È noto che un bridge browniano multivariato standard $ y (\ mathbf u) $ è un processo gaussiano centrato con funzione di covarianza $$ \ mathbb E ( y (\ mathbf u) y (\ mathbf v)) = \ prod_ {j = 1} ^ d (u_j \ wedge v_j) – \ prod_ {j = 1} ^ d u_j v_j $$
Non sono sicuro di come costruire un ponte browniano così multivariato.
Il mio primo pensiero è stato di iniziare in qualche modo con un ponte browniano univariato. Ho trovato informazioni a riguardo e persino un pacchetto in R che può farlo, ma solo per il bridge browniano univariato.
Ho trovato questo , ma a quanto ho capito, ciò che è stato fatto non è un ponte browniano multivariato standard come definito sopra o ad es. in questo documento .
Apprezzerei qualsiasi suggerimento e supporto.
Commenti
- Come ho scoperto nel documento di Deheuvels link cè il seguente relazione tra un ponte browniano $ B_t $ e un foglio browniano (o foglio Wiener) $ W_t $: $$ B_t: = W_t – \ frac t T W_T $$ Quindi penso che il problema si riduca alla simulazione di un foglio browniano. Farò le mie domande su questo in una domanda separata.
- correzione, la relazione per più dimensioni è $$ B _ {\ mathbf t}: = W _ {\ mathbf t} – \ prod_ {j = 1 } ^ d t_j W _ {(1, …, 1)} $$
- Correlati: stats.stackexchange.com/questions/34354/ …
Risposta
Come hai già indicato fuori nei commenti, la domanda si riduce a simulare un foglio browniano. Questo può essere fatto generalizzando la simulazione del moto browniano in modo diretto.
Per simulare il moto browniano, si può prendere un i.i.d. mean-0 variance-1 serie temporali $ W_i $ , $ i = 1, 2, \ cdots $ e costruisci il processo di somma parziale normalizzato $$ X_n (t) = \ frac {1} {\ sqrt {n}} \ sum_ {i = 1} ^ {[nt]} W_i. $$ Poiché $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ converge debolmente (in il senso delle misure di probabilità Borel su uno spazio metrico) allo standard browniano $ B $ nello spazio Skorohod $ D [0 , 1] $ .
Il file iid con il caso del secondo momento finito è il modo più semplice per simulare. Il risultato matematico (Teorema del limite centrale funzionale / Teorema di Donsker / Principio di invarianza) ha una generalità molto maggiore.
Ora, per simulare il foglio browniano (ad esempio bidimensionale), si prende la varianza media 0 -1 array $ W_ {ij} $ , $ i, j = 1, 2, \ cdots $ e costruisci il processo di somma parziale normalizzato $$ X_n (t_1, t_2) = \ frac {1} {n} \ sum_ {1 \ leq i \ leq [nt_1], 1 \ leq j \ leq [nt_2]} W_ {ij}. $$ As $ n \ rightarrow \ infty $ , $ X_n $ converge debolmente al foglio browniano standard sullo spazio Skorohod $ D ([0,1] ^ 2) $ sul quadrato dellunità .
(La dimostrazione è un argomento di convergenza debole standard:
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La convergenza della distribuzione dimensionale finita segue dal CLT di Levy-Lindeberg.
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Tenuta su $ D ([0,1] ^ 2) $ segue da un momento sufficiente una condizione che vale banalmente nelli.i.d. secondo momento finito caso — vedi, ad es. Bickel e Wichura (1971). )
Quindi, in base al teorema della mappatura continua $$ X_n (t_1, t_2) – \ prod_ {j = 1} ^ 2 t_j X_n (t_1, t_2) $$ converge debolmente al ponte browniano bidimensionale.