrare che gli angoli nei punti di qualsiasi n -gram somma a $ 180 ^ \ circ $ ammesso che la forma colleghi ogni punto a due punti adiacenti sul n -gon.(Nota che lesagramma unicursale ‘ t soddisfa il criterio di connessione; né lesagramma formato da due triangoli; e solo uno dei due eptagrammi unicursali lo fa.)
Risposta
Ecco unaltra bella dimostrazione, questa volta per induzione. Possiamo creare il pentagramma iniziando con quello regolare e spostando successivamente quattro dei punti. Quindi è sufficiente dimostrare che
spostare un punto in un pentagramma non cambia la somma degli angoli al punti
Facciamo “s
spostiamo il punto A in A” e chiamiamo sia langolo in A che langolo in A “langolo superiore
Otteniamo questo:
È sufficiente dimostrare che
il cambiamento nellangolo superiore e i cambiamenti nellangolo es in C e D somma a zero.
In questo nuovo diagramma
mostriamo
la modifica dellangolo superiore come $ xw $ e le modifiche in D e C come $ -y $ e $ z $,
e dobbiamo dimostrare che
$ xw-y + z = 0 $, o in altre parole, che $ x + z = w + y $,
che è ovvio, come prima, perché
LHS e RHS sono i complementi degli angoli verticalmente opposti in G.
Answer
Un altro approccio:
A partire dalla stella normale, sappiamo che $ A + B + C + D + E = 180 ^ {\ circ} $. Ora tracciamo un segmento di linea come mostrato nel diagramma.
Nota che $ B, D, E $ rimangono invariati! Dalle nostre osservazioni, vediamo che $ Y = C – X $ e $ Z = A + X $.
Quindi la somma dei punti della nostra nuova stella $ ZBYDE = Z + B + Y + D + E = (A + X) + B + (CX) + D + E = 180 ^ {\ circ} $.
Quindi possiamo continuare a disegnare segmenti e creare nuove stelle (e riscalare loro) fino a raggiungere la forma desiderata.
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- Bello, ma puoi forse aggiungere qualcosa per rendere più intuitivo il fatto che puoi creare un pentagramma irregolare generale da una sequenza di movimenti di un punto lungo una delle linee attraverso quel punto e ridimensionamenti.
- Potrei provare se solo la geometria non ‘ facesse male il mio cervello così tanto D:
Risposta
È inevitabile che alcuni laritmetica deve essere fatta – la conclusione prevista è quantitativa, dopotutto – quindi la sfida non dovrebbe essere t o nascondere laritmetica, né chiamarla con qualche altro nome, ma per renderla ovvia e semplicissima. Il seguente argomento riduce laritmetica allosservazione che cinque è uno più di quattro (e che un intero è due volte mezzo, un fatto usato di passaggio).
La stella si avvolge due volte attorno al suo centro, quindi chiunque la attraversi dovrà compiere due cerchi completi (quattro semicerchi). Tutte le svolte avvengono solo ai vertici, dove la quantità massima è un giro completo di metà cerchio. Per cinque vertici che sarebbero cinque semicerchi o un semicerchio in più rispetto a quello effettivamente ruotato: 180 gradi. La carenza tra questo massimo e la quantità di svolta effettivamente compiuta è precisamente la somma degli angoli interni, QED.
Questo approccio è quello adottato nella matematica moderna (cioè post-XVIII secolo). Si generalizza a figure arbitrarie di dimensioni arbitrarie disegnate allinterno di altre figure che a loro volta possono essere curve. È noto come Teorema di Gauss-Bonnet .
Risposta
Esiste un teorema basato sul cerchio che afferma: “La misura di un angolo inscritto è la metà della misura dellarco che intercetta”. Ciò significa che per langolo x , larco che intercetta sarà 2x . 
Ora, se inscrivi la stella in un cerchio, ottieni questo:
Etichettando il disegno precedente, ottieni questo;
Con questo teorema sappiamo che langolo ∠1 = c / 2, ∠2 = d / 2, ∠3 = e / 2, ∠4 = a / 2, e ∠ 5 = b / 2. Se lo distribuiamo, otteniamo ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = (a + b + c + d + e) / 2 . Inoltre, poiché le misure di tutti gli archi in un cerchio si sommano a 360, sappiamo che a + b + c + d + e = 360 . Infine, usando la proprietà di sostituzione, otteniamo ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360/2 , o ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 180 . Quindi la somma di tutti gli angoli è 180.
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- Cè ‘ un difetto nel tuo argomento: non tutti i pentagrammi possono essere inscritti in un cerchio.
- @ThomasKwa Puoi farmi un esempio?
- @ user1812 sposta un punto qualsiasi del tuo esempio dentro o fuori dal cerchio. Ci vogliono solo tre punti per definire un cerchio e un pentagramma ne ha cinque.
Risposta
Questa dimostrazione in un senso non è altro che contare il grado degli angoli.
Ricorda che un pentagono, regolare o irregolare, ha la somma degli angoli interni pari a 540. Inoltre, gli angoli di unintersezione di 2 rette si sommano a 360, dove anche gli angoli opposti sono congruenti.
Considera i 5 punti del pentagono centrale, i punti in cui si verifica lintersezione di 2 linee. Intorno a questi 5 punti ci sono 360 x 5 = 1800 gradi in totale e 5 x 4 = 20 angoli da contare.
Dei 20 angoli, 5 provengono dal pentagono, altri 5 sono congruenti a quelli. Quindi questo rappresenta 540 + 540 = 1080 gradi. I resti del 1800 – 1080 = 720 gradi provengono dallinterno dei 5 triangoli.
5 triangoli contengono 5 x 180 = 900 gradi di angoli interni. 720 di quei gradi sono agli angoli del pentagono / triangolo / intersezione.
Questo lascia le punte della stella 900 – 720 = 180 gradi.
Modifica: laritmetica qui è semplicemente una scorciatoia per langolo addizione e sottrazione, come si fa in altre risposte.
Risposta
Il Pentagono centrale come A, B, C, D , E contiene 540 GRADI
Somma le 5 COPPIE angoli supplementari cioè. 2 (180-A) +2 (180-B) +2 (180-C) +2 (180-D) +2 (180-E) = 1800 2 (540) = 720 Questi 720 gradi rappresentano la “base” angoli dei 5 triangoli che ammonta a 5 * 180 = 900 900-720 = 180 (i 5 angoli ricercati.
I cinque triangoli nei punti sommano a 5 * 180 = 900
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- La domanda chiede specificamente di dimostrarlo senza usare operazioni aritmetiche.